107 地方特考三等 建築工程 建築結構系統 考古題詳解

核心觀念

本題屬於一次外靜不定（內外綜合）結構系統之變形諧合與勁度分析問題，核心觀念如下：

1. Euler-Bernoulli 梁之撓曲理論：兩端簡支梁（跨度 $L$）於跨中承受集中載重 $P_b$ 時，跨中產生的垂直撓度公式為： $\Delta_b = \frac{P_b L^3}{48 EI}$ 其對應之中點抗彎等效勁度為 $k_b = \frac{P_b}{\Delta_b} = \frac{48 EI}{L^3}$。
2. 軸向拉索之軸向變形理論：長度為 $H$、軸向剛度為 $EA_c$ 之二力構件拉索，承受軸向拉力 $T$ 時之軸向伸長量為： $\Delta_c = \frac{T H}{EA_c}$ 其對應之軸向等效勁度為 $k_c = \frac{T}{\Delta_c} = \frac{EA_c}{H}$。
3. 位移諧合條件（Compatibility Condition）：梁與拉索在節點 $B$ 鉸接，小變形條件下，梁跨中之垂直向下位移與拉索受拉之軸向伸長量完全一致，即 $\Delta_B = \Delta_b = \Delta_c$。
4. 勁度法（並聯彈簧系統）平衡：外力 $P$ 由梁之抗彎剛度與拉索之抗拉剛度依勁度比例共同分擔： $P = P_b + T = (k_b + k_c)\Delta_B$

解題方法

依題意與圖形，簡支梁 $ABD$ 兩端支承 $A$ 與 $D$ 之全跨度為 $L$，$B$ 為跨度中點（$AB = BD = L/2$）；鉛垂拉索 $BC$ 長度為 $H = L/3$，頂端 $C$ 為固定錨定端；外力 $P$ 通過梁中點 $B$ 之斷面形心向下作用。

採用**勁度分配法（變形諧合法）**進行推導：

步驟一：建立梁與拉索之等效勁度

1. 簡支梁中點之抗彎撓曲勁度 $k_b$： $k_b = \frac{48 EI}{L^3}$
2. 拉索 $BC$ 之軸向抗拉勁度 $k_c$： 已知 $H = \frac{L}{3}$，代入拉索軸向剛度關係式： $k_c = \frac{EA_c}{H} = \frac{EA_c}{L/3} = \frac{3 EA_c}{L}$

步驟二：建立變形諧合與靜力平衡關係

• 節點 $B$ 產生垂直向下位移 $\Delta_B$，使得拉索伸長 $\Delta_c = \Delta_B$，梁中點撓度 $\Delta_b = \Delta_B$。
• 節點 $B$ 之垂直方向靜力平衡方程式為： $P = P_b + T = k_b \Delta_B + k_c \Delta_B = (k_b + k_c)\Delta_B$
• 將系統總勁度 $k_{\text{total}} = k_b + k_c$ 展開通分整理： $k_{\text{total}} = \frac{48 EI}{L^3} + \frac{3 EA_c}{L} = \frac{3E}{L^3} \left( 16 I + A_c L^2 \right)$

步驟三：（一）計算拉索 $BC$ 之內力

拉索承受之拉力 $T$ 依勁度比值分配外力 $P$： $T = k_c \Delta_B = \frac{k_c}{k_b + k_c} P = \frac{1}{1 + \frac{k_b}{k_c}} P$ 計算兩者剛度比值： $\frac{k_b}{k_c} = \frac{\frac{48 EI}{L^3}}{\frac{3 EA_c}{L}} = \frac{16 I}{A_c L^2}$ 代入拉力公式：

核心觀念

法規依據說明：本題以**命題當年（民國 107 年）適用之《建築物耐震設計規範及解說》**為準。 （註：現行《建築物耐震設計規範及解說》已於民國 111 年修正發布，包含調整部分震區參數與耐震圖譜，但等效靜力法之公式架構、物理本質與各項參數之考量要素完全一致。）

本題評量考生對台灣耐震設計規範「等效靜力分析法（Equivalent Static Lateral Force Procedure）」之基本架構、物理意義與工程參數決策之熟悉度。核心觀念包含：

1. 彈性地震力至容許應力設計之轉換哲學：結構在強震下仰賴塑性變形消散能量，耐震設計並非要求結構全程保持彈性，而是透過「結構韌性容量」折減彈性地震力，並藉由「起始降伏超額強度」折算回彈性分析之設計側力。
2. 基底剪力公式推導邏輯：

• 彈性反應基底剪力：$V_e = I \cdot S_{AD} \cdot W$
• 極限強度需求基底剪力：$V_u = \frac{I}{F_u} S_{AD} W$（經非線性修正後為 $\left(\frac{S_{AD}}{F_u}\right)_m$）
• 彈性分析之設計基底剪力：$V = \frac{V_u}{1.4 \alpha_y} = \frac{I}{1.4 \alpha_y} \left( \frac{S_{AD}}{F_u} \right)_m W$

解題方法

一、設計地震力（設計基底剪力 $V$）之列式與計算要領

依據規範第 2.2 節，利用等效靜力法計算建築物之設計基底剪力 $V$，其列式如下：

$V = \frac{I}{1.4 \alpha_y} \left( \frac{S_{AD}}{F_u} \right)_m W$

計算要領與關鍵步驟：

1. 全部靜載重 $W$ 之計算：

• 包含建築物之全部自重（各層梁、柱、版、牆之重量）與固定外加靜載重。
• 特殊活載重計入：倉儲或倉庫載重至少計入 $25\%$；隔間牆載重以每平方公尺不小於 $100\text{ kgf}$ 計入；雪載重超過規範標準時須依比例計入。

2. 基本振動週期 $T$ 之決定與上限限制：

• 週期可由結構動力分析（如特徵值分析）或規範經驗公式 $T_a$ 求得。
• 檢核上限：為防止結構分析時低估側向勁度而求得過長週期、進而低估地震力，設計採用之基本週期 $T$ 不得大於經驗週期 $T_a$ 之 $1.4$ 倍。

3. 加速度比值修正式 $\left(\frac{S_{AD}}{F_u}\right)_m$ 之轉換：

• 考量短週期結構非彈性位移放大、高階振態效應及 P-$\Delta$ 效應，規範將譜加速度比值 $\frac{S_{AD}}{F_u}$ 予以修正：

4. 極限狀態降至工作應力之安全折減（$1.4 \alpha_y$）：

• 規範分析屬於彈性線性分析。係數 $1.4$ 為地震力載重係數（極限強度轉換至工作應力），$\alpha_y$ 則將結構整體形成塑性機構之極限側力回推至「第一構件起始降伏」之側力。

5. 基底剪力之下限檢核：

• 計算所得之 $V$ 不得小於規範規定之最小基底剪力門檻，以保障長週期大樓具有最低限度之抗震剛性與安全性。

6. 地震力之垂直樓層分配：

• 求得基底剪力 $V$ 後，沿建築物高度分配為各樓層橫力 $F_x$： $V = F_t + \sum_{i=1}^n F_i$ 若基本週期 $T > 0.7\text{ sec}$，頂層需外加集中橫力 $F_t = 0.07 T V \le 0.25 V$（考慮鞭打效應與高階振態），其餘剪力 $(V - F_t)$ 則依各樓層重量與高度之乘積比例分配： $F_x = (V - F_t) \frac{w_x h_x}{\sum_{i=1}^n w_i h_i}$

二、參數考量要素詳析

1. 工址設計水平加速度反應係數 $S_{AD}$

$S_{AD}$ 代表回歸期 475 年（50 年超越機率 10%）設計地震下，特定振動週期 $T$ 之工址單自由度彈性加速度反應譜值，考量要素如下：

• 震區地震危害度（地震分區）： 依工址行政區劃分，查閱規範圖表決定短週期震區水平加速度反應係數 $S_S^D$ 與一秒週期震區水平加速度反應係數 $S_1^D$。
• 工址地盤類別與土層放大效應： 地盤依據地表下 30 公尺之平均剪力波速（$V_{s30}$）、標準貫入試驗 N 值（$N_{30}$）或不排水剪力強度（$S_{u30}$）分為第一類（堅硬地盤）、第二類（中等軟弱地盤）、第三類（軟弱地盤）。 分別透過短週期地盤放大係數 $F_a$ 及一秒週期地盤放大係數 $F_v$，計算工址參數： $S_{DS} = F_a S_S^D, \quad S_{D1} = F_v S_1^D$
• 特定地質效應（近斷層效應與盆地效應）：
• 近斷層區域：位於活動斷層特定距離內之工址，須計入近斷層近場放大係數 $N_A$ 及 $N_V$。
• 台北盆地：由於深厚沉積層之盆地共振與陷波效應，須採台北盆地專屬之微震區譜形參數。
• 結構物基本振動週期 $T$ 之譜形分布： 以控制轉角週期 $T_0^D = \frac{S_{D1}}{S_{DS}}$ 建立三段式反應譜曲線：

2. 結構系統地震力折減係數 $F_u$

$F_u$ 代表結構物在強震下進入非彈性大變形階段，藉由塑性鉸之非線性遲滯消能機制，使結構強度需求得以

核心觀念

本題旨在考驗考生對鋼筋混凝土（RC）矩形梁在靜定受力條件下的「內力分佈」、「材料力學應力狀態與開裂機制」以及「對應之鋼筋配置要領」之整合分析能力。所涉及的核心觀念與規範公式如下：

1. 靜力平衡與內力圖分析：

• 簡支梁承受對稱二集中載重時，形成經典之「剪彎區段」與「純彎曲區段」（Pure Bending Zone）。
• 剪力 $V$ 與彎矩 $M$ 的關係遵循微分平衡方程式： $\frac{dM}{dx} = V(x)$

2. 混凝土應力狀態與開裂準則：

• 混凝土為抗壓不抗拉之脆性材料，抗拉強度遠低於抗壓強度，其抗裂模數（Modulus of Rupture, $f_r$）依規範定義為： $f_r = 2\sqrt{f'_c} \quad (\text{kgf/cm}^2) \quad \text{或} \quad f_r = 0.62\sqrt{f'_c} \quad (\text{MPa})$ （依內政部頒布之《混凝土工程設計規範與解說》，以命題當年民國 107 年規範為準；現行《結構混凝土設計規範》已於後續年度修正文字編排與部分係數，但設計力學原理一致）。
• 開裂方向遵循材料力學之主拉應力（Principal Tensile Stress, $\sigma_1$）方向：當拉應力超過 $f_r$ 時，裂縫走向必然垂直於主拉應力軌跡線。
• 莫爾圓（Mohr's Circle）應力轉換公式： $\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$ $\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$

3. 鋼筋配置設計原理：

• 縱向鋼筋（主筋）：配置於受拉側承擔抗彎拉力 $T = M / (jd)$。
• 橫向鋼筋（閉合箍筋）：跨越斜向開裂面承擔剪拉力 $V_s$，滿足設計剪力需求 $V_u \le \phi (V_c + V_s)$。

解題方法

題目附圖未標註幾何尺寸數值，依國家考試典型題型，合理設定為跨度 $L$ 之簡支矩形梁，於距左、右支承各為 $a$ 之對稱位置分別受向下集中載重 $P$ 作用（整體形成四點彎曲受力系統）。解題從內力分析切入，推導各斷面應力狀態以界定裂縫型態，進而提出標準配筋配置。

一、梁內力分析（剪力與彎矩分佈）

1. 支承反力： 由對稱性與垂直平衡 $\Sigma F_y = 0$： $R_A = R_B = P$
2. 剪力分佈（$V$）：

• 左側剪力跨段（$0 \le x < a$）： $V(x) = +P$
• 中央跨段（$a < x < L - a$）： $V(x) = P - P = 0$
• 右側剪力跨段（$L - a < x \le L$）： $V(x) = -P$

3. 彎矩分佈（$M$）：

• 左側剪力跨段（$0 \le x \le a$）： $M(x) = P \cdot x$ （由支承端 $0$ 線性遞增至載重點之最大彎矩 $M_{\max} = P \cdot a$）
• 中央跨段（$a \le x \le L - a$）： $M(x) = P \cdot a = \text{常數（最大正彎矩，純彎曲）}$
• 右側剪力跨段（$L - a \le x \le L$）： $M(x) = P \cdot (L - x)$ （由最大彎矩 $P \cdot a$ 線性遞減至右支承之 $0$）

二、混凝土梁之開裂狀況分析

依據斷面內部正應力 $\sigma_x$ 與剪應力 $\tau_{xy}$ 之組合狀態，梁身開裂分為兩個截然不同的特徵區域：

1. 中央純彎曲區段（$a < x < L - a$）—— 垂直彎曲裂縫（Flexural Cracks）：

• 應力狀態：該區段剪力 $V = 0$、剪應力 $\tau_{xy} = 0$，僅承受最大正彎矩。梁中性軸以下各點處於純單軸拉應力狀態（$\sigma_x > 0, \sigma_y = 0, \tau_{xy} = 0$）。
• 開裂機制：主拉應力方向平行於梁縱軸（水平向，$\theta_p = 0^\circ$）。當梁底拉應力 $\sigma_t = M \cdot y / I_g \ge f_r$ 時，斷面自梁底最外緣開裂。
• 裂縫形貌：裂縫呈鉛直走向，由梁底向上垂直延伸至中性軸附近，裂縫分佈均勻平行，隨載重增大而裂縫寬度加大。

2. 兩端剪力跨段（$0 \le x < a$ 及 $L - a < x \le L$）—— 斜向剪彎裂縫（Flexure-Shear Cracks / Diagonal Tension Cracks）：

• 應力狀態：該區段同時承受高剪力 $V = P$ 與線性變化之彎矩 $M$。斷面內同時存在彎曲正應力 $\sigma_x$ 及垂直剪應力 $\tau_{xy}$。
• 開裂機制：由莫爾圓應力分析可知，主拉應力 $\sigma_1$ 之方向角傾斜：
• 在中性軸處：$\sigma_x = 0$，剪應力達最大值 $\tau_{\max}$，主拉應力方向與梁軸呈 $45^\circ$ 傾角。

核心觀念

本題旨在測驗考生對於既有建築物「軟弱底層（Soft/Weak Story）」震害機制的掌握，以及在面臨實際都市集合住宅產權複雜、私領域無法施工等邊界條件下，提出具工程可行性之「階段性耐震補強（弱層補強）」策略。

1. 軟弱底層之破壞機制：

• 剛度不連續（軟層，Soft Story）：二樓以上具有大量外牆與分戶磚牆/RC牆，側向剛度極高；一樓作為開放式停車場（騎樓或柱列開放空間），僅由梁柱構架支撐，使一樓側向剛度顯著小於二樓（依據命題當年民國 107 年《建築物耐震設計規範及解說》，任一層側向剛度小於其上一層之 $70\%$ 或其上三層平均之 $80\%$ 即屬軟層）。
• 強度不連續（弱層，Weak Story）：一樓構架抗側剪力容量顯著低於二樓以上（任一層側向層剪力強度小於其上一層之 $80\%$ 即屬弱層）。
• 局部變形集中與 $P-\Delta$ 效應：地震力誘發塑性鉸率先於一樓柱頂及柱底形成，側向變形（層間變位角）高度集中於一樓，造成梁柱構架發生脆性剪力破壞或因二次彎矩（$P-\Delta$ 效應）失穩而全面崩塌。

2. 補強目標與法規邊界：

• 耐震目標：以命題當年（民國 107 年）政府推動之「建築物實施耐震能力評估及補強方案」（安家固園計畫階段）為基準，目標為「防止軟弱底層崩塌、確保人命安全（Life Safety / Collapse Prevention）」，消除一樓優先破壞之破壞機構（軟弱層指標改善）。（註：現行法規已將此類型標準化為「既有住宅耐震階段性補強推動手冊」之 A、B 方案）。
• 施工限制：住戶不願配合自家施工，代表補強界面不得侵入二樓至六樓住戶私有空間，所有結構補強作業必須限制於「一樓公有停車空間」、「建築外側周邊（含法定空地）」及「基礎地梁系統」。

解題方法

本題切入點應鎖定「限制施作空間於一樓及建物外部，達到消弭軟弱底層破壞機制」。具體應由「提高一樓側向剛度與強度」、「提升柱構件延性與軸壓承載能力」、「增設消能減震裝置」及「建築外掛補強」四個結構工程層面切入，並兼顧一樓停車動線之使用機能。

1. 一樓內部增設側向力抵抗系統（提高 $K_1$ 與 $V_{y1}$）

• 增設 RC 剪力牆（或翼牆）：
• 在一樓行車動線以外之周邊柱列、各停車格後方之車擋端面，增設局部單片鋼筋混凝土剪力牆或柱兩側加設翼牆（Wing Wall）。
• 藉由增加一樓截面面積與抗側剛度，大幅提升底層降伏剪力容量 $V_{y1}$，直接平衡上部樓層過大的剛度差距。
• 增設鋼構斜撐系統（Steel Braced Frames）：
• 採用倒 V 型（Chevron）、X 型鋼斜撐，或挫屈束制斜撐（BRB, Buckling-Restrained Braces）。
• 鋼構斜撐可在滿足結構開口與行車動線需求下，提供極高的初始剛度與抗側剪力；BRB 則可在中大震下提供穩定對稱的降伏滯洪消能能力，有效減少底層側位移。

2. 一樓既有梁柱構件之圍束與韌性包覆（提升延性比 $\mu$）

• 鋼板包覆補強（Steel Jacketing）：
• 對一樓所有承受高軸力之獨立柱，全面採用厚度 4.5 mm~6 mm 之鋼板全面圍束包覆，柱與鋼板間注入無收縮水泥砂漿或環氧樹脂（Epoxy）。
• 此法可防止一樓短柱剪力破壞，大幅提升核心混凝土之圍束應力，增強垂直承載極限與構件非彈性變形能力（韌性容量）。
• 碳纖維貼片包覆（CFRP Wrapping）：
• 針對空間受限或不易電焊之獨立柱，以多道碳纖維複合材料（CFRP）環向纏繞包覆。
• 重量極輕且不大幅增加柱斷面尺寸，能維持停車淨寬，並顯著提供剪力強度與剪撓圍束。

3. 消能減震系統之導入（控制層間變位角）

• 安裝流體黏滯阻尼器（Viscous Dampers）或摩擦阻尼器：
• 配置於一樓梁柱構架之特定跨間（透過人字型或斜撐桿件連結）。
• 於地震來襲時，利用消能阻尼吸收大量輸入地震能量，大幅降低一樓受力與變位集中現象，保護既有未補強柱免於提早進入塑性變形。

4. 建物周邊外加結構構架（完全不干擾一樓室內動線）

• 外附鋼骨抗彎構架／外加排架（Exoskeleton Frame）：
• 若建物周圍有足夠空地（如法定空地、天井），於建物外圍兩側或後側增設獨立外掛鋼構柱梁或外加剪力牆。
• 利用化學植筋錨栓或預力鋼棒，將外構架與建物一樓（及二樓樓板邊界）之結構邊梁牢固縫合，直接在外側承擔底層地震水平剪力與傾覆力矩。