112 地方特考三等 統計類科 抽樣方法 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・統計類科
試題代碼 抽樣方法

第 1 題10 分

某一民調公司在 12 月 1 日針對 1,200 位 20 歲以上民眾進行訪問，並發布其民意調查結果：甲候選人為 38% 支持度，乙候選人為 34% 支持度，尚未決定為 28%。

請求出甲候選人和乙候選人支持度之間差異的 95% 信賴區間。

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核心觀念

本題考兩個母體比例差的信賴區間。令甲、乙候選人的支持比例分別為 pAp_A、pBp_B，目標參數為 pA−pBp_A-p_B。同一份民調中，每位受訪者只會落在「支持甲」、「支持乙」或「尚未決定」其中一類，因此甲、乙支持比例是來自同一個多項分配樣本的兩個比例，不能當成兩個互相獨立的樣本比例。

解題方法

樣本中支持甲與支持乙的比例差為

pA−pB^=0.38−0.34=0.04.\widehat{p_A-p_B}=0.38-0.34=0.04.

將每位受訪者的回答編碼為 Xi=1X_i=1（支持甲）、Xi=−1X_i=-1（支持乙）、Xi=0X_i=0（尚未決定）。則樣本平均數就是兩支持比例之差，而

Var⁡^(Xi)=(0.38+0.34)−(0.38−0.34)2=0.72−0.0016=0.7184.\widehat{\operatorname{Var}}(X_i) =\left(0.38+0.34\right)-(0.38-0.34)^2 =0.72-0.0016 =0.7184.
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第 2 題15 分

將母體按照某一標準分成 NN 個集群，其中 mim_i 為集群 ii 中的元素個數，且

M=∑i=1Nmi。M=\sum_{i=1}^{N}m_i。

再由這 NN 個集群中用簡單隨機抽樣法抽出 nn 個集群，被抽中的集群中的每一個元素均被調查。假設 yiy_i 為第 ii 個集群中所有觀測值的總和，欲估計母體的總和 τ\tau。母體總和 τ\tau 的估計量有：

比率估計量（1）：

τ^=M∑i=1nyi∑i=1nmi。\hat{\tau}=M\frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}。

不偏估計量（2）：

τ^=Nn∑i=1nyi。\hat{\tau}=\frac{N}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i。

或是由這 NN 個集群中用 PPS（sampling with probabilities proportional to size）抽出 nn 個集群，被抽中的集群中的每一個元素均被調查。則母體總和 τ\tau 的估計量為：

PPS 估計量（3）：

τ^pps=Mn∑i=1nyimi。\hat{\tau}_{\mathrm{pps}}=\frac{M}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{y_i}{m_i}。

請說明此三估計量之使用時機。

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核心觀念

本題考的是集群抽樣下，依抽樣設計與集群大小資訊選擇母體總和估計量。母體由 NN 個集群組成，第 ii 集群有 mim_i 個元素，總元素數為 M=∑i=1NmiM=\sum_{i=1}^{N}m_i；yiy_i 是第 ii 集群內觀測值的總和。

三種估計量的差別，在於集群的抽取機率，以及是否把已知母體總元素數 MM 納入估計。

解題方法與使用時機

（1）比率估計量

τ^R=M∑i∈syi∑i∈smi\hat{\tau}_{R} =M\frac{\sum_{i\in s}y_i}{\sum_{i\in s}m_i}

此式以樣本集群內觀測值總和除以樣本集群元素總數，估計每個元素的平均觀測值，再乘上已知的母體元素總數 MM，以估計母體總和。

適用情況是：母體總元素數 MM 已知，集群以集群為單位等機率簡單隨機抽樣，且 yiy_i 與集群大小 mim_i 有大致穩定的比例關係。例如各集群的元素平均值相近時，樣本中的總值與元素數比率可用來推估母體平均值。

比率估計量通常具有較好的精確度，但一般是近似不偏，不是設計上的嚴格不偏估計量。當 yiy_i 與 mim_i 的比例關係不穩定，或樣本集群數很少時，比率估計可能有偏差。

（2）不偏估計量

τ^U=Nn∑i∈syi\hat{\tau}_{U} =\frac{N}{n}\sum_{i\in s}y_i

集群以簡單隨機抽樣抽取時，每個集群的入樣機率為 n/Nn/N。因此，樣本集群總和的期望為

E(∑i∈syi)=nN∑i=1Nyi=nNτ。E\left(\sum_{i\in s}y_i\right) =\frac{n}{N}\sum_{i=1}^{N}y_i =\frac{n}{N}\tau。

乘上 N/nN/n 後，即得

E(τ^U)=τ。E(\hat{\tau}_{U})=\tau。

因此，此估計量適用於：集群以等機率簡單隨機抽樣，目標是對母體總和作設計不偏估計。其不偏性不需要集群大小 mim_i 與集群總值 yiy_i 呈特定關係；即使集群大小不同，估計量仍對母體總和不偏。若集群大小差異很大，估計精確度則可能較差。

（3）PPS 估計量

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第 3 題15 分

某公司在臺灣一共有 100 個廠區，因最近疫情關係供貨吃緊，總經理想要估計所有 100 個廠區員工未來一年請病假的總天數。

100 個廠區可細分為 70 家小廠及 30 家大廠。從過去經驗，小廠員工請假天數約在 0～100 天病假，大廠員工請假天數約在 10～210 天病假，估計誤差界限設為 500 天。

請找出可達到這個界限的適當樣本大小及各層配置樣本大小。

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核心觀念

本題考分層隨機抽樣下，估計母體總數所需的樣本數與層內配置。先依廠區規模分成兩層，再利用各層過去病假天數的範圍估計變異數；題目沒有提供各層的實際變異數，因此採用範圍資料常見的均勻分布近似，並以 Neyman 配置分配樣本。

設定誤差界限為總數估計量的 B=500B=500 天。採用約 95% 信賴水準，取 z0.975=1.96z_{0.975}=1.96，故所需變異數上限為

V(T^)≤(B1.96)2.V(\hat T)\leq \left(\frac{B}{1.96}\right)^2.

解題方法

令小廠為第 1 層、大廠為第 2 層。各層廠區數為 N1=70N_1=70、N2=30N_2=30，總廠區數 N=100N=100。

以均勻分布近似各層病假天數，若範圍為 aa 至 bb，變異數估計為 (b−a)2/12(b-a)^2/12。因此：

S12=(100−0)212=833.33,S22=(210−10)212=3333.33.S_1^2=\frac{(100-0)^2}{12}=833.33,\qquad S_2^2=\frac{(210-10)^2}{12}=3333.33.

令兩層樣本數為 n1,n2n_1,n_2，分層抽樣下總數估計量的變異數為

V(T^)=∑h=12Nh2(1−nhNh)Sh2nh=∑h=12Nh2Sh2(1nh−1Nh).V(\hat T) =\sum_{h=1}^{2}N_h^2\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{S_h^2}{n_h} =\sum_{h=1}^{2}N_h^2S_h^2\left(\frac{1}{n_h}-\frac{1}{N_h}\right).

在固定總樣本數下，Neyman 配置為 nh∝NhShn_h\propto N_hS_h。先計算配置權重：

N1S1=70833.33≈2020.73,N2S2=303333.33≈1732.05.N_1S_1=70\sqrt{833.33}\approx2020.73,\qquad N_2S_2=30\sqrt{3333.33}\approx1732.05.

總權重約為 3752.783752.78，故配置比例為

W1≈0.5385,W2≈0.4615.W_1\approx0.5385,\qquad W_2\approx0.4615.

令 n1=W1nn_1=W_1n、n2=W2nn_2=W_2n。代入變異數式，得到

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第 4 題35 分

【題組共用題幹】

表一為臺灣 60 大城市之 11 月份降雨量，單位：公厘（mm）。城市 1 至城市 60 排列方式是依地理位置從北到南依序排列。城市號碼愈小，所在位置也就愈偏臺灣北部；城市號碼愈大，所在位置也就愈偏臺灣南部。

城市 1 至 10 的表格文字擷取結果如下：

  • 城市 1：4.9
  • 城市 2 至 8：文字擷取缺漏，請參考原卷
  • 城市 9：4.5
  • 城市 10：3.0

城市 11 至 20 的 11 月份降雨量如下：

  • 城市 11：4.2
  • 城市 12：4.7
  • 城市 13：4.8
  • 城市 14：4.4
  • 城市 15：4.7
  • 城市 16：4.8
  • 城市 17：3.7
  • 城市 18：3.6
  • 城市 19：2.9
  • 城市 20：4.8

城市 21 至 30 的 11 月份降雨量如下：

  • 城市 21：4.2
  • 城市 22：3.5
  • 城市 23：3.9
  • 城市 24：3.0
  • 城市 25：4.3
  • 城市 26：3.4
  • 城市 27：3.5
  • 城市 28：3.6
  • 城市 29：1.5
  • 城市 30：2.7

城市 31 至 40 的 11 月份降雨量如下：

  • 城市 31：2.9
  • 城市 32：7.4
  • 城市 33：2.9
  • 城市 34：3.4
  • 城市 35：1.8
  • 城市 36：2.2
  • 城市 37：2.9
  • 城市 38：1.2
  • 城市 39：2.6
  • 城市 40：4.5

城市 41 至 50 的 11 月份降雨量如下：

  • 城市 41：2.7
  • 城市 42：1.8
  • 城市 43：2.7
  • 城市 44：2.0
  • 城市 45：2.6
  • 城市 46：1.1
  • 城市 47：3.2
  • 城市 48：1.8
  • 城市 49：1.7
  • 城市 50：1.3

城市 51 至 60 的 11 月份降雨量如下：

  • 城市 51：1.4
  • 城市 52：2.4
  • 城市 53：1.9
  • 城市 54：0.8
  • 城市 55：2.1
  • 城市 56：0.6
  • 城市 57：0.6
  • 城市 58：0.6
  • 城市 59：0.7
  • 城市 60：0.5

(一) 假設用簡單隨機抽樣法抽出 n=10n=10 個臺灣大城市，10 個樣本的號碼如下：2、12、16、20、24、27、32、40、47、56。試估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量 μ^\hat{\mu} 及其估計變異數 V^(μ^)\hat{V}(\hat{\mu})？

(二) 選擇一組 10 個樣本的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼 3。試以此組系統樣本估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量 μ^\hat{\mu} 及其估計變異數 V^(μ^)\hat{V}(\hat{\mu})？假設母體為隨機排列。

(三) 如果採重複系統抽樣，抽出兩個「12 取 1」的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼 1 及 6。試以此兩組重複系統樣本估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量 μ^\hat{\mu} 及其估計變異數 V^(μ^)\hat{V}(\hat{\mu})？

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題比較三種抽樣設計下，母體平均數 μ\mu 的估計與估計變異數：

  1. 簡單隨機抽樣（SRSWOR） μ^=yˉ\hat{\mu}=\bar{y} V^(μ^)=(1−nN)s2n\hat{V}(\hat{\mu})=\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{s^2}{n}

  2. 系統抽樣

μ^=yˉsys\hat{\mu}=\bar{y}_{\mathrm{sys}}

題目假設母體為隨機排列，因此系統樣本可視為隨機分組，採用：

V^(μ^)=(1−nN)s2n\hat{V}(\hat{\mu}) =\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{s^2}{n}
  1. 重複系統抽樣 以各組系統樣本平均數之間的變異估計總平均數的變異：
V^(μ^)=1r(r−1)∑j=1r(yˉj−yˉ⋅)2\hat{V}(\hat{\mu}) = \frac{1}{r(r-1)} \sum_{j=1}^{r} \left(\bar{y}_j-\bar{y}_{\cdot}\right)^2

其中 N=60N=60，n=10n=10，s2s^2 為樣本變異數：

s2=∑i=1n(yi−yˉ)2n−1s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}{n-1}

以下數值依原卷圖表計算；原文字擷取部分與圖表不一致處，以圖中數值為準。

（一）簡單隨機抽樣

抽出的城市為：

2, 12, 16, 20, 24, 27, 32, 40, 47, 562,\ 12,\ 16,\ 20,\ 24,\ 27,\ 32,\ 40,\ 47,\ 56

依原圖，各城市降雨量為：

4.7, 3.5, 3.4, 4.8, 3.4, 2.9, 1.8, 4.5, 0.6, 0.84.7,\ 3.5,\ 3.4,\ 4.8,\ 3.4,\ 2.9,\ 1.8,\ 4.5,\ 0.6,\ 0.8

1. 平均降雨量估計

μ^=yˉ=30.410=3.04 mm\hat{\mu}=\bar{y} =\frac{30.4}{10} =3.04\text{ mm}

2. 樣本變異數

∑(yi−yˉ)2=20.984\sum (y_i-\bar{y})^2=20.984

因此：

s2=20.9849=2.33156s^2=\frac{20.984}{9}=2.33156

3. 估計變異數

V^(μ^)=(1−1060)2.3315610\hat{V}(\hat{\mu}) = \left(1-\frac{10}{60}\right)\frac{2.33156}{10} =56×2.3315610=0.19430 mm2= \frac{5}{6}\times \frac{2.33156}{10} =0.19430\text{ mm}^2

所以：

μ^=3.04 mm\boxed{\hat{\mu}=3.04\text{ mm}} V^(μ^)=0.1943 mm2\boxed{\hat{V}(\hat{\mu})=0.1943\text{ mm}^2}

（二）系統抽樣

系統間隔為：

k=Nn=6010=6k=\frac{N}{n}=\frac{60}{10}=6

起始號碼為 33，故抽取城市：

3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 573,\ 9,\ 15,\ 21,\ 27,\ 33,\ 39,\ 45,\ 51,\ 57

其降雨量為：

4.8, 4.5, 4.3, 4.2, 2.9, 2.9, 2.6, 2.1, 1.4, 0.54.8,\ 4.5,\ 4.3,\ 4.2,\ 2.9,\ 2.9,\ 2.6,\ 2.1,\ 1.4,\ 0.5

1. 平均降雨量估計

μ^=yˉsys=30.210=3.02 mm\hat{\mu}=\bar{y}_{\mathrm{sys}} =\frac{30.2}{10} =3.02\text{ mm}

2. 樣本變異數

∑(yi−yˉ)2=18.416\sum (y_i-\bar{y})^2=18.416 s2=18.4169=2.04622s^2=\frac{18.416}{9}=2.04622
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第 5 題10 分

針對新移民做的一項抽樣調查，想獲得他們對於臺灣移民政策的看法。

從政府的登記資料知道新移民中有 60% 的女性與 40% 的男性。一共抽樣 1,000 人，其中有 87%（870 位）是女性，13%（130 位）是男性。在 870 位回答的女性中有 566 位贊成，在 130 位回答的男性中有 102 位贊成。

由此事後分層，請估計新移民贊成此移民政策的比例 p^st\hat{p}_{\mathrm{st}} 及其估計的變異數 V^p(p^st)\hat{V}_{p}(\hat{p}_{\mathrm{st}})。

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核心觀念

本題考「事後分層抽樣估計」。樣本抽出後，利用已知的母體分層比例調整各層權重，避免樣本中女性、男性比例與母體比例不同所造成的偏差。

女性與男性在母體中的權重分別為 WF=0.60W_F=0.60、WM=0.40W_M=0.40。各層的贊成比例以樣本比例估計：

p^F=566870,p^M=102130.\hat p_F=\frac{566}{870},\qquad \hat p_M=\frac{102}{130}.

事後分層的整體比例估計量為：

p^st=∑hWhp^h.\hat p_{\mathrm{st}}=\sum_h W_h\hat p_h.

解題方法

依母體已知比例加權各層的樣本贊成率：

p^st=0.60(566870)+0.40(102130)=0.7046154.\begin{aligned} \hat p_{\mathrm{st}} &=0.60\left(\frac{566}{870}\right) +0.40\left(\frac{102}{130}\right)\\ &=0.7046154. \end{aligned}

因此估計的新移民贊成比例約為 70.46%70.46\%。

估計變異數採用事後分層估計的常用公式：

V^p(p^st)=∑hWh2(1−fh)p^h(1−p^h)nh,\hat V_p(\hat p_{\mathrm{st}}) =\sum_h W_h^2(1-f_h)\frac{\hat p_h(1-\hat p_h)}{n_h},
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第 6 題15 分

請比較簡單隨機估計、比率簡單估計、差異估計、迴歸估計的相對有效性。

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核心觀念

本題比較在簡單隨機不放回抽樣（SRSWOR）下，利用輔助變數 XX 估計研究變數 YY 母體平均數的四種方法。設母體大小為 NN、樣本大小為 nn、抽樣率 f=n/Nf=n/N，且已知母體平均數 Xˉ\bar X。

簡單隨機估計只使用樣本中的 YY；比率估計、差異估計與迴歸估計則利用 XX 與 YY 的關係改善精確度。比較時主要看估計量的變異數或均方誤差（MSE）：

  • 相對有效性可用變異數比表示。例如以簡單隨機估計為基準：
RE⁡(估計量相對於 SRS)=V(yˉ)MSE⁡(估計量).\operatorname{RE}(\text{估計量相對於 SRS})= \frac{V(\bar y)}{\operatorname{MSE}(\text{估計量})}.

數值大於 11，表示該估計量較有效。

  • 比率估計具有近似偏差，故通常以近似 MSE 比較；差異估計與迴歸估計在斜率固定時則可視為線性估計。

解題方法與公式

令 Sy2S_y^2、Sx2S_x^2、SxyS_{xy} 分別為母體中 YY、XX 的變異數及共變數，且 ρ=Sxy/(SxSy)\rho=S_{xy}/(S_xS_y)。

1. 簡單隨機估計

以樣本平均數 yˉ\bar y 估計 Yˉ\bar Y：

V(yˉ)=(1−nN)Sy2n.V(\bar y)=\left(1-\frac nN\right)\frac{S_y^2}{n}.

此估計量設計不偏，不使用輔助變數資訊，可作為比較基準。

2. 比率簡單估計

比率估計量為：

yˉR=yˉXˉxˉ,\bar y_R=\bar y\frac{\bar X}{\bar x},

其中 xˉ\bar x 是樣本的輔助變數平均數。其近似 MSE 為：

MSE⁡(yˉR)≈(1−nN)1n(Sy2+R2Sx2−2RSxy),R=YˉXˉ.\operatorname{MSE}(\bar y_R)\approx \left(1-\frac nN\right)\frac{1}{n} \left(S_y^2+R^2S_x^2-2RS_{xy}\right), \qquad R=\frac{\bar Y}{\bar X}.

括號內亦可寫成 Y−RXY-RX 的母體變異數。比率估計適合 YY 與 XX 呈正向、近似通過原點的比例關係。若 XX 與 YY 關聯弱，或比例關係不合適，效率未必勝過簡單隨機估計。

3. 差異估計

差異估計量為：

yˉD=yˉ+B(Xˉ−xˉ),\bar y_D=\bar y+B(\bar X-\bar x),

其中 BB 是指定的斜率。因為 Xˉ−xˉ\bar X-\bar x 在 SRSWOR 下期望為 00，固定 BB 時此估計量設計不偏。其變異數為：

V(yˉD)=(1−nN)1n(Sy2+B2Sx2−2BSxy).V(\bar y_D)=\left(1-\frac nN\right)\frac{1}{n} \left(S_y^2+B^2S_x^2-2BS_{xy}\right).

括號內是 Y−BXY-BX 的變異數。取 B=RB=R 時，差異估計的一階近似變異數與比率估計的近似 MSE 相同；

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