112 地方特考三等 統計類科 迴歸分析 考古題詳解

核心觀念

一元線性迴歸含截距時，斜率估計量為

其中 $S_{xy}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$，$S_{xx}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$。迴歸線通過樣本平均點 $(\bar{x},\bar{y})$，所以截距估計量為 $\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$。

標準化後的變數平均數為 $0$、標準差為 $1$；這會讓標準化迴歸的截距與斜率有直接且簡潔的表示。

解題方法與推導

由

可知 $\bar{x}^*=\bar{y}^*=0$，且 $x^*$ 與 $y^*$ 的標準差均為 $1$。

含截距的一元迴歸線通過兩變數的平均點，因此標準化迴歸線通過 $(\bar{x}^*,\bar{y}^*)=(0,0)$。代入

得 $\tilde{\beta}_0=0$。

再將原始迴歸式改寫成標準化尺度：

利用 $\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$，可得

核心觀念

本題利用虛擬變數 $G$ 與交乘項 $XG$，將兩班迴歸線統一表示為

當 $G=0$（乙班）時：

當 $G=1$（甲班）時：

因此：

• 乙班截距為 $\beta_0$，斜率為 $\beta_1$。
• 甲班截距為 $\beta_0+\beta_2$，斜率為 $\beta_1+\beta_3$。
• 兩班斜率相同 $\Longleftrightarrow \beta_3=0$。
• 兩班截距相同 $\Longleftrightarrow \beta_2=0$。

所以：

• M4 是完整模型：兩班截距、斜率皆可不同。
• M3 是平行線模型：斜率相同，但截距可不同。
• M1 是共同迴歸線模型：截距、斜率皆相同。

檢定時使用巢狀模型的部分 $F$ 檢定：

其中 $R$ 為限制模型，$F$ 為完整模型，$q$ 為限制條件個數。

（一）檢定兩班的 $Y$ 對 $X$ 關係是否平行

解題方法

平行線表示兩班斜率相同，但截距可以不同，因此先比較：

• 限制模型：M3，$Y$ 對 $X,G$ 迴歸
• 完整模型：M4，$Y$ 對 $X,G,XG$ 迴歸

M3：

M4：

在 M4 中，$XG$ 的係數就是斜率差異：

因此檢定：

對抗

由 M3 與 M4 的誤差平方和：

限制條件數為 $q=1$，完整模型誤差均方為

故

臨界值為

因為

所以不拒絕 $H_0$，兩班斜率沒有顯著差異。

檢查截距是否不同

在平行線模型 M3 中，$G$ 的檢定結果為：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中，對迴歸係數進行 $t$ 檢定、對迴歸式進行 $F$ 檢定等推論所依據的誤差項假設，以及資料分組或重複測量時可能造成的違反情形。模型為

在固定設計的迴歸推論中，常用的誤差項假設包括：

1. 零平均數：$E(\varepsilon_i\mid X)=0$。
2. 等變異數：$\operatorname{Var}(\varepsilon_i\mid X)=\sigma^2$，各觀察值的誤差變異相同。
3. 誤差互不相關：$\operatorname{Cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j\mid X)=0$，$i\ne j$。
4. 常態性：$\varepsilon_i\mid X\sim N(0,\sigma^2)$，用以建立小樣本下精確的 $t$ 與 $F$ 檢定分配。

其中，零條件平均數、等變異數及互不相關是經典迴歸推論的重要條件；常態性則使小樣本檢定具有精確的有限樣本分配。題目所稱的「檢定」若指傳統迴歸的 $t$、$F$ 檢定，應列出上述完整假設。

解題方法

判斷各小題時，先看資料的安排是否會使誤差的變異數隨觀察值改變，或使不同觀察值的誤差彼此相關。題目只說明 $x$ 的分組或同一人的重複測量，不代表誤差的平均數或常態性必然違反；因此應聚焦在有根據可判斷的變異數與相關性假設。

（一）檢定有效性的誤差項假設

傳統小樣本線性迴歸檢定的誤差項假設可寫為：

以及

也就是誤差項條件平均為零、等變異、互不相關，且服從常態分配。若不具常態性，$t$ 與 $F$ 檢定在大樣本下仍可能有近似依據；但本題有 40 筆觀察值，傳統精確小樣本檢定的假設列答時應包含常態性。

（二）男性與女性體重變異不同

核心觀念

本題考「類別變數的虛擬變數迴歸」及「迴歸係數與組間平均數差異的對應關係」。

判斷藥效時，應先由迴歸式求出三組的預測平均數，再依各組間的對比檢定判斷是否具有顯著差異。個別係數的 $p$ 值，只能直接解釋該係數所代表的特定對比，不能任意推論所有組間差異。

（一）以 $C$ 組為基準組

模型為

虛擬變數設定為：

• $C$ 組：$X_1=0,\ X_2=0$
• $A$ 組：$X_1=1,\ X_2=0$
• $B$ 組：$X_1=0,\ X_2=1$

因此：

三種藥物的估計藥效

$C$ 組：

$A$ 組：

$B$ 組：

所以估計藥效排序為

但「估計值排序」與「統計上顯著差異」必須分開判斷。

組間差異的解釋

$A$ 組與 $C$ 組

$\beta_1=-2.10$ 代表

其 $p$ 值為 $0.32>0.05$，故不能拒絕

因此，$A$ 組雖然估計藥效低於 $C$ 組，但兩者沒有顯著差異。

$B$ 組與 $C$ 組

$\beta_2=4.50$ 代表

其 $p$ 值為 $0.000<0.05$，故拒絕

因此，$B$ 組的藥效顯著高於 $C$ 組。

$A$ 組與 $B$ 組

兩組差異為

雖然估計上 $B$ 組高於 $A$ 組，但表中沒有直接提供 $\beta_1-\beta_2$ 的標準誤與 $p$ 值，因此不能僅由 $\beta_1$ 與 $\beta_2$ 各自的 $p$ 值，嚴格判定 $A$、$B$ 兩組是否顯著不同。應另作線性對比檢定：

小結

由表中可直接確定：

• $B$ 組顯著優於 $C$ 組。
• $A$ 組與 $C$ 組無顯著差異。
• $A$ 組與 $B$ 組的估計差異為 $6.60$，但須另作對比檢定才能判定顯著性。

（二）以總平均為中心的虛擬變數

題目所列 $X_1^*,X_2^*$ 為效果編碼（effect coding）：

題目文字中的迴歸式未列常數項，但輸出表出現 Constant，因此依照實際輸出，應解讀為含常數項的模型：

三組樣本數相同，所以 $\beta_0$ 可解釋為三組藥效的總平均。