112 地方特考三等 電力工程類科 電力系統 考古題詳解

核心觀念

後衛保護（backup protection）是在主保護或相關斷路器未能正常切除故障時，仍能隔離故障區域的保護措施。它提供保護系統的備援，避免故障持續存在而擴大設備損害、影響系統穩定或造成較大範圍停電。

後衛保護可依配置位置分為：

• 局部後衛保護：設於故障設備附近，例如斷路器失靈保護；當斷路器收到跳脫命令卻未能切斷故障電流時，命令相鄰斷路器跳脫。
• 遠端後衛保護：由電源側上游的保護電驛，備援保護下游線路或設備。放射狀線路常以電流電驛的時間級差達成。

(一) 後衛保護之目的

後衛保護的目的，是在主保護或斷路器失效時，仍能切除故障。具體而言：

1. 增加保護系統的可靠度，降低單一保護元件失效造成故障無法切除的風險。
2. 限制故障持續時間與影響範圍，減少設備受熱、電弧及機械應力損害。
3. 維持電力系統穩定，避免故障擴大而引發連鎖跳脫或大範圍停電。

(二) 放射狀線路如何達到後衛保護

放射狀線路通常由單一電源向下游供電，故障電流大致由電源流向故障點。可在各段線路配置過電流電驛，採用時間電流協調：下游保護先動作，上游保護延遲動作，兼作下游的遠端後衛。

以電源至負載方向依序為 $S-R_1-R_2-R_3$ 為例，若 $R_3$ 下游發生故障，預期由最靠近故障點的 $R_3$ 保護先跳脫；若 $R_3$ 電驛或其斷路器未能切除故障，則上游的 $R_2$ 延時跳脫；若 $R_2$ 仍失效，再由更上游的 $R_1$ 延時跳脫。

設定時應遵循下列原則：

核心觀念

標么值是以選定的基底值為基準，將實際電氣量表示為無因次比例：

$$\text{標么值}=\frac{\text{實際值}}{\text{基底值}}$$

電力系統包含不同電壓等級，變壓器連接各級電網時，若一律使用實際值，計算中需反覆處理變比換算。

解題方法

標么值的主要優點，是在各電壓側採用相容的基底後，理想變壓器的變比換算可自然反映於基底值，跨電壓等級計算時通常不必逐一換算阻抗或電流。如此可簡化含多台變壓器、多個電壓等級的電力系統分析，並降低換算錯誤。

此外，設備參數的標么值通常落在相近範圍，便於比較與檢查；但題目問「最大之原因」，最核心的回答仍是簡化不同電壓等級間的計算與變比換算。

（二）三相電路的最佳基底指定

核心觀念

三相系統採用標么值時，最佳做法是先指定一個三相功率基底及一個線間電壓基底，再由此推得其餘基底。指定的兩項為：

1. 三相總視在功率基底 $S_{B,3\phi}$
2. 線間電壓基底 $V_{B,LL}$

其中功率基底是三相總量，電壓基底是線與線間的電壓，不是單相功率或相電壓。

解題方法

核心觀念

本題考三相平衡線路的相量電壓降。已知線路阻抗是每相阻抗，負載功率是三相總功率，因此先由三相功率求線電流，再以每相等效電路計算送電端電壓。

採用負載端相電壓為參考相量，並假設線路阻抗 $Z=R+jX=3+j8\ \Omega$ 為每相串聯阻抗。三相平衡時：

$$P=\sqrt{3}V_{R,L}I_L\cos\phi$$

其中 $V_{R,L}=11\ \mathrm{kV}$，且線電流 $I_L$ 等於相電流。每相電壓降為 $IZ$，故送電端相電壓為

$$\underline V_{S,\phi}=\underline V_{R,\phi}+\underline I Z, \qquad V_{S,L}=\sqrt{3}\left|\underline V_{S,\phi}\right|.$$

解題方法

負載端相電壓為

$$V_{R,\phi}=\frac{11{,}000}{\sqrt{3}} =6{,}350.85\ \mathrm{V}.$$

三相負載有功功率為 $P=3{,}300{,}000\ \mathrm{W}$。各小題依功率因數求出電流大小與相位，再將線路壓降加到負載端相電壓上。

（一）功率因數 $0.8$ 落後

$$I_L=\frac{3{,}300{,}000} {\sqrt{3}(11{,}000)(0.8)} =216.51\ \mathrm{A}, \qquad \phi=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ.$$

落後功率因數表示電流落後負載端電壓，因此

$$\underline I=216.51\angle(-36.87^\circ)\ \mathrm{A}.$$

以負載端相電壓為實軸，將電流分解為 $I\cos\phi$ 與 $-jI\sin\phi$。相電壓降為

$$\underline I Z =I\left[(R\cos\phi+X\sin\phi) +j(X\cos\phi-R\sin\phi)\right].$$

代入 $R=3\ \Omega$、$X=8\ \Omega$、$\cos\phi=0.8$、$\sin\phi=0.6$：

$$\underline I Z =216.51[(3\times0.8+8\times0.6) +j(8\times0.8-3\times0.6)]$$ $$=1{,}428.98+j1{,}039.24\ \mathrm{V}.$$

所以

$$\underline V_{S,\phi} =(6{,}350.85+1{,}428.98)+j1{,}039.24 =7{,}779.83+j1{,}039.24\ \mathrm{V}.$$ $$V_{S,L} =\sqrt{3}\sqrt{7{,}779.83^2+1{,}039.24^2} \approx \boxed{13.62\ \mathrm{kV}}.$$

（二）功率因數 $1.0$

$$I_L=\frac{3{,}300{,}000}{\sqrt{3}(11{,}000)} =173.21\ \mathrm{A}.$$

此時電流與負載端電壓同相，故

核心觀念

本題考查對稱分量與不平衡三相電壓的合成。已知 $a$ 相電壓的正序、負序與零序分量，利用對稱分量的相位關係，即可還原三相電壓。

令 $a=e^{j120^\circ}$，則三相電壓為

$$\begin{bmatrix} V_a\\ V_b\\ V_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_{a0}\\ V_{a1}\\ V_{a2} \end{bmatrix}.$$

因此，

$$\begin{aligned} V_a&=V_{a0}+V_{a1}+V_{a2},\\ V_b&=V_{a0}+a^2V_{a1}+aV_{a2},\\ V_c&=V_{a0}+aV_{a1}+a^2V_{a2}. \end{aligned}$$

正序分量的三相相位依序為 $a,b,c$ 相差 $120^\circ$；負序分量的相序相反；零序分量三相同相。

解題方法

已知

$$V_{a1}=20\angle30^\circ,\qquad V_{a2}=30\angle135^\circ,\qquad V_{a0}=10\angle45^\circ.$$

各序分量在三相的分布如下：

相別	零序分量	正序分量	負序分量
$a$ 相	$10\angle45^\circ$	$20\angle30^\circ$	$30\angle135^\circ$
$b$ 相	$10\angle45^\circ$	$20\angle(-90^\circ)$	$30\angle255^\circ$
$c$ 相	$10\angle45^\circ$	$20\angle150^\circ$	$30\angle15^\circ$

核心觀念

本題考的是單機無限匯流排系統的暫態穩定度分析。轉子運動方程式為

$$M\frac{d^2\delta}{dt^2}=P_m-P_e$$

其中 $\delta$ 為功角、$P_m$ 為機械輸入功率、$P_e$ 為電氣輸出功率，$M$ 為慣性常數所對應的係數。故障期間若 $P_m>P_e$，轉子加速、功角增加；故障切除後若 $P_e>P_m$，轉子減速。

等面積法則將加速與減速期間的功率差，分別換算為功角—功率圖上的面積。臨界穩定時，故障切除後可取得的最大減速面積恰好等於故障期間累積的加速面積。

(一) 等面積法則如何應用於計算臨界清除角

解題方法

設故障前、故障中、故障切除後的功角—功率特性分別為

$$P_{e,\mathrm{pre}}=P_{\max,\mathrm{pre}}\sin\delta,\qquad P_{e,\mathrm{f}}=P_{\max,\mathrm{f}}\sin\delta,\qquad P_{e,\mathrm{post}}=P_{\max,\mathrm{post}}\sin\delta$$

通常故障期間輸出功率降低，故障切除後系統恢復至故障後特性。穩態初始功角 $\delta_0$ 由故障前功率平衡決定：

$$P_m=P_{\max,\mathrm{pre}}\sin\delta_0$$

故障切除後的不穩定平衡角為 $\delta_u$，滿足

$$P_m=P_{\max,\mathrm{post}}\sin\delta_u,\qquad \delta_u=\pi-\sin^{-1}\left(\frac{P_m}{P_{\max,\mathrm{post}}}\right)$$

其中取大於 $90^\circ$ 的交點，作為第一擺穩定分析的功角上限。

令 $\delta_c$ 為臨界清除角。故障期間轉子由 $\delta_0$ 加速至 $\delta_c$，加速面積為

$$A_{\mathrm{acc}} =\int_{\delta_0}^{\delta_c}(P_m-P_{e,\mathrm{f}})\,d\delta$$

故障切除後，轉子由 $\delta_c$ 繼續前進並減速至 $\delta_u$，最大可用減速面積為

$$A_{\mathrm{dec}} =\int_{\delta_c}^{\delta_u}(P_{e,\mathrm{post}}-P_m)\,d\delta$$

臨界狀態令兩面積相等：

$$\int_{\delta_0}^{\delta_c}(P_m-P_{e,\mathrm{f}})\,d\delta = \int_{\delta_c}^{\delta_u}(P_{e,\mathrm{post}}-P_m)\,d\delta$$

若故障中與故障後功率曲線皆為正弦型，積分後可得

$$P_m(\delta_c-\delta_0) +P_{\max,\mathrm{f}}(\cos\delta_c-\cos\delta_0) = P_{\max,\mathrm{post}}(\cos\delta_c-\cos\delta_u) -P_m(\delta_u-\delta_c)$$

整理即可求得臨界清除角：

$$\cos\delta_c = \frac{ P_m(\delta_u-\delta_0) +P_{\max,\mathrm{f}}\cos\delta_0 -P_{\max,\mathrm{post}}\cos\delta_u }{ P_{\max,\mathrm{f}}-P_{\max,\mathrm{post}} }$$