112 地方特考三等 交通技術類科 交通統計 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・交通技術類科
試題代碼 交通統計

第 一 題10 分

試解釋何謂統計量之不偏性及有效性。

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核心觀念

本題考查如何用統計量估計母體參數，以及評價估計量的兩項性質：不偏性與有效性。設母體參數為 θ\theta，其估計量為 θ^\hat{\theta}。

解題方法

不偏性看估計量的期望值是否等於欲估計的參數：

E(θ^)=θE(\hat{\theta})=\theta

若對所有容許的 θ\theta 都成立，則稱 θ^\hat{\theta} 為 θ\theta 的不偏估計量。若 E(θ^)≠θE(\hat{\theta})\ne\theta，其偏誤為

Bias⁡(θ^)=E(θ^)−θ\operatorname{Bias}(\hat{\theta})=E(\hat{\theta})-\theta

偏誤等於零即為不偏。此性質描述估計量在重複抽樣下的平均位置，並不表示每一次抽樣所得的估計值都恰好等於真值。

有效性則比較估計量的變異程度。若 θ^1\hat{\theta}_1、θ^2\hat{\theta}_2 都是不偏估計量，且

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第 二 題20 分

根據交通部統計處某年度之計程車營運狀況調查，某計程車每天所耗用之油料費用為一常態分配，其平均值為 382382 元，標準差為 112112 元。

（一）當隨機抽取一輛計程車，其每天耗用之油料成本超過 450450 元之機率為何？

（二）續題（一），請說明題（一）中所估算之機率之意義。

（三）某家計程車行有 66 輛計程車，則 66 輛計程車每天平均的油料費用為何？其平均值超過 450450 元的機率為何？

（四）續題（三），該車行每天油料費用少於 2,2002{,}200 元的機率為何？

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核心觀念

本題考查常態分配、標準常態化，以及樣本平均數的抽樣分配。

設單輛計程車每日油料費用為 XX，題目給定

X∼N(382,1122),X\sim N(382,112^2),

其中平均數 μ=382\mu=382 元、標準差 σ=112\sigma=112 元。標準化公式為

Z=X−μσ∼N(0,1).Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).

若抽取 nn 輛計程車，且各車油料費用相互獨立、來自相同分配，則每日平均油料費用 Xˉ\bar X 的分配為

Xˉ∼N(μ,σ2n),\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),

其平均數為 μ\mu，標準誤為 σXˉ=σ/n\sigma_{\bar X}=\sigma/\sqrt n。

解題方法與計算

（一）單輛計程車每日油料費用超過 450 元的機率

先將 450 元標準化：

z=450−382112=68112≈0.6071.z=\frac{450-382}{112}=\frac{68}{112}\approx 0.6071.

因此

P(X>450)=P(Z>0.6071)=1−Φ(0.6071)≈1−0.7282=0.2718.P(X>450)=P(Z>0.6071)=1-\Phi(0.6071)\approx 1-0.7282=0.2718.

**答：**機率約為 0.27180.2718，亦即約 27.18%27.18\%。

（二）題（一）機率的意義

此機率表示：在題目所假設的常態分配下，從該類計程車中隨機抽取一輛，其每日油料費用超過 450 元的機率約為 27.18%27.18\%。若觀察許多輛車的每日油料費用，長期而言，約有 27.18%27.18\% 的車輛會超過 450 元。

這是單輛車的個別費用超過門檻的機率，不是平均油料費用超過 450 元的機率。

（三）6 輛車每日平均油料費用及其超過 450 元的機率

6 輛車的每日平均油料費用為 Xˉ\bar X。其抽樣分配平均數為

μXˉ=μ=382 元,\mu_{\bar X}=\mu=382\text{ 元},

標準誤為

σXˉ=1126≈45.72 元.\sigma_{\bar X}=\frac{112}{\sqrt 6}\approx 45.72\text{ 元}.

因此，6 輛車每日平均油料費用超過 450 元的機率為

P(Xˉ>450)=P(Z>450−382112/6)=P(Z>1.487)≈1−0.9315≈0.0685.\begin{aligned} P(\bar X>450) &=P\left(Z>\frac{450-382}{112/\sqrt 6}\right)\\ &=P(Z>1.487)\approx 1-0.9315\\ &\approx 0.0685. \end{aligned}
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第 三 題20 分

假設目前所屬單位所使用之號誌設備為 A 廠牌，而 A 牌號誌設備的平均使用年限為 88 年，標準差為 1.41.4 年。所屬單位目前正考慮採購宣稱平均使用年限可較目前 A 牌設備長 1.51.5 年之 B 牌設備。A、B 兩種品牌的號誌設備廠商各提供 6464 個樣本。B 牌號誌設備的平均使用年限為 99 年，標準差為 1.91.9 年。

試問 B 牌號誌設備平均使用年限是否比 A 牌號誌設備長 1.51.5 年？試闡述您是否會接受 B 牌號誌設備廠商之說法？

（所需統計表請見附件。）

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核心觀念

本題考兩個母體平均數差的假設檢定。令 μA\mu_A、μB\mu_B 分別代表 A、B 牌號誌設備的母體平均使用年限，關心的差異為 μB−μA\mu_B-\mu_A。

廠商宣稱 B 牌平均使用年限「可較 A 牌長 1.51.5 年」，按「至少長 1.51.5 年」解讀，檢定方向應是左尾：

H0:μB−μA≥1.5,H1:μB−μA<1.5H_0:\mu_B-\mu_A\geq 1.5,\qquad H_1:\mu_B-\mu_A<1.5

題目未指定顯著水準，以下採常用的 α=0.05\alpha=0.05。兩組樣本數均為 6464，可用大樣本兩母體平均數差的 ZZ 檢定。若題目給的標準差視為母體標準差，標準誤為

SE=σA2nA+σB2nBSE=\sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A}+\frac{\sigma_B^2}{n_B}}

解題方法

已知 xˉA=8\bar{x}_A=8、σA=1.4\sigma_A=1.4、nA=64n_A=64，以及 xˉB=9\bar{x}_B=9、σB=1.9\sigma_B=1.9、nB=64n_B=64。樣本平均數差為

xˉB−xˉA=9−8=1 年\bar{x}_B-\bar{x}_A=9-8=1\text{ 年}

在虛無假設邊界 μB−μA=1.5\mu_B-\mu_A=1.5 下，檢定統計量為

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第 四 題20 分

某交通工程師欲估計某商場開幕後，對鄰近路口的服務水準影響為何，以下為該商場鄰近 99 處路口的停等延滯資料。試問事前事後停等延滯時間差的 95%95\% 信賴區間為何？該商場是否顯著增加鄰近路口的停等延滯？

路口123456789
事前停等延滯（秒）31.517.222.245.833.318.826.750.631.4
事後停等延滯（秒）35.619.225.050.337.821.032.354.536.9
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題為同一路口在商場開幕「前、後」的延滯時間比較，兩組資料具有一一對應關係，因此應採用「成對樣本 tt 信賴區間」及「成對樣本 tt 檢定」，不可視為兩組獨立樣本。

令每一路口的停等延滯時間差為：

di=事後延滯−事前延滯d_i=\text{事後延滯}-\text{事前延滯}

若 95%95\% 信賴區間不包含 00，即可判定事前、事後平均延滯有顯著差異；若整個區間大於 00，表示商場開幕後延滯顯著增加。

解題方法

一、計算各路口延滯差

di=(4.1,2.0,2.8,4.5,4.5,2.2,5.6,3.9,5.5)d_i=(4.1,2.0,2.8,4.5,4.5,2.2,5.6,3.9,5.5)

樣本數為：

n=9n=9

差值平均數：

dˉ=∑din=35.19=3.9 秒\bar d=\frac{\sum d_i}{n} =\frac{35.1}{9}=3.9\text{ 秒}

各差值的樣本標準差為：

sd=∑(di−dˉ)2n−1s_d=\sqrt{\frac{\sum(d_i-\bar d)^2}{n-1}}

其中：

∑(di−dˉ)2=13.92\sum(d_i-\bar d)^2=13.92

因此：

sd=13.928=1.74≈1.319 秒s_d=\sqrt{\frac{13.92}{8}} =\sqrt{1.74} \approx1.319\text{ 秒}

二、建立平均差的 95%95\% 信賴區間

因為樣本數僅為 99，母體標準差未知，使用自由度 n−1=8n-1=8 的 tt 分配：

t0.975,8=2.306t_{0.975,8}=2.306

平均差的標準誤為：

SEdˉ=sdn=1.3193≈0.440SE_{\bar d}=\frac{s_d}{\sqrt n} =\frac{1.319}{3} \approx0.440

所以平均差的 95%95\% 信賴區間為：

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第 五 題30 分

某縣市政府想分析人口數（十萬人）XX 與延車公里的（百萬公里）YY 之間的關係。根據過去 1010 年的資料，得知如下的資料：

∑X=28,∑X2=303.4,∑Y=75,∑Y2=598.5,∑XY=237。\sum X=28,\quad \sum X^2=303.4,\quad \sum Y=75,\quad \sum Y^2=598.5,\quad \sum XY=237。

（一）試求迴歸直線 Y^=α^+β^X\hat{Y}=\hat{\alpha}+\hat{\beta}X。

（二）試檢定「人口越多，延車公里也越高」的假設（顯著水準為 5%5\%）。

（三）請闡述上述的關係是否為因果關係？

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核心觀念

本題考查一元線性迴歸與迴歸係數的單尾顯著性檢定。迴歸式為 Y^=α^+β^X\hat{Y}=\hat{\alpha}+\hat{\beta}X，其中 β^\hat{\beta} 表示 XX 每增加一單位時，預測的 YY 平均改變量；α^\hat{\alpha} 為截距。

題目提供 10 年資料的加總值，先由最小平方法求迴歸係數，再檢定母體迴歸斜率是否大於 0。由於資料僅顯示變數間的統計關聯，不能單憑迴歸結果判定因果關係。

（一）求迴歸直線

樣本數 n=10n=10，平均數為

Xˉ=∑Xn=2810=2.8,Yˉ=∑Yn=7510=7.5。\bar{X}=\frac{\sum X}{n}=\frac{28}{10}=2.8,\qquad \bar{Y}=\frac{\sum Y}{n}=\frac{75}{10}=7.5。

計算離均差平方和與交乘積和：

Sxx=∑X2−(∑X)2n=303.4−28210=225，S_{xx}=\sum X^2-\frac{(\sum X)^2}{n} =303.4-\frac{28^2}{10}=225， Sxy=∑XY−(∑X)(∑Y)n=237−28×7510=27。S_{xy}=\sum XY-\frac{(\sum X)(\sum Y)}{n} =237-\frac{28\times75}{10}=27。

最小平方法的斜率與截距為

β^=SxySxx=27225=0.12，\hat{\beta}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{27}{225}=0.12， α^=Yˉ−β^Xˉ=7.5−0.12(2.8)=7.164。\hat{\alpha}=\bar{Y}-\hat{\beta}\bar{X} =7.5-0.12(2.8)=7.164。

因此迴歸直線為

Y^=7.164+0.12X。\boxed{\hat{Y}=7.164+0.12X}。

斜率 0.120.12 的單位是「百萬公里／十萬人」；依估計結果，人口數每增加十萬人，延車公里平均增加 0.120.12 百萬公里。

（二）檢定人口越多，延車公里也越高

令母體迴歸斜率為 β\beta。題目所述方向性假設採右尾檢定：

H0:β≤0,H1:β>0。H_0:\beta\leq 0,\qquad H_1:\beta>0。

計算誤差平方和所需的總平方和：

Syy=∑Y2−(∑Y)2n=598.5−75210=36。S_{yy}=\sum Y^2-\frac{(\sum Y)^2}{n} =598.5-\frac{75^2}{10}=36。

迴歸平方和及殘差平方和為

SSR=Sxy2Sxx=272225=3.24，SSR=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}=\frac{27^2}{225}=3.24，
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