114 地方特考三等 測量製圖類科 誤差理論及實務 考古題詳解

核心觀念

本題考查最小二乘平差中先驗單位權中誤差與後驗單位權中誤差的比較。先驗值由平差前對觀測精度的估計給定；後驗值則由平差後的改正數（或殘差）計算，用來檢核先驗精度設定與觀測資料的符合程度。

解題方法

設觀測方程為

其中 $\boldsymbol{v}$ 為改正數向量，$\boldsymbol{P}$ 為權矩陣，$n$ 為觀測數、$u$ 為未知數個數。先驗單位權中誤差記為 $\sigma_{0,\mathrm{先}}$，後驗單位權中誤差記為 $\hat{\sigma}_{0,\mathrm{後}}$。

後驗單位權中誤差的估值為

以先驗單位權中誤差定義觀測值的協方差矩陣：

因此，改正數的加權平方和可寫為

兩種單位權中誤差的大小關係，須依實際平差結果判定：

核心觀念

本題考線性函數的誤差傳播，以及兩個線性組合之間的共變異數與相關係數。若 $x$、$y$ 由隨機變數 $a$、$b$ 組成，須同時考慮 $a$、$b$ 各自的變異數，以及兩者的共變異數。

已知：

$\sigma_a=\sigma_b=0.3,\qquad \rho_{ab}=0.2$

因此：

$\operatorname{Var}(a)=\operatorname{Var}(b)=0.3^2=0.09$

解題方法

常數項不影響變異數或共變異數，可直接對 $x$、$y$ 的隨機部分計算：

$x=2a+b-4,\qquad y=3a-b+5$

利用線性組合的變異數公式：

先求 $x$ 的變異數：

故：

$\sigma_x=\sqrt{0.522}\approx 0.7225$

再求 $y$ 的變異數：

核心觀念

最小二乘法不是要求每一個觀測值都沒有誤差，而是依觀測精度分配改正量，使改正後的觀測值最符合觀測條件。設觀測值的改正量向量為 $v$，權矩陣為 $P$，最小二乘法求解的基本條件是使加權平方和

達到最小。

若觀測誤差具有零期望、有限變異數且彼此不相關等條件，最小二乘解具有一組重要統計性質；其中一部分由最小二乘估計本身保證，另一部分則是誤差模型成立時所具有的性質。

解題方法與統計特性

1. 改正量的加權平方和最小 在滿足觀測方程或條件方程的改正量中，最小二乘法選取使 $v^{T}Pv$ 最小的一組。觀測精度較高者權較大，通常分配到的改正量較小；精度較低者權較小，通常承擔較多改正量。

2. 改正量滿足法方程所導出的正交條件 以線性模型 $l+v=Ax$ 為例，令 $P$ 為觀測值權矩陣，最小化 $(l+v-Ax)^T P(l+v-Ax)$，可得法方程

這表示改正量在權內積下與設計矩陣的列空間正交。若模型含有未知參數，這個條件也可解讀為改正後的殘差不再含有可由模型參數吸收的分量。

3. 改正量的期望為零 在模型正確且觀測誤差期望為零的條件下，改正量是零期望誤差的線性組合，因此其期望為零：

這表示改正量整體上沒有系統偏差；並不表示每一筆改正量都等於零。

核心觀念

本題考查水準網的間接觀測平差與自由度。高程差方向採 $i\to j$，故觀測方程為

其中 $h_{ij}$ 是觀測高程差，$v_{ij}$ 是改正數。已知點 $H_A、H_B、H_C$ 的高程固定，未知參數為 $H_1、H_2、H_3、H_4$。

自由度為觀測數減未知參數數：

解題方法

依題目列出的測線順序，逐條套用高程差觀測方程，並將已知點高程移至右側。例如：

整理為 $\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{v}=\mathbf{l}$，其方程式為