114 年地方特考三等農業行政類科考古題與詳解

Question 1

某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了 $50$ 戶農家的資料，得到敘述統計量如下：

統計量	產量（千公斤）	耕作面積（甲）	氮肥用量（百公斤）
樣本平均	$10.68$	$6.78$	$6.64$
樣本變異數	$10.30$	$4.18$	$6.24$

相關係數如下：

（產量、耕作面積）： $0.71$
（產量、氮肥用量）： $0.52$
（耕作面積、氮肥用量）： $0.68$

（一）今若以簡單線性迴歸模型

\text{產量}=a+b\times\text{耕作面積}

研析產量與面積之關係，並以耕作面積為解釋變數，請問該模型中 $a$ 與 $b$ 之估計值為何？本模式下之判定係數為何？

（二）請寫出本模型下之變異數分析（ANOVA）表，並檢定耕作面積在 $95\%$ 的信心水準下是否與產量有顯著之關係。請詳列虛無以及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。

（三）若將氮肥用量加入以多元線性迴歸模型

\text{產量}=a+b_1\times\text{耕作面積}+b_2\times\text{氮肥用量}

分析結果得到 $b_1$ 及 $b_2$ 之估計值分別為 $\hat{b}_1=1.04$ 及 $\hat{b}_2=0.1$ ，請問該 $b_1$ 之估計值的解釋與（一）之簡單線性迴歸中 $b$ 的估計值之解釋有何異同？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的最小平方法估計、判定係數、迴歸 ANOVA 與斜率檢定，以及多元迴歸係數的「控制其他變數後」解釋。

令 $Y$ 為稻米產量、 $X$ 為耕作面積，樣本數 $n=50$ 。由題目給定的樣本變異數與相關係數，可先求簡單迴歸斜率：

\hat b=r_{XY}\frac{s_Y}{s_X} =r_{XY}\sqrt{\frac{s_Y^2}{s_X^2}}

截距與判定係數分別為：

\hat a=\bar Y-\hat b\bar X,\qquad R^2=r_{XY}^2

（一）估計迴歸式與判定係數

代入 $r_{XY}=0.71$ 、 $s_Y^2=10.30$ 、 $s_X^2=4.18$ ：

\hat b=0.71\sqrt{\frac{10.30}{4.18}}\approx 1.115

\hat a=10.68-(1.1145)(6.78)\approx 3.124

因此估計迴歸式為：

\widehat{\text{產量}} =3.124+1.115\times\text{耕作面積}

判定係數為：

R^2=r_{XY}^2=(0.71)^2=0.5041

也就是說，在此簡單線性迴歸模型下，產量樣本變異約有 $50.41\%$ 可由耕作面積的線性關係說明。

（二）ANOVA 表與斜率檢定

簡單線性迴歸的總平方和、迴歸平方和與殘差平方和為：

SST=(n-1)s_Y^2=49(10.30)=504.700

SSR=R^2SST=(0.5041)(504.700)=254.419

SSE=SST-SSR=504.700-254.419=250.281

自由度分別為迴歸 $1$ 、殘差 $n-2=48$ 、總計 $n-1=49$ 。因此 ANOVA 表如下：

變異來源	平方和 SS	自由度 df	均方 MS	$F$ 值
迴歸	$254.419$	$1$	$254.419$	$48.794$
殘差	$250.281$	$48$	$5.214$
總計	$504.700$	$49$

檢定耕作面積是否與產量有顯著線性關係：

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Question 2

對便利商店所進行之經營狀況調查中，隨機選擇 $100$ 家便利商店後記錄其週營業額，但因原始資料遺失，僅存次數分配資料如下：

週營業額（萬元）	便利商店數
$20\leq\text{週營業額}<25$	$35$
$25\leq\text{週營業額}<30$	$30$
$30\leq\text{週營業額}<35$	$20$
$35\leq\text{週營業額}<40$	$10$
$40\leq\text{週營業額}<45$	$5$

請根據本表推算便利商店之週營業額樣本平均、樣本變異數以及樣本中位數。

Accepted Answer

核心觀念 原始資料已遺失，只保留各組的次數，因此以各組的組中點代表該組所有觀測值，推算樣本平均與樣本變異數。這些是依分組資料得到的估計值。 樣本平均與樣本變異數公式為 $$ \bar{x}=\frac{\sum fi mi}{n},\qquad s^2=\frac{\sum fi(mi-\bar{x})^2}{n-1}, $$ 其中 $fi$ 是第 $i$ 組的次數、$mi$ 是該組的組中點，$n=\sum fi$。樣本變異數的分母使用 $n-1$。 分組中位數則用中位數所在組的組距、組前累積次數及組內次數作線性插值。 解題方法 各組組中點依序為 $22.5、27.5、32.5、37.5、42.5$，總樣本數為 $n=100$。 | 週營業額組距（萬元） | 組中點 $mi$ | 次數 $fi$ | $fi mi$ | |---|---:|---:|---:| | $20\leq x<25$ | 22.5 | 35 | 787.5 | | $25\leq x<30$ | 27.5 | 30 | 825 | | $30\leq x<35$ | 32.5 | 20 | 650 | | $35\leq x<40$ | 37.5 | 10 | 375 | | $40\leq x<45$ | 42.5 | 5 | 212.5 | | 合計 | | 100 | 2,850 | 因此樣本平均為 $$ \bar{x}=\frac{2,850}{100}=28.5	ext{ 萬元}. $$ 計算樣本變異數時，先以組中點代替原始觀測值：

Question 3

為鼓勵提升生育率，評估若要對甲鎮內家戶中有 $12$ 歲以下之家庭成員數目為 $2$ 人或以上之家庭實施補助所需之資源，於鎮內隨機選取 $200$ 家戶，各家戶中 $12$ 歲以下家戶成員數目如下表：

$12$ 歲以下家戶成員數	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
家戶數	$70$	$82$	$33$	$10$	$3$	$2$

（一）請問此一未成年家戶成員數資料在 $95\%$ 的信心水準下是否服從卜瓦松分配（Poisson distribution）？

（二）請說明在 $95\%$ 的信心水準下是否有顯著之證據指出甲鎮內家戶 $12$ 歲以下未成年家戶成員數目大於或等於 $2$ 人之比例大於 $15\%$ 。請敘述恰當之虛無及對立假設、檢定統計量及檢定結果。

Accepted Answer

核心觀念 本題分別考驗： 1. 卜瓦松分配適合度檢定：以樣本平均數估計卜瓦松參數 $\lambda$，再比較各組實際次數與理論期望次數。期望次數過小的組別須合併；若估計了 $1$ 個參數，自由度須再扣除 $1$。 2. 單一母體比例右尾檢定：檢驗「家戶中 12 歲以下成員至少 2 人」的母體比例是否高於 $15\%$。 以下均以顯著水準 $\alpha=0.05$ 檢定。 （一）卜瓦松分配適合度檢定 令 $X$ 為一戶中 12 歲以下家庭成員數。以樣本平均數估計卜瓦松參數： $$ \hat{\lambda} =\bar{x} =\frac{0(70)+1(82)+2(33)+3(10)+4(3)+5(2)}{200} =\frac{200}{200}=1. $$ 假設為： $$ H0:X\sim\operatorname{Poisson}(1), \qquad H1:X
ot\sim\operatorname{Poisson}(1). $$ 當 $\lambda=1$ 時，$P(X=x)=e^{-1}/x!$。由於 $X=4$、$X=5$ 的期望次數小於 $5$，且更高值的期望次數也小，將 $X\geq 3$ 合併。合併後各組如下： | 成員數 | 實際次數 $Oi$ | 期望次數 $Ei=200P(X	ext{ 屬於該組})$ | |---|---:|---:| | $0$ | $70$ | $200e^{-1}=73.576$ | | $1$ | $82$ | $200e^{-1}=73.576$ | | $2$ | $33$ | $200(e^{-1}/2)=36.788$ | | $\geq 3$ | $15$ | $200[1-e^{-1}(1+1+\frac12)]=16.060$ | 各組期望次數均大於 $5$，可進行卡方適合度檢定。檢定統計量為：

Question 4

某人想要研析三種不同的灌溉方式對產量的影響，規劃了 $15$ 塊面積相同的農地，每種灌溉方式各隨機選擇 $5$ 塊農地加以應用，三種灌溉方式所得產量資料整理後如下表：

灌溉方式	A	B	C
樣本平均	$15.4$	$18.4$	$28.4$
樣本變異數	$9.3$	$20.8$	$18.3$

經一因子變異數分析後，發現三種灌溉方式之產量確有顯著之差距，請回答下列問題：

（一）請寫出一因子變異數分析之變異數分析表，含檢定三種灌溉方式之產量是否相同之檢定統計量值。

（二）因為一因子變異數分析顯示三種灌溉方式之產量顯著不同，請用費雪之最小顯著差異法（Fisher’s Least Significant Difference），以單一成對比較信心水準為 $95\%$ 之基準下，判斷那幾組成對之兩種灌溉方式產量比較有顯著之不同。

（三）承（二）中之整體型一誤差機率為何（亦即產生至少一次型一誤差之機率）？若用邦佛洛尼校正法（Bonferroni correction）調整單一成對檢定之顯著水準，調整後之單一成對檢定之顯著水準以及整體型一誤差機率為何？

Accepted Answer

核心觀念

本題考一因子變異數分析與事後成對比較。三種灌溉方式是三個處理組，每組樣本數均為 $5$ 。整體檢定以組間變異相對於組內變異的比值形成 $F$ 統計量；若整體檢定顯著，再用 Fisher 最小顯著差異法（LSD）比較各組平均數。

LSD 的標準誤使用合併組內均方誤差 $MSE$ 。由於共有三組，成對比較數為 $\binom{3}{2}=3$ ；若每一比較各以 $0.05$ 顯著水準檢定，整體型一誤差率會高於 $0.05$ 。

（一）一因子變異數分析表

各組樣本數相同，總平均數為

\bar{x}_{..}=\frac{15.4+18.4+28.4}{3}=20.7333.

組內平方和為

SS_E=\sum_{i=1}^{3}(n_i-1)s_i^2 =4(9.3+20.8+18.3)=193.6.

組間平方和為

SS_A=\sum_{i=1}^{3}n_i(\bar{x}_i-\bar{x}_{..})^2 =5\left[(15.4-20.7333)^2+(18.4-20.7333)^2+(28.4-20.7333)^2\right] =463.3333.

因此總平方和為 $SS_T=463.3333+193.6=656.9333$ 。自由度分別為組間 $2$ 、組內 $12$ 、總計 $14$ 。

變異來源	平方和 SS	自由度 df	均方 MS	$F$ 值
灌溉方式（組間）	463.3333	2	231.6667	14.3595
誤差（組內）	193.6000	12	16.1333
總計	656.9333	14

檢定統計量為

F=\frac{MS_A}{MS_E} =\frac{231.6667}{16.1333}=14.3595.

（二）Fisher LSD 成對比較

以雙尾單一成對比較信心水準 $95\%$ 為基準，採用 $t_{0.975,12}=2.1788$ 。各組樣本數相同，故

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114 地方特考三等農業行政類科統計學考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

（一）估計迴歸式與判定係數

（二）ANOVA 表與斜率檢定

第二題15 分

第三題25 分

核心觀念

（一）卜瓦松分配適合度檢定

第四題25 分

核心觀念

（一）一因子變異數分析表

（二）Fisher LSD 成對比較

其他考古題

114 年農業行政類科的其他科目

農業行政類科《統計學》其他年度

114 年地方特考三等・其他類科的《統計學》

114 地方特考三等 農業行政類科 統計學 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

（一）估計迴歸式與判定係數

（二）ANOVA 表與斜率檢定

第 二 題15 分

第 三 題25 分

核心觀念

（一）卜瓦松分配適合度檢定

第 四 題25 分

核心觀念

（一）一因子變異數分析表

（二）Fisher LSD 成對比較

其他考古題

114 年農業行政類科的其他科目

農業行政類科《統計學》其他年度

114 年地方特考三等・其他類科的《統計學》

114 地方特考三等農業行政類科統計學考古題詳解

第一題25 分

第二題15 分

第三題25 分

第四題25 分