112 地方特考三等 農業行政類科 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考兩年事故事件的聯合機率與至少一次發生的機率。令：

• $A$：員工去年遭遇誤工事故，則 $P(A)=0.06$。
• $B$：員工今年遭遇誤工事故，則 $P(B)=0.05$。
• 題目給定去年發生事故的員工中，有 $15\%$ 今年再發生事故，因此 $P(B\mid A)=0.15$。

使用條件機率公式：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

以及聯集公式：

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

解題方法

（一）兩年皆遭遇事故的比例，就是去年與今年都發生事故的聯合機率：

$$P(A\cap B)=0.06\times 0.15=0.009$$

換算為百分比為 $0.9\%$。

核心觀念

本題考查樣本平均數的抽樣分配，以及中央極限定理的應用。母體平均數為 $\mu=17.5$ 週、母體標準差為 $\sigma=4$ 週，樣本數為 $n=50$。令 $X$ 表示這 $50$ 個樣本的平均失業週數，則樣本平均數的標準誤為

$$\sigma_X=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$

解題方法

（一）$X$ 的抽樣分配

樣本平均數的期望值與標準誤分別為

$$E(X)=\mu=17.5, \qquad \sigma_X=\frac{4}{\sqrt{50}}\approx 0.5657\text{ 週}.$$

題目未說明母體為常態分配，因此不能直接斷定 $X$ 精確服從常態分配。不過樣本數 $n=50$ 足夠大，依中央極限定理，$X$ 的抽樣分配可近似為常態分配：

$$X\approx N\left(17.5,\frac{4^2}{50}\right) =N(17.5,0.32).$$

此處 $N(\mu,\sigma^2)$ 的第二個參數表示變異數；因此 $X$ 的近似標準差為 $\sqrt{0.32}\approx0.5657$ 週。

（二）樣本平均數落在母體平均數 $1$ 週之內的機率

「落在母體平均值 $1$ 週之內」表示

$$P(16.5\le X\le18.5) =P(|X-17.5|\le1).$$

將 $X$ 標準化，令

核心觀念

本題考驗單一母體平均數的檢定。題目假設每位球員的失球數服從常態分配，但母體變異數未知、樣本數只有 $15$，因此使用單一樣本 $t$ 檢定。

球場老闆宣稱球員一回合會丟失「一打或更多」球，也就是母體平均失球數至少為 $12$。球員要檢驗這項宣稱是否誇大，應採左尾檢定：

$$H_0:\mu\ge 12,\qquad H_1:\mu<12.$$

檢定時以虛無假設的邊界值 $\mu_0=12$ 計算。顯著水準為 $\alpha=0.05$。

解題方法

樣本資料為 $1,14,8,15,17,10,12,6,14,21,15,9,11,4,8$，樣本數 $n=15$，樣本總和為 $165$，因此

$$\bar{x}=\frac{165}{15}=11.$$

平方離差和為

$$\sum_{i=1}^{15}(x_i-\bar{x})^2=340,$$

故樣本變異數與樣本標準差為

核心觀念

本題考兩獨立大樣本母體平均數差的假設檢定與信賴區間。兩家超市的顧客樣本彼此獨立，且題目假設兩母體標準差皆為已知的 $12$，因此以標準常態分配進行 $Z$ 檢定，並以 $Z$ 信賴區間估計平均數差。

令 $\mu_A$、$\mu_B$ 分別代表 A、B 超市顧客整體滿意度的母體平均數，定義差值為 $\mu_A-\mu_B$。題目問「是否有顯著差異」，採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_A-\mu_B=0,\qquad H_1:\mu_A-\mu_B\ne 0.$$

解題方法

（一）以 $p$ 值檢定

樣本平均數差為

$$\bar{x}_A-\bar{x}_B=86-85=1.$$

已知兩母體標準差皆為 $\sigma_A=\sigma_B=12$，兩樣本平均數差的標準誤為

$$SE=\sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A}+\frac{\sigma_B^2}{n_B}} =\sqrt{\frac{12^2}{250}+\frac{12^2}{300}} =12\sqrt{\frac{1}{250}+\frac{1}{300}} \approx 1.026.$$

檢定統計量為

$$Z=\frac{(\bar{x}_A-\bar{x}_B)-0}{SE} =\frac{1}{1.026} \approx 0.975.$$

雙尾 $p$ 值為

$$p=2P(Z_{\text{標準常態}}\ge |0.975|) \approx 0.330.$$

由於 $p=0.330>0.05$，在 $0.05$ 顯著水準下不拒絕 $H_0$。樣本資料不足以支持兩家超市的母體平均滿意度有顯著差異。

（二）計算 $95\%$ 信賴區間並據以檢定

核心觀念

本題考驗兩母體平均數差的假設檢定，重點是比較三家公司今年與去年滿意度的平均分數，判斷平均下降幅度是否達到統計顯著。

每家公司今年與去年各抽取 $60$ 名客戶，題目未說明為同一批客戶，因此依兩獨立樣本處理。兩年度母體標準差均已知為 $6$ 分，使用標準常態檢定（$Z$ 檢定）。

令 $\mu_{\text{今年}}-\mu_{\text{去年}}$ 為平均分數差，檢定：

$$H_0:\mu_{\text{今年}}-\mu_{\text{去年}}=0,\qquad H_1:\mu_{\text{今年}}-\mu_{\text{去年}}<0$$

這是顯著水準 $\alpha=0.05$ 的左尾檢定。

解題方法

兩獨立樣本平均數差的標準誤為：

$$SE=\sqrt{\frac{\sigma_{\text{今年}}^2}{n_{\text{今年}}} +\frac{\sigma_{\text{去年}}^2}{n_{\text{去年}}}} =\sqrt{\frac{6^2}{60}+\frac{6^2}{60}} =\sqrt{1.2}\approx1.0954$$

左尾檢定在 $\alpha=0.05$ 的臨界值為 $z_{0.05}=-1.645$。因此，樣本平均數差須滿足：

核心觀念

本題考完全隨機設計的單因子變異數分析（one-way ANOVA），以處理均方除以誤差均方形成 $F$ 統計量，檢定五個水準的母體平均數是否全數相同。

設五個水準的母體平均數為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4,\mu_5$，假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=\mu_5$$ $$H_1:\text{至少有一個水準的母體平均數不同}$$

單因子變異數分析的統計量為：

$$F=\frac{MS_{\text{處理}}}{MS_{\text{誤差}}}$$

在虛無假設成立時，$F$ 統計量服從自由度為「處理自由度、誤差自由度」的 $F$ 分配。

解題方法

共有五個水準，每個水準有七個實驗單元，因此總觀測數為：

$$N=5\times 7=35$$

處理自由度為水準數減一：

$$df_{\text{處理}}=5-1=4$$

誤差自由度為總觀測數減水準數：

$$df_{\text{誤差}}=35-5=30$$

總自由度為：

$$df_{\text{總}}=35-1=34$$

由平方和分解關係，

$$SS_{\text{總}}=SS_{\text{處理}}+SS_{\text{誤差}}$$

因此：

$$SS_{\text{誤差}}=460-300=160$$

計算均方：