114 地方特考三等 化學工程類科 反應工程及單元操作 考古題詳解

114 年・地方特考・三等・化學工程類科
試題代碼 反應工程及單元操作

第 一 題25 分

在化學製程設計中，選擇適當的反應器型式是達成目標轉化率與操作穩定性的關鍵。請回答下列問題：

(一) 請說明要設計一個液相不可逆反應時，在選擇使用管式反應器（PFR）或連續攪拌反應器（CSTR）時應考量的因素（至少列舉四項說明）。（12 分）

(二) 對於一個一級液相不可逆反應 A→BA\rightarrow B，其速率常數 k=0.30 min−1k=0.30\ \mathrm{min}^{-1}，進料濃度 CA0=1.0 mol/LC_{A0}=1.0\ \mathrm{mol/L}，流量 F=10 L/minF=10\ \mathrm{L/min}。

  1. 若反應器為 PFR，目標為轉化率 75%，求所需體積。（5 分）

  2. 若改為 CSTR，求所需體積。（5 分）

  3. 比較上述兩種反應器的體積，說明哪一種設計較有利於該反應之進行與放大。（3 分）

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核心觀念

本題考查液相不可逆反應的反應器選擇，以及一級反應在管式反應器（PFR）與連續攪拌反應器（CSTR）的設計方程式。兩種反應器的比較關鍵，在於反應速率是否隨反應器內濃度改變：PFR 內濃度沿流動方向逐漸下降；理想 CSTR 則完全混合，槽內濃度等於出口濃度。

（一）選擇 PFR 或 CSTR 的考量因素

  1. 反應速率與濃度的關係 對正級數反應，反應物濃度愈高，反應速率通常愈快。PFR 入口濃度高，能在反應初期維持較高反應速率；CSTR 全槽濃度等於出口濃度，若目標轉化率高，槽內反應物濃度較低，所需體積通常較大。

  2. 轉化率與所需反應器體積 對本題的一級不可逆反應，若其他條件相同，PFR 達成指定轉化率所需體積小於 CSTR。設計時須比較設備體積、占地與投資成本。

  3. 混合與產品均勻性 CSTR 可維持槽內濃度、溫度較均勻，適合需要良好混合、均勻產品品質，或進料組成有波動的操作。PFR 的濃度與反應速率沿管長改變，出口狀態則較明確。

  4. 熱量移除與溫度控制 若反應放熱或吸熱顯著，須考量反應器的換熱能力及溫度控制。CSTR 的充分混合有利於槽內溫度均一；PFR 可能沿程形成溫度梯度，需配置適當的夾套、盤管或多段冷卻。

  5. 操作穩定性與控制需求 CSTR 可藉由混合緩衝進料變動，通常較容易控制槽內狀態；PFR 的出口狀態會受入口條件及沿程變化影響，操作與控制須配合其流動特性。

  6. 設備與流體特性 應考量黏度、固體生成或沉積、腐蝕、壓降、堵塞與清洗需求。管式設備可能受堵塞或壓降限制；攪拌槽則須考量攪拌功率、機械設備與密封維護。

（二）反應器體積計算

已知條件與設計式

反應為液相一級不可逆反應 A→BA\rightarrow B，速率式為

−rA=kCA-r_A=kC_A

液相密度與流量視為定值，故體積流率為 F=10 L/minF=10\ \mathrm{L/min}。進料濃度 CA0=1.0 mol/LC_{A0}=1.0\ \mathrm{mol/L}，反應速率常數 k=0.30 min−1k=0.30\ \mathrm{min}^{-1}，目標轉化率 X=0.75X=0.75。

1. PFR 所需體積

PFR 設計方程式為

V=F∫0XCA0−rA dXV=F\int_0^X\frac{C_{A0}}{-r_A}\,dX

由 CA=CA0(1−X)C_A=C_{A0}(1-X)，得

−rA=kCA0(1−X)-r_A=kC_{A0}(1-X)

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第 二 題25 分

某一不可逆一階氣固反應，在恆溫下於球形多孔催化粒子中進行。催化粒子直徑為 2.0 mm2.0\ \mathrm{mm}，反應速率常數 k=0.06 s−1k=0.06\ \mathrm{s}^{-1}，氣體之有效擴散係數為 De=6.0×10−6 m2/sD_e=6.0\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}。請回答下列問題：

(一) 寫出在球形顆粒中的一階反應系統之 Thiele modulus 定義式，並解釋其物理意義。（8 分）

(二) 計算此反應系統的 Thiele modulus，並根據所得之數值判斷反應主要受何種機制控制。（8 分）

(三) 推導氣體反應物在催化粒子中的分布。（9 分）

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核心觀念

球形多孔催化粒子內部同時發生反應物擴散與化學反應。Thiele modulus（Thiele 模數）用來比較兩者的相對快慢：

ϕ=RkDe\phi=R\sqrt{\frac{k}{D_e}}

其中 RR 是球形粒子的半徑，kk 是一階反應速率常數，DeD_e 是粒子內的有效擴散係數。ϕ\phi 越大，反應相對於擴散越快，反應物較難擴散至粒子內部；ϕ\phi 越小，反應物能較充分地擴散進入粒子內部。

解題方法

題目給的是粒子直徑，因此先換算半徑：

R=2.0 mm2=1.0×10−3 mR=\frac{2.0\ \mathrm{mm}}{2} =1.0\times10^{-3}\ \mathrm{m}

代入 Thiele 模數定義式：

ϕ=1.0×10−30.06 s−16.0×10−6 m2/s=1.0×10−31.0×104 m−2=0.10\begin{aligned} \phi &=1.0\times10^{-3} \sqrt{\frac{0.06\ \mathrm{s^{-1}}} {6.0\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}}}\\ &=1.0\times10^{-3}\sqrt{1.0\times10^4\ \mathrm{m^{-2}}}\\ &=0.10 \end{aligned}

ϕ=0.10\phi=0.10 遠小於 1，表示粒子內反應物擴散相對快於反應，濃度梯度較小，內部擴散限制不明顯；整體主要受化學反應速率控制。

氣體反應物在粒子中的分布

令 CA(r)C_A(r) 為距球心 rr 處的反應物濃度，並假設穩態、等溫、有效擴散係數均勻，且反應為一階反應 −rA=kCA-r_A=kC_A。球座標下的穩態反應擴散方程為

De1r2ddr(r2dCAdr)−kCA=0D_e\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left(r^2\frac{dC_A}{dr}\right)-kC_A=0

定義無因次半徑 ρ=r/R\rho=r/R，以及表面濃度 CA,s=CA(R)C_{A,s}=C_A(R)。方程可寫成

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第 三 題25 分

黃銅小球半徑 r=1.0 cmr=1.0\ \mathrm{cm}，置於溫度為 120∘C120^\circ\mathrm{C} 的水浴中均勻加熱後，取出置於溫度為 25∘C25^\circ\mathrm{C} 的空氣中冷卻，其附近之對流係數 h=50 W/m2⋅Kh=50\ \mathrm{W/m^2\cdot K}。

黃銅的物理性質為：熱傳導係數 k=109 W/m⋅Kk=109\ \mathrm{W/m\cdot K}，密度 ρ=8500 kg/m3\rho=8500\ \mathrm{kg/m^3}，Cp=380 J/kg⋅KC_p=380\ \mathrm{J/kg\cdot K}。

請回答下列問題：

(一) 請計算黃銅小球在空氣中散熱時的 Biot Number。（6 分）

(二) 請判斷是否可以使用集中容量法（Lumped Capacitance Method），用單一平均溫度代表整個物體的瞬時溫度變化。（7 分）

(三) 估算黃銅小球中心溫度降至 50∘C50^\circ\mathrm{C} 所需時間。（12 分）

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核心觀念

本題考查球體暫態冷卻、Biot 數，以及集中容量法與球體導熱解析解的適用。Biot 數比較物體內部導熱熱阻與表面對流熱阻：

Bi=hLckBi=\frac{hL_c}{k}

其中特徵長度 Lc=V/AL_c=V/A。球體有 V/A=r/3V/A=r/3，所以：

Bi=hr3kBi=\frac{hr}{3k}

集中容量法常以 Bi<0.1Bi<0.1 作為適用判準；若不符合，就要考慮球體內部溫度分布。題目問的是「中心溫度」，因此不適用集中容量法時，應使用球體暫態導熱解。

解題方法

（一）計算 Biot 數

已知 r=0.010 mr=0.010\ \mathrm{m}、h=50 W/(m2⋅K)h=50\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}、k=109 W/(m⋅K)k=109\ \mathrm{W/(m\cdot K)}。球體特徵長度為：

Lc=VA=43πr34πr2=r3=3.33×10−3 mL_c=\frac{V}{A}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{4\pi r^2} =\frac{r}{3} =3.33\times10^{-3}\ \mathrm{m}

因此：

Bi=hLck=50(3.33×10−3)109=1.53×10−3Bi=\frac{hL_c}{k} =\frac{50(3.33\times10^{-3})}{109} =1.53\times10^{-3}

（二）判斷集中容量法是否適用

Bi=1.53×10−3<0.1Bi=1.53\times10^{-3}<0.1

故球體內部導熱相較於表面對流很快，可採集中容量法近似整個球的溫度均勻，並用單一平均溫度描述其冷卻。

不過，集中容量法預測的是整體近似均勻的溫度；本題明確詢問中心溫度。以下以球體暫態導熱解計算中心溫度，並檢查其與集中容量法結果是否一致。

（三）中心溫度降至 50∘C50^\circ\mathrm{C} 所需時間

以環境溫度 T∞=25∘CT_\infty=25^\circ\mathrm{C} 定義無因次中心溫度：

θ0∗=T(0,t)−T∞Ti−T∞=50−25120−25=2595=0.2632\theta_0^*=\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} =\frac{50-25}{120-25} =\frac{25}{95} =0.2632

先計算球體暫態導熱解所需參數。熱擴散率為：

α=kρCp=1098500(380)=3.37×10−5 m2/s\alpha=\frac{k}{\rho C_p} =\frac{109}{8500(380)} =3.37\times10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}

使用球體對流邊界暫態導熱解，特徵值 λn\lambda_n 滿足：

1−λncot⁡λn=Bir1-\lambda_n\cot\lambda_n=Bi_r

其中以半徑為特徵長度的 Biot 數為：

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第 四 題25 分

單級液液萃取單元中，預計以兩不互溶、等密度之溶劑 B 與 C 萃取溶質 A（如下圖）。其中，進料流量 F=100 kg/hF=100\ \mathrm{kg/h}，溶質 A 質量分率 x0=0.02x_0=0.02（其餘為載體 C）。新鮮溶劑 S=50 kg/hS=50\ \mathrm{kg/h}（純 B），分配係數 D=y/x=20.0D=y/x=20.0（以質量分率比值表示，稀溶液假設）。若可忽略溶質對總質量影響，請回答下列問題：

(一) 由質量平衡及相平衡，建立進料情況 (F,x0)(F,x_0) 與萃餘相 (x1)(x_1) 之關聯。（10 分）

(二) 萃餘相（Raffinate）中 A 的質量分率 x1x_1。（5 分）

(三) 轉移至溶劑相的 A 質量流率。（5 分）

(四) 若希望 x1≤0.001x_1\leq0.001，所需最小溶劑流率 SS 需為多少？（5 分）

圖示內容：

  • 進料流量 F kg/hF\ \mathrm{kg/h}；溶質 A 在溶劑 C 中，質量分率為 x0x_0。
  • 溶劑流量 S kg/hS\ \mathrm{kg/h}；純 B 溶劑。
  • 萃取單元。
  • 萃餘相（Raffinate）：流量約為 F kg/hF\ \mathrm{kg/h}，質量分率 x1x_1（A in C）。
  • 萃取相（Extract）：流量約為 S kg/hS\ \mathrm{kg/h}，質量分率 y1y_1（A in B）。
  • 平衡：y1=D⋅x1y_1=D\cdot x_1。
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考單級液液萃取的溶質質量平衡與相平衡關係。進料中的溶質 A 分配到萃餘相與萃取相；新鮮溶劑為純 B，因此進料溶劑中的 A 質量分率 y0=0y_0=0。依題意忽略溶質對總質量的影響，萃餘相與萃取相流量分別近似為 FF 與 SS。

相平衡關係為：

y1=Dx1y_1=Dx_1

其中 x1x_1 為萃餘相中 A 的質量分率，y1y_1 為萃取相中 A 的質量分率。

解題方法

(一) 建立進料與萃餘相的關係

以溶質 A 作質量平衡：

Fx0=Fx1+Sy1Fx_0=Fx_1+Sy_1

代入相平衡式 y1=Dx1y_1=Dx_1：

Fx0=Fx1+SDx1=(F+SD)x1Fx_0=Fx_1+SDx_1=(F+SD)x_1

因此：

x1=Fx0F+SD\boxed{x_1=\frac{Fx_0}{F+SD}}

亦可寫成單級萃取的溶質轉移量關係：

F(x0−x1)=S(y1−y0)=Sy1F(x_0-x_1)=S(y_1-y_0)=Sy_1

(二) 計算萃餘相中 A 的質量分率

代入 F=100 kg/hF=100\ \mathrm{kg/h}、x0=0.02x_0=0.02、S=50 kg/hS=50\ \mathrm{kg/h}、D=20D=20：

x1=(100)(0.02)100+(50)(20)=21100=0.001818x_1=\frac{(100)(0.02)}{100+(50)(20)} =\frac{2}{1100} =0.001818

故：

x1≈1.82×10−3\boxed{x_1\approx 1.82\times10^{-3}}

(三) 計算轉移至溶劑相的 A 質量流率

先由相平衡求萃取相組成：

y1=Dx1=(20)(0.001818)=0.03636y_1=Dx_1=(20)(0.001818)=0.03636

轉移至溶劑相的 A 質量流率為：

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