114 地方特考三等 工業工程類科 工程統計學與品質管制 考古題詳解

核心觀念

將三種品質結果的機率乘上各自利潤，即可得到預期利潤。由於 $X\sim\operatorname{Normal}(\mu,1)$，改變平均數 $\mu$ 會改變落在規格上下限外的機率；本題要找使預期利潤最大的 $\mu$。

令標準常態累積分布函數與密度函數分別為 $\Phi(\cdot)$、$\phi(\cdot)$。則：

• $X<8$ 的機率為 $\Phi(8-\mu)$，利潤為 $-C_1$。
• $8\leq X\leq10$ 的機率為 $\Phi(10-\mu)-\Phi(8-\mu)$，利潤為 $C_0$。
• $X>10$ 的機率為 $1-\Phi(10-\mu)$，利潤為 $-C_2$。

解題方法

預期利潤函數為

$$\begin{aligned} E(\mu) &=-C_1\Phi(8-\mu) +C_0\left[\Phi(10-\mu)-\Phi(8-\mu)\right]\\ &\quad-C_2\left[1-\Phi(10-\mu)\right]\\ &=-(C_0+C_1)\Phi(8-\mu) +(C_0+C_2)\Phi(10-\mu)-C_2. \end{aligned}$$

對 $\mu$ 微分。利用 $\frac{d}{d\mu}\Phi(a-\mu)=-\phi(a-\mu)$，得

核心觀念

本題考常態母體、母體變異數已知時，雙尾平均數檢定的檢定力與樣本數設計。型 I 誤差率為 $\alpha$，表示在 $H_0$ 為真時，錯誤拒絕 $H_0$ 的機率；型 II 誤差率為 $\beta$，表示在指定的真實平均數 $\mu_1$ 下，未拒絕 $H_0$ 的機率。

因為檢定為雙尾，顯著水準 $\alpha$ 平分至兩尾，每尾拒絕域的機率為 $\alpha/2$。

解題方法與推導

令樣本平均數為 $\bar X$。已知母體變異數 $\sigma^2$，故在虛無假設下：

$$\bar X\sim N\left(\mu_0,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

以標準化統計量

$$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$$

進行雙尾檢定。令 $z_p$ 表示標準常態分配的第 $p$ 分位數，則拒絕域為

$$Z<-z_{1-\alpha/2} \quad\text{或}\quad Z>z_{1-\alpha/2}.$$

在真實平均數 $\mu_1=\mu_0+\delta$、$\delta>0$ 時，

$$\bar X\sim N\left(\mu_0+\delta,\frac{\sigma^2}{n}\right).$$

型 II 誤差是樣本平均數落在不拒絕域的機率：

$$\begin{aligned} \beta &=P\left(-z_{1-\alpha/2}\leq Z\leq z_{1-\alpha/2}\mid \mu=\mu_1\right)\\ &=P\left( -\frac{\sigma z_{1-\alpha/2}}{\sqrt n} \leq \bar X-\mu_0 \leq \frac{\sigma z_{1-\alpha/2}}{\sqrt n} \ \middle|\ \mu=\mu_0+\delta \right). \end{aligned}$$

將 $\bar X$ 以其真實平均數 $\mu_0+\delta$ 標準化，得

$$\beta= \Phi\left(z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt n}{\sigma}\right) - \Phi\left(-z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt n}{\sigma}\right),$$

其中 $\Phi(\cdot)$ 為標準常態分配的累積分配函數。

這是雙尾檢定下精確的型 II 誤差方程式。令 $c=\delta\sqrt n/\sigma$，則樣本數須滿足

核心觀念

本題考查 $\bar{X}$ 管制圖與 $S$ 管制圖的中心線、管制界限，以及製程平均數偏移後，樣本平均數落在 $\bar{X}$ 管制界限內的機率。

在常態製程下，以 $S$ 管制圖的平均樣本標準差 $\bar{S}$ 估計製程標準差時，使用

$$\hat{\sigma}=\frac{\bar{S}}{c_4}.$$

本題給定的 $s=0.5$ 作為 $\bar{S}$。$\bar{X}$-$S$ 管制圖的界限公式為

$$\bar{X}\text{ 圖：}\quad \bar{\bar{X}}\pm A_3\bar{S},$$ $$S\text{ 圖：}\quad \mathrm{UCL}_S=B_4\bar{S},\qquad \mathrm{LCL}_S=B_3\bar{S}.$$

解題方法與計算

(一) 估計製程標準差

利用 $c_4$ 修正樣本標準差的偏差：

$$\hat{\sigma}=\frac{\bar{S}}{c_4} =\frac{0.5}{0.94} \approx 0.5319.$$

因此，製程標準差估計值為 $\boxed{0.5319}$。

(二) $\bar{X}$ 與 $S$ 管制圖界限

$\bar{X}$ 圖以 $\bar{\bar{X}}=10.0$ 為中心線：

$$\mathrm{UCL}_{\bar{X}} =10.0+1.427(0.5) =10.7135,$$ $$\mathrm{CL}_{\bar{X}}=10.0,$$ $$\mathrm{LCL}_{\bar{X}} =10.0-1.427(0.5) =9.2865.$$

$S$ 圖則以 $\bar{S}=0.5$ 計算：

$$\mathrm{UCL}_S=2.089(0.5)=1.0445,$$ $$\mathrm{CL}_S=\bar{S}=0.5,$$ $$\mathrm{LCL}_S=0(0.5)=0.$$

(三) 平均數變為 $10.5$ 時仍在管制內的機率

核心觀念

本題考驗變數抽樣計畫中的單次抽樣設計。假設原料的甲醛釋放量服從常態分配，且已知標準差 $\sigma=1\ \mathrm{ppm}$。抽取 $n$ 件後，以樣本平均數 $\bar X$ 判定批次是否接受。

題目所給兩項接受機率是操作特性（OC）曲線上的兩個條件：

• 當批次平均數 $\mu_1=3$ ppm 時，接受機率 $P_a=0.95$。
• 當批次平均數 $\mu_2=4$ ppm 時，接受機率 $P_a=0.10$。

令 $c$ 為樣本平均數的接受上限，則接受條件為 $\bar X<c$。由於已知母體標準差，

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}\right).$$

解題方法

將接受機率轉換為標準常態分配的 $Z$ 值，分別列出兩個批次平均數下的方程式，再聯立求樣本數。

當 $\mu=3$ ppm 時，

$$P(\bar X<c\mid \mu=3)=0.95.$$

標準化後：

$$\frac{c-3}{1/\sqrt n}=Z_{0.95}=1.645,$$

因此

$$c=3+\frac{1.645}{\sqrt n}.$$

當 $\mu=4$ ppm 時，