112 地方特考三等 工業工程類科 工程統計學與品質管制 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・工業工程類科
試題代碼 工程統計學與品質管制

第 一 題20 分

1916 年美國首次發現「脊髓灰質炎病毒（Poliovirus，簡稱 polio）」的傳染病，得該傳染病以兒童居多且得該病者之身體部分會變麻痺，故又稱為小兒麻痺症（Infantile Paralysis）。至 1951 年底進入嚴重的小兒麻痺症流行。1954 年美國公共衛生署組織了一個有關小兒麻痺症疫苗（沙克疫苗）的醫學實驗，花費超過 500 萬美元，稱為歷史上規模最大的醫學實驗。以下為一種實驗設計，稱為設計一。

設計一：約兩百萬名小學生（一至三年級）參與此實驗。獲得家長同意的二年級生注射疫苗，約 50 萬接受疫苗（稱為處理組）；一年級和三年級（約 100 萬）則不予注射疫苗（稱為控制組）。

（一）依實驗設計的方法，定義上述問題中的：

  1. 反應值；
  2. 因子；
  3. 水準；
  4. 區隔變數。

（二）上述設計一是否有落實實驗設計的精神：「盡量區隔，無法區隔才選擇隨機」？說明之。若沒有，請提出更好的設計。

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核心觀念

本題考查實驗設計中的反應值、因子、水準與區隔變數，以及「先區隔、再隨機分派」的原則。

  • 反應值：實驗中用來衡量處理效果的結果。
  • 因子：研究者欲探討其影響的變數。
  • 水準：因子的不同設定或類別。
  • 區隔變數：可能影響反應值、但不是主要研究目的的變數。先依此變數分組，再於組內比較處理效果，可以減少組間差異造成的干擾。

解題方法

先確認研究問題是要比較「接種沙克疫苗」與「未接種」對小兒麻痺發生情形的影響，再依實驗設計的定義辨認各項變數。接著檢視接種組與控制組是否具有可比較性，以及是否在適當的區隔後進行隨機分派。

（一）各項實驗設計要素

  1. 反應值 受試兒童在追蹤期間是否感染小兒麻痺症；也可用各組的小兒麻痺發生率表示。若進一步分析疾病嚴重程度，則可另記錄是否出現麻痺等結果。

  2. 因子 是否接種小兒麻痺症疫苗。這是本實驗要研究其對疾病發生情形影響的因素。

  3. 水準 接種疫苗、未接種疫苗，兩個水準。

  4. 區隔變數 年級（亦即與年齡相關的分組）。不同年級的兒童可能在年齡、生活環境或暴露機會上有所差異，進而影響小兒麻痺的發生情形。學校或地區也可能是適合納入考量的區隔變數。

（二）設計一是否落實「盡量區隔，無法區隔才選擇隨機」？

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第 二 題30 分

某品管師欲建立一個品管圖，每一小時抽檢 nn 個晶圓片，檢查每個晶圓片是否為良品。假設每個晶圓片不良率是 0.10.1，且「任何時間抽出的晶圓片是否為良品」是獨立的。品管圖上 yy 軸的值是每一小時抽檢 nn 個晶圓片之不良品的總數。

（一）回答以下兩小題，先定義相關的符號：

  1. 每一小時抽出的樣本服從何種機率分配；
  2. yy 軸上的值服從何種機率分配。

（二）今 n=3n=3，計算每一小時 yy 軸上的值大於或等於 11 的機率。

（三）今 n=100n=100，計算每一小時 yy 軸上的值大於 1010 的機率。可進行任何合理的假設。

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核心觀念

本題考查二項分配及其常態近似。每片晶圓只有「良品」與「不良品」兩種結果，且各片晶圓的檢查結果相互獨立。令不良率 p=0.1p=0.1、良率 1−p=0.91-p=0.9，每小時抽檢數為 nn。

（一）機率分配

  1. 每一小時抽出的樣本

每片晶圓的檢查結果可視為一次伯努利試驗；一小時內抽出的 nn 片晶圓組成樣本，其不良品數服從二項分配：

X1,…,Xn∼獨立Bernoulli⁡(0.1).X_1,\ldots,X_n\overset{\text{獨立}}{\sim}\operatorname{Bernoulli}(0.1).

  1. yy 軸上的值

令 YY 為每小時抽檢 nn 片中的不良品總數，則

Y=∑i=1nXi∼Binomial⁡(n,0.1),Y=\sum_{i=1}^{n}X_i\sim\operatorname{Binomial}(n,0.1),

其機率質量函數為

P(Y=k)=(nk)(0.1)k(0.9)n−k,k=0,1,…,n.P(Y=k)=\binom{n}{k}(0.1)^k(0.9)^{n-k},\qquad k=0,1,\ldots,n.

（二）n=3n=3 時，求 P(Y≥1)P(Y\ge 1)

「不良品至少一片」可用補事件計算。其補事件為三片全部良品：

P(Y≥1)=1−P(Y=0)=1−(30)(0.1)0(0.9)3=1−0.729=0.271.\begin{aligned} P(Y\ge 1) &=1-P(Y=0)\\ &=1-\binom{3}{0}(0.1)^0(0.9)^3\\ &=1-0.729\\ &=0.271. \end{aligned}

因此，每小時不良品總數大於或等於 11 的機率為 0.2710.271。

（三）n=100n=100 時，求 P(Y>10)P(Y>10)

此時 Y∼Binomial⁡(100,0.1)Y\sim\operatorname{Binomial}(100,0.1)。採用二項分配的常態近似：

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第 三 題20 分

某民調中心預測選情之民意調查資料：有 A、B 兩黨的候選人競選總統。隨機抽問 1068 個選民，得知有 577 人選 A 黨，491 人選 B 黨。可否推論 A 黨將勝選？（以 0.050.05 作為信心的門檻值）

（一）定義符號，包括：

  1. 欲估計母群體參數；
  2. 隨機樣本；
  3. 估計量；
  4. 估計值。

（二）訂出虛無假設 H0H_0 與對立假設 H1H_1，然後計算與做出推論。

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核心觀念

本題是單一母體比例的假設檢定。欲判斷 A 黨支持率是否高於 B 黨，也就是檢定 A 黨支持比例是否大於 0.50.5。採用單尾檢定，顯著水準為 α=0.05\alpha=0.05。

樣本數 n=1068n=1068 足夠大，可用母體比例的常態近似檢定。虛無假設下的比例為 p0=0.5p_0=0.5，檢定統計量為：

Z=p^−p0p0(1−p0)/nZ=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}

（一）符號定義

令每位選民的支持狀況以 XiX_i 表示：

Xi={1,第 i 位選民支持 A 黨0,第 i 位選民支持 B 黨X_i= \begin{cases} 1, & \text{第 }i\text{ 位選民支持 A 黨}\\ 0, & \text{第 }i\text{ 位選民支持 B 黨} \end{cases}

  1. 欲估計的母群體參數： p=P(Xi=1)p=P(X_i=1)，即全體選民中支持 A 黨的比例。

  2. 隨機樣本： X1,X2,…,X1068X_1,X_2,\ldots,X_{1068}，分別代表抽中的 1068 位選民是否支持 A 黨。題目資料中有 577 人支持 A 黨、491 人支持 B 黨。

  3. 估計量： 樣本支持比例

p^=1n∑i=1nXi\hat p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i
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第 四 題27 分

請回答下列問題：

（一）依品管圖中 yy 軸記錄的資料說明 Shewhart Charts 與 EWMA Charts 一個相異之處。

（二）製程能力指標 CpC_p 為何不定義為「6σ/(USL−LCL)6\sigma/(USL-LCL)」？其中 USLUSL、LCLLCL 為 upper specification limit 與 lower specification limit 的簡寫，σ\sigma 為製程的標準差。

（三）舉一例說明製程能力指標 CpC_p 不足之處。

（四）當建立 Shewhart Charts 品管圖時，若每個時間點收集資料數 n=10n=10 個資料，品管圖的 yy 軸的上下限分別是 μY+hσY\mu_Y+h\sigma_Y 與 μY−hσY\mu_Y-h\sigma_Y，其中 YY 是品管圖的 yy 軸的統計量，μY\mu_Y 與 σY\sigma_Y 分別是 YY 的平均數與標準差，hh 通常設為 33。為何 yy 軸的上下限不設為 μY+hσY2\mu_Y+h\sigma_Y^2 與 μY−hσY2\mu_Y-h\sigma_Y^2？

（五）針對以下各情況，選擇一個適當的機率分配：

  1. 連續型且具有無記憶性質。
  2. 圓周率小數點後的數值。
  3. 電視機的壽命。

（六）警察攔住超速駕駛者，檢測超速駕駛者是否有喝酒。根據下表計算：

  1. 偽陽性（false positive）機率；
  2. 偽陰性（false negative）機率；
  3. 檢查出有喝酒的機率。

【此處有附表，請對照原卷】

InspectedTruth：喝酒Truth：沒喝酒
Positiveaabb
Negativeccdd
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題涵蓋：

  • Shewhart 管制圖與 EWMA 管制圖的資料記憶性。
  • 製程能力指標 CpC_p 的定義與限制。
  • 管制界限應以標準差而非變異數表示。
  • 常見機率分配的適用情境。
  • 混淆矩陣中的偽陽性、偽陰性與條件機率。

（一）Shewhart Charts 與 EWMA Charts 的差異

Shewhart 管制圖主要根據「當期」樣本的統計量判斷製程是否失控，對過去資料沒有累積記憶。

EWMA 管制圖則將當期觀測值與過去的 EWMA 統計量加權平均，例如：

Zt=λXt+(1−λ)Zt−1,0<λ≤1Z_t=\lambda X_t+(1-\lambda)Z_{t-1},\qquad 0<\lambda\leq 1

因此：

  • Shewhart Chart：主要反映目前樣本的變化。
  • EWMA Chart：具有記憶性，會累積過去資料的資訊，對小幅度、持續性的製程偏移較敏感。

**解題技巧：**看到 EWMA 的關鍵字，立即聯想到「指數加權」與「具有記憶性」。

（二）為何 CpC_p 不定義為 6σUSL−LCL\dfrac{6\sigma}{USL-LCL}？

標準的製程能力指標為：

Cp=USL−LSL6σC_p=\frac{USL-LSL}{6\sigma}

題目將 lower specification limit 寫為 LCLLCL；就製程規格而言，通常記作 LSLLSL。其意義是：

  • USL−LSLUSL-LSL：規格允許的總寬度。
  • 6σ6\sigma：製程自然變異範圍，約涵蓋常態分配下的 μ±3σ\mu\pm3\sigma。

因此 CpC_p 應表示：

Cp=規格寬度製程自然變異寬度C_p=\frac{\text{規格寬度}}{\text{製程自然變異寬度}}

若定義成：

6σUSL−LSL\frac{6\sigma}{USL-LSL}

則會變成上述能力指標的倒數，數值越大反而代表製程變異越大、能力越差，不符合製程能力指標的意義。

解題技巧：CpC_p 的分子放「客戶允許的範圍」，分母放「製程實際的變異範圍」。一般而言，CpC_p 越大越好。

（三）CpC_p 的不足之處

CpC_p 只比較規格寬度與製程變異寬度，沒有考慮製程平均數 μ\mu 是否位於規格中心。

例如規格為：

LSL=90,USL=110LSL=90,\qquad USL=110

若製程標準差為 σ=2\sigma=2，則：

Cp=110−906(2)=2012≈1.67C_p=\frac{110-90}{6(2)} =\frac{20}{12} \approx1.67

此時若製程平均數為 μ=100\mu=100，製程位於規格中心，能力良好。

但若製程平均數偏移至 μ=108\mu=108，即使 CpC_p 仍為 1.671.67，製程右側已非常接近 USL=110USL=110，產生超出上限的不良品機率會大幅增加。

因此 CpC_p 的不足是：

只反映製程變異大小，不反映製程平均數偏移情形。

考慮置中程度的指標為：

Cpk=min⁡{USL−μ3σ,μ−LSL3σ}C_{pk} = \min\left\{ \frac{USL-\mu}{3\sigma}, \frac{\mu-LSL}{3\sigma} \right\}

解題技巧：CpC_p 看「寬度」，CpkC_{pk} 同時看「寬度」與「中心位置」。

（四）為何管制界限不用 μY±hσY2\mu_Y\pm h\sigma_Y^2？

管制界限應設為：

μY+hσY與μY−hσY\mu_Y+h\sigma_Y \quad\text{與}\quad \mu_Y-h\sigma_Y

其中 hh 通常取 33。

不能使用：

μY±hσY2\mu_Y\pm h\sigma_Y^2

理由如下：

1. 單位不一致

μY\mu_Y 與 σY\sigma_Y 的單位都與 YY 相同；但 σY2\sigma_Y^2 是變異數，單位為 YY 單位的平方。

因此：

μY+hσY2\mu_Y+h\sigma_Y^2

是不同量綱的數值相加，沒有合理的物理意義。

2. 管制界限是以標準差衡量距離

管制圖的上下限表示統計量 YY 距離平均數幾個標準差：

Y−μY=±hσYY-\mu_Y=\pm h\sigma_Y
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