112 地方特考三等 工業工程類科 作業研究 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・工業工程類科
試題代碼 作業研究

第 一 題25 分

產品 A-321 未來四週之訂單需求為 300、700、900、800 個，必須完全滿足。工廠產能為每週 700 個，因法規工時上限，僅可於第二、三週加班，加班之產能為每週 200 個。

單個生產成本在前兩週為 100 元，後兩週為 150 元；如加班，則單個生產成本會增加 50 元。當週生產過剩之產品可用於滿足未來需求，其每一週之單個儲存成本為 30 元。

為決定最佳之每週生產方案，以最小化總相關成本，請建立數學規劃模式，清楚定義決策變數與相關參數、目標式及相關完整限制式。（不須求解。）

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核心觀念

本題考查有限規劃期間的生產規劃線性規劃模型。決策須同時安排每週正常生產、加班生產與期末庫存，使各週需求完全滿足，並計入不同週別的生產成本及庫存成本。

決策變數與參數

令 t=1,2,3,4t=1,2,3,4 表示四週，定義：

  • xtx_t：第 tt 週正常工時生產量（個）。
  • yty_t：第 tt 週加班生產量（個）。
  • ItI_t：第 tt 週期末庫存量（個）。

已知需求量為 d1=300, d2=700, d3=900, d4=800d_1=300,\ d_2=700,\ d_3=900,\ d_4=800；正常產能每週最多 700700 個。加班產能上限為 o1=o4=0, o2=o3=200o_1=o_4=0,\ o_2=o_3=200。正常生產單位成本為 c1=c2=100, c3=c4=150c_1=c_2=100,\ c_3=c_4=150，加班單位成本比同週正常生產增加 5050 元，因此加班單位成本為 ct+50c_t+50。

解題方法

以每週的「期初庫存＋當週生產＝當週需求＋期末庫存」建立存量平衡式。題目未提供期初庫存，採期初庫存為零；規劃期末不保留存貨，令 I4=0I_4=0。生產量與庫存量不得為負。

正常生產成本為 ctxtc_t x_t，加班生產成本為 (ct+50)yt(c_t+50)y_t。每週期末庫存會保存至下一週，故每單位庫存每週產生 3030 元成本，計入各週期末庫存 ItI_t。

數學規劃模式

目標為最小化四週總生產成本與庫存成本：

min⁡Z=∑t=14[ctxt+(ct+50)yt+30It]\min Z = \sum_{t=1}^{4}\left[c_t x_t+(c_t+50)y_t+30I_t\right]

亦可依週別展開為：

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第 二 題25 分

在下述之線性規劃模式：

MaximizeZ=3x1+4x2+8x3subject to2x1+3x2+5x3≤9x1+2x2+3x3≤5x1,x2,x3≥0\begin{aligned} \text{Maximize}\quad & Z=3x_1+4x_2+8x_3\\ \text{subject to}\quad &2x_1+3x_2+5x_3\leq 9\\ &x_1+2x_2+3x_3\leq 5\\ &x_1,x_2,x_3\geq 0 \end{aligned}

以單型法（Simplex method）求解之最終結果如下所示（x4,x5x_4,x_5 為鬆弛變數、slack variables）：

Basic VariableEq.ZZx1x_1x2x_2x3x_3x4x_4x5x_5Right Side
ZZ(0)10101114
x1x_1(1)01-103-52
x3x_3(2)0011-121

針對下述四個參數：b2b_2、c2c_2、a22a_{22}、c3c_3，在維持上表乃為最佳解情況下，試分析計算其可容許範圍（即當其值超過何範圍時，變成非最佳解或非可行解），請列出詳細分析過程，缺乏過程不予計分。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查單型法最終表的敏感度分析。判斷某一參數改變後，原基底是否仍為最佳解，必須分別檢查：

  1. 右端值改變：檢查目前基底解是否仍滿足可行性。
  2. 目標函數係數改變：檢查所有非基變數的約化成本是否仍符合最佳性條件。
  3. 技術係數改變：重新計算受影響的約化成本。
  4. 最大化問題採本題表格慣例時，目標列中非基變數係數須滿足 目標列係數≥0,\text{目標列係數}\geq 0, 等價於約化成本 cˉj=cj−yTaj≤0.\bar c_j=c_j-y^Ta_j\leq 0.

目前基變數為 x1,x3x_1,x_3，因此基底矩陣為

B=[2513],cB=[38].B= \begin{bmatrix} 2&5\\ 1&3 \end{bmatrix}, \qquad c_B= \begin{bmatrix} 3\\ 8 \end{bmatrix}.

由最終表可知目前解為

x1=2,x3=1,x2=x4=x5=0,x_1=2,\qquad x_3=1,\qquad x_2=x_4=x_5=0,

且

Z=14.Z=14.

一、參數 b2b_2 的可容許範圍

b2b_2 是第二條限制式的右端值。右端值改變時，基底及約化成本不變，因此只需檢查目前基底解是否仍可行。

令第二條限制式右端值為 b2b_2，則基變數滿足

2x1+5x3=9,x1+3x3=b2.\begin{aligned} 2x_1+5x_3&=9,\\ x_1+3x_3&=b_2. \end{aligned}

由第二式得

x1=b2−3x3.x_1=b_2-3x_3.

代入第一式：

2(b2−3x3)+5x3=9,2(b_2-3x_3)+5x_3=9, 2b2−x3=9,2b_2-x_3=9, x3=2b2−9.x_3=2b_2-9.

再求 x1x_1：

x1=b2−3(2b2−9)=27−5b2.x_1=b_2-3(2b_2-9)=27-5b_2.

可行性要求

x1≥0,x3≥0.x_1\geq 0,\qquad x_3\geq 0.

因此

27−5b2≥0⟹b2≤275,27-5b_2\geq 0 \quad\Longrightarrow\quad b_2\leq \frac{27}{5},

以及

2b2−9≥0⟹b2≥92.2b_2-9\geq 0 \quad\Longrightarrow\quad b_2\geq \frac{9}{2}.

所以

92≤b2≤275.\boxed{\frac{9}{2}\leq b_2\leq \frac{27}{5}}.

在此範圍內，原基底仍可行，且約化成本未變，因此仍為最佳解。

二、參數 c2c_2 的可容許範圍

c2c_2 是非基變數 x2x_2 的目標函數係數。

由最終表，x2x_2 在目標列的係數為 11，所以原本的約化成本為

cˉ2=−1.\bar c_2=-1.

也可以直接利用對偶價格求得。由

BTy=cBB^Ty=c_B

得

[2153][y1y2]=[38].\begin{bmatrix} 2&1\\ 5&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1\\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ 8 \end{bmatrix}.

即

2y1+y2=3,5y1+3y2=8.\begin{aligned} 2y_1+y_2&=3,\\ 5y_1+3y_2&=8. \end{aligned}

解得

y1=1,y2=1.y_1=1,\qquad y_2=1.

x2x_2 的原始技術係數為

a2=[32].a_2= \begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}.

因此

cˉ2=c2−yTa2=c2−(3+2)=c2−5.\bar c_2=c_2-y^Ta_2 =c_2-(3+2) =c_2-5.

最大化問題維持最佳性的條件為

cˉ2≤0.\bar c_2\leq 0.

故

c2−5≤0⟹c2≤5.c_2-5\leq 0 \quad\Longrightarrow\quad c_2\leq 5.

所以

c2≤5.\boxed{c_2\leq 5}.

下限沒有有限值，亦即 c2c_2 可以任意降低；當 c2=5c_2=5 時，x2x_2 的約化成本為零，會產生替代最佳解。

三、參數 a22a_{22} 的可容許範圍

a22a_{22} 是第二條限制式中 x2x_2 的技術係數，原值為 22。改變 a22a_{22} 時，目前基變數 x1,x3x_1,x_3 的基底並未改變，因此目前基底解仍為

x1=2,x3=1.x_1=2,\qquad x_3=1.

故可行性不受影響，只需檢查 x2x_2 的約化成本。

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第 三 題25 分

請以動態規劃法求解下述之非線性規劃模式：

MaximizeZ=2x1+x22subject tox12+x22≤4x1,x2≥0\begin{aligned} \text{Maximize}\quad &Z=2x_1+x_2^2\\ \text{subject to}\quad &x_1^2+x_2^2\leq 4\\ &x_1,x_2\geq 0 \end{aligned}

請列出詳細求解過程與最佳解，缺乏求解過程不予計分。

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核心觀念

本題考查以動態規劃法處理非線性規劃問題。動態規劃將原問題拆成逐階段的子問題，定義狀態、決策變數與價值函數，再用遞迴式找出各階段的最佳值。

本題有兩個決策變數，可依序令 x1x_1、x2x_2 為兩階段決策。限制式 x12+x22≤4x_1^2+x_2^2\leq 4 可視為總資源限制；選定第一階段的 x1x_1 後，剩餘資源決定第二階段 x2x_2 的可行範圍。

解題方法

將目標函數寫成兩階段報酬：

Z=2x1+x22Z=2x_1+x_2^2

令 ss 表示可用的平方資源總量，初始狀態為 s=4s=4。

第一階段：決定 x1x_1

第一階段投入 x12x_1^2 單位資源，獲得報酬 2x12x_1，並將剩餘資源 s−x12s-x_1^2 留給第二階段。令第一階段的價值函數為 f1(s)f_1(s)，則：

f1(s)=max⁡0≤x1≤s2x1f_1(s)=\max_{0\leq x_1\leq \sqrt{s}}2x_1

因為 2x12x_1 隨 x1x_1 增加而增加，所以第一階段若單獨求最大值，會取 x1=sx_1=\sqrt{s}。不過兩階段必須共同最佳化，因此將第一階段報酬與第二階段價值合併，以遞迴式表示。

第二階段：決定 x2x_2

給定第一階段選擇 x1x_1 後，第二階段需滿足：

0≤x2≤4−x120\leq x_2\leq \sqrt{4-x_1^2}

其報酬為 x22x_2^2，隨 x2x_2 增加而增加，因此最佳選擇為：

x2∗=4−x12x_2^*=\sqrt{4-x_1^2}
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第 四 題25 分

針對最基本的 M/M/1 等候模型，假設 λ\lambda 為顧客進入系統速率，μ\mu 為顧客服務速率，請分析估計在一個顧客接受服務期間：

  1. 期望顧客進入系統人數，與無顧客進入系統之機率。

請清楚定義變數與描述分析過程，僅以直覺論述回答不予計分。

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核心觀念

題目考的是 M/M/1 模型中，服務時間具有指數分配、顧客到達符合卜瓦松過程時，如何分析「一段服務時間內」的到達人數。

令：

  • λ\lambda：顧客到達系統的平均速率。
  • μ\mu：顧客服務的平均速率，故單一顧客的服務時間 SS 服從平均數為 1/μ1/\mu 的指數分配。
  • NN：在一位顧客接受服務的期間，進入系統的顧客人數。

要注意，服務時間是隨機的，因此不能只把到達率乘上一個固定時間；需先以給定服務時間 S=sS=s 的條件到達人數分配，再對 SS 取平均。

解題方法

給定服務時間為 ss 時，到達系統的人數符合卜瓦松分配：

N∣S=s∼Poisson⁡(λs)N\mid S=s\sim\operatorname{Poisson}(\lambda s)

因此，給定 S=sS=s 時，服務期間的期望到達人數為 λs\lambda s。取服務時間的期望值：

E[N]=E[E[N∣S]]=E[λS]=λE[S]=λμE[N]=E[E[N\mid S]] =E[\lambda S] =\lambda E[S] =\frac{\lambda}{\mu}

所以，一位顧客接受服務期間，平均有 λ/μ\lambda/\mu 位顧客進入系統。

接著求服務期間沒有顧客進入系統的機率。給定 S=sS=s 時，卜瓦松分配的零次到達機率為：

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