112 地方特考三等 工業工程類科 工程經濟學 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・工業工程類科
試題代碼 工程經濟學

第 一 題25 分

W 公司向 A 銀行借款 8,000,0008{,}000{,}000 元，借款利率為每年 10%10\%，分 1010 年於每年年底等額償還。請詳細列計算式回答以下問題：

(一) W 公司每年年底應等額償還多少元給 A 銀行？（10 分）

(二) 假如 W 公司於償還第 66 次款項後，即向 A 銀行辦理解約，「剩餘積欠款項」準備全部改向提供較低利率條件的 B 銀行借款，以減少公司的利息支出。請計算 W 公司於償還第 66 次款項後，必須清償 A 銀行的「剩餘積欠款項」是多少元？（10 分）

(三) 假如 B 銀行提供給 W 公司的借款條件為利率每年 8%8\%，單利計算，分 44 年於每年年底償還當年的利息費用以及 W 公司向 B 銀行原借款本金的 25%25\%，請計算 W 公司向 B 銀行償還第 22 次款項的金額是多少元？（5 分）

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核心觀念

本題考查等額年金貸款的償還額、償還若干期後的未償餘額，以及本金固定分期、利息按剩餘本金計算的單利還款。

等額年金現值公式為：

P=A(P/A,i,n)=A1−(1+i)−niP=A(P/A,i,n)=A\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

其中 PP 為借款本金，AA 為每期等額償還額，ii 為每期利率，nn 為期數。

償還第 kk 期後的未償餘額，可用剩餘各期付款在第 kk 期末的現值計算：

Bk=A(P/A,i,n−k)=A1−(1+i)−(n−k)iB_k=A(P/A,i,n-k)=A\frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}

解題方法與計算

（一）每年年底等額償還額

已知借款本金 P=8,000,000P=8{,}000{,}000 元、年利率 i=10%=0.10i=10\%=0.10、期數 n=10n=10。將本金視為 10 年等額年金的現值：

8,000,000=A1−(1.10)−100.108{,}000{,}000=A\frac{1-(1.10)^{-10}}{0.10}

因此：

A=8,000,0000.101−(1.10)−10≈1,302,486.22 元A=8{,}000{,}000\frac{0.10}{1-(1.10)^{-10}} \approx 1{,}302{,}486.22\text{ 元}

（二）償還第 6 次款項後的剩餘積欠款項

第 6 次款項已在第 6 年年底償還，尚有第 7 至第 10 年共 4 次付款。故未償餘額為這 4 次等額付款在第 6 年年底的現值：

B6=A(P/A,10%,4)B_6=A(P/A,10\%,4)

B6=1,302,486.221−(1.10)−40.10≈4,125,848.42 元B_6=1{,}302{,}486.22 \frac{1-(1.10)^{-4}}{0.10} \approx 4{,}125{,}848.42\text{ 元}

（三）向 B 銀行償還第 2 次款項金額

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第 二 題25 分

X 公司準備向銀行借款 10,000,00010{,}000{,}000 元以更換舊生產線。借款期為 55 年，每半年償還銀行相同的金額，共分 1010 次償還。現有 A、B、C 三家銀行各提供不同的借款利率條件，分別為：

  • A 銀行：每年名義利率 10%10\%，每半年複利一次。
  • B 銀行：每半年名義利率 5%5\%，每季複利一次。
  • C 銀行：每年名義利率 8%8\%，每月複利一次。

請詳細列計算式回答以下問題：

(一) 請分別求算 A、B、C 三家銀行每半年的實際利率分別為多少？答案請以小數表示，求至小數點後六位。（10 分）

(二) 請分別求算 A、B、C 這三家銀行所提供的借款利率條件下，X 公司每半年償還的金額分別為多少元？（10 分）

(三) X 公司應向哪一家銀行借款，以使 55 年償還的總金額最低？該決策可較 55 年償還的總金額次高者節省多少元？（5 分）

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核心觀念

本題考查名義利率、複利期間與實際利率的換算，以及用等額本利攤還計算每期償還金額。三家銀行的計息頻率不同，須先將各自利率換算成每半年實際利率，再以半年為一期計算 10 期等額還款。

若每年名義利率為 jj，每年複利 mm 次，則每年有效利率為

i年=(1+jm)m−1i_{\text{年}}=\left(1+\frac{j}{m}\right)^m-1

若要換算成每半年實際利率 i0.5i_{0.5}，則

i0.5=(1+i年)1/2−1i_{0.5}=(1+i_{\text{年}})^{1/2}-1

若每半年名義利率為 j0.5j_{0.5}，每半年複利 mm 次，則

i0.5=(1+j0.5m)m−1i_{0.5}=\left(1+\frac{j_{0.5}}{m}\right)^m-1

每期利率為 ii、期數為 nn、借款本金為 PP 時，每期等額還款額 AA 為

A=Pi(1+i)n(1+i)n−1=Pi1−(1+i)−nA=P\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1} =P\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}

解題方法

借款本金 P=10,000,000P=10{,}000{,}000 元，借款期為 5 年，每半年還款一次，因此總期數為

n=5×2=10n=5\times 2=10

各銀行先換算每半年實際利率，再代入等額本利攤還公式。

（一）每半年實際利率

A 銀行

每年名義利率為 10%10\%，每半年複利一次。每半年利率即為年名義利率除以 2：

iA=0.102=0.050000i_A=\frac{0.10}{2}=0.050000

B 銀行

每半年名義利率為 5%5\%，每季複利一次。每半年包含 2 季：

iB=(1+0.052)2−1=1.0252−1=0.050625i_B=\left(1+\frac{0.05}{2}\right)^2-1 =1.025^2-1 =0.050625

C 銀行

每年名義利率為 8%8\%，每月複利一次。先換算年有效利率，再換算為半年有效利率：

iC=(1+0.0812)6−1=0.04060401…≈0.040604i_C=\left(1+\frac{0.08}{12}\right)^6-1 =0.04060401\ldots \approx 0.040604

因此，三家銀行每半年的實際利率分別為：

iA=0.050000,iB=0.050625,iC=0.040604i_A=0.050000,\qquad i_B=0.050625,\qquad i_C=0.040604

（二）每半年等額還款金額

將各銀行每半年實際利率代入 P=10,000,000P=10{,}000{,}000、n=10n=10 的等額本利攤還公式。

A 銀行

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第 三 題25 分

有四個互斥的投資方案正在被評估考慮中，下表為四個投資方案在投資期間的現金流量。假設年利率為 8%8\%，請詳細列計算式回答以下問題：

表、各投資方案現金流量

期間（年）A 方案B 方案C 方案D 方案
00−25,500-25{,}500−20,500-20{,}50019,50019{,}50015,50015{,}500
115,2005{,}200−1,500-1{,}500−1,600-1{,}600−2,600-2{,}600
2211,40011{,}40010,30010{,}300−2,500-2{,}500−2,500-2{,}500
339,3009{,}3008,6008{,}6005,5005{,}5006,0006{,}000
447,6007{,}6007,9007{,}900−500-500500500

(一) 請以未來值（future worth）分析法為比較基礎，分別求算 A、B、C、D 這四個方案的未來值為多少元？並回答應選擇哪一個方案為最佳。（13 分）

(二) 請以年金值（annual worth）分析法為比較基礎，分別求算 A、B、C、D 這四個方案的年金值為多少元？並回答應選擇哪一個方案為最佳。（12 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查互斥投資方案的經濟性比較：

  • 未來值法（Future Worth, FWFW）：將各期現金流量以年利率 8%8\% 複利至共同比較時點，本題採第 44 年。
  • 年金值法（Annual Worth, AWAW）：將未來值換算為每年等額的年金值。
  • 互斥方案應選擇經濟價值最大的方案。

利率：

i=8%=0.08i=8\%=0.08

第 44 年各期現金流量的複利因子為：

(1.08)1=1.08,(1.08)2=1.1664(1.08)^1=1.08,\quad (1.08)^2=1.1664 (1.08)3=1.259712,(1.08)4=1.36048896(1.08)^3=1.259712,\quad (1.08)^4=1.36048896

（一）未來值分析法

未來值公式為：

FW4=∑t=04CFt(1.08)4−tFW_4=\sum_{t=0}^{4}CF_t(1.08)^{4-t}

A 方案

FWA=−25,500(1.08)4+5,200(1.08)3+11,400(1.08)2+9,300(1.08)+7,600\begin{aligned} FW_A={}&-25,500(1.08)^4+5,200(1.08)^3\\ &+11,400(1.08)^2+9,300(1.08)+7,600 \end{aligned} FWA=−25,500(1.36048896)+5,200(1.259712)+11,400(1.1664)+9,300(1.08)+7,600=2,798.99\begin{aligned} FW_A={}&-25,500(1.36048896)+5,200(1.259712)\\ &+11,400(1.1664)+9,300(1.08)+7,600\\ ={}&2,798.99 \end{aligned}

B 方案

FWB=−20,500(1.08)4−1,500(1.08)3+10,300(1.08)2+8,600(1.08)+7,900\begin{aligned} FW_B={}&-20,500(1.08)^4-1,500(1.08)^3\\ &+10,300(1.08)^2+8,600(1.08)+7,900 \end{aligned} FWB=−20,500(1.36048896)−1,500(1.259712)+10,300(1.1664)+8,600(1.08)+7,900=−677.67\begin{aligned} FW_B={}&-20,500(1.36048896)-1,500(1.259712)\\ &+10,300(1.1664)+8,600(1.08)+7,900\\ ={}&-677.67 \end{aligned}

C 方案

FWC=19,500(1.08)4−1,600(1.08)3−2,500(1.08)2+5,500(1.08)−500\begin{aligned} FW_C={}&19,500(1.08)^4-1,600(1.08)^3\\ &-2,500(1.08)^2+5,500(1.08)-500 \end{aligned} FWC=19,500(1.36048896)−1,600(1.259712)−2,500(1.1664)+5,500(1.08)−500=27,038.00\begin{aligned} FW_C={}&19,500(1.36048896)-1,600(1.259712)\\ &-2,500(1.1664)+5,500(1.08)-500\\ ={}&27,038.00 \end{aligned}

D 方案

FWD=15,500(1.08)4−2,600(1.08)3−2,500(1.08)2+6,000(1.08)+500\begin{aligned} FW_D={}&15,500(1.08)^4-2,600(1.08)^3\\ &-2,500(1.08)^2+6,000(1.08)+500 \end{aligned}
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第 四 題25 分

某一機器以 8,000,0008{,}000{,}000 元購入，預估壽命為 88 年，殘值預估為 800,000800{,}000 元。請詳細列計算式回答以下問題：

(一) 若採用年數合計法提列折舊，請問第四年機器的折舊金額、帳面價值及折舊率分別為多少？折舊率請以小數表示，求至小數點後四位。（13 分）

(二) 若採用雙倍餘額遞減（double declining balance）法提列折舊，請問第四年機器的折舊金額、帳面價值及折舊率分別為多少？折舊率請以小數表示，求至小數點後四位。（12 分）

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核心觀念

本題考折舊方法下的「折舊費用、期末帳面價值與當年折舊率」。購入成本為 P=8,000,000P=8{,}000{,}000 元，預估殘值為 S=800,000S=800{,}000 元，耐用年數為 n=8n=8 年，可折舊金額為：

P−S=8,000,000−800,000=7,200,000 元P-S=8{,}000{,}000-800{,}000=7{,}200{,}000\text{ 元}

年數合計法以剩餘耐用年數為權數分攤可折舊金額；雙倍餘額遞減法則以期初帳面價值乘上固定折舊率計算，且須留意殘值限制。

解題方法

（一）年數合計法

八年年數合計為：

1+2+⋯+8=8(8+1)2=361+2+\cdots+8=\frac{8(8+1)}{2}=36

第四年開始時，剩餘耐用年數為 8−4+1=58-4+1=5 年，因此第四年折舊率為：

536=0.138888…≈0.1389\frac{5}{36}=0.138888\ldots\approx\boxed{0.1389}

第四年折舊金額為可折舊金額乘以第四年的折舊率：

7,200,000×536=1,000,000 元7{,}200{,}000\times\frac{5}{36} =1{,}000{,}000\text{ 元}

計算第四年期末帳面價值時，須扣除前四年的累計折舊。前四年權數依序為 8、7、6、58、7、6、5，合計為 2626：

前四年累計折舊=7,200,000×8+7+6+536=5,200,000 元\text{前四年累計折舊} =7{,}200{,}000\times\frac{8+7+6+5}{36} =5{,}200{,}000\text{ 元} 第四年期末帳面價值=8,000,000−5,200,000=2,800,000 元\text{第四年期末帳面價值} =8{,}000{,}000-5{,}200{,}000 =2{,}800{,}000\text{ 元}

（二）雙倍餘額遞減法

直線法年折舊率為 1/81/8，雙倍餘額遞減法折舊率為直線法年折舊率的兩倍：

r=2×18=0.25r=2\times\frac{1}{8}=0.25
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