110 地方特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

設單一客人的消費金額為 $X$，題意給定：

$$X\sim N(\mu,\sigma^2)=N(77,5^2)$$

本題考查：

• 常態分配的標準化：

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

• 樣本平均數的抽樣分配：

$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$

• 常態分配百分位數。
• 已知母體標準差時，母體平均數信賴區間的邊際誤差與樣本數決定。

本題為計算題，沒有選項，因此選項分析不適用。

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（一）單一客人消費金額介於 77 元和 82 元的機率

解題方法

將 $X=77$ 與 $X=82$ 分別標準化：

$$Z_1=\frac{77-77}{5}=0$$ $$Z_2=\frac{82-77}{5}=1$$

因此：

$$P(77\leq X\leq 82) =P(0\leq Z\leq 1)$$

利用標準常態分配表：

$$P(0\leq Z\leq 1)=\Phi(1)-\Phi(0) =0.8413-0.5000=0.3413$$

所以機率為：

$$\boxed{0.3413}$$

即約為 $34.13\%$。

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（二）4 位客人的平均消費金額介於 77 元和 82 元的機率

解題方法

樣本數為 $n=4$，因此樣本平均數的平均數與標準差為：

$$E(\bar X)=\mu=77$$ $$\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n} =\frac{5}{\sqrt4} =\frac{5}{2}=2.5$$

故：

$$\bar X\sim N(77,2.5^2)$$

將上下限標準化：

$$Z_1=\frac{77-77}{2.5}=0$$ $$Z_2=\frac{82-77}{2.5}=2$$

因此：

$$P(77\leq \bar X\leq 82) =P(0\leq Z\leq 2)$$

查標準常態分配表：

$$P(0\leq Z\leq 2) =\Phi(2)-\Phi(0) =0.9772-0.5000=0.4772$$

所以機率為：

$$\boxed{0.4772}$$

即約為 $47.72\%$。

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（三）前 $2.5\%$ 高價消費金額的最低金額

解題方法

核心觀念

本題考查離散型隨機變數的：

• 機率分配
• 期望值定義： $E(X)=\sum_x xP(X=x)$
• 函數期望值： $E(X^2)=\sum_x x^2P(X=x)$
• 變異數公式： $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$

兩顆四面骰子皆為公正骰子，因此每一種有序結果共有

$4\times 4=16$

種，且每種結果的機率皆為 $\frac{1}{16}$。

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解題方法

令 $X$ 為兩顆骰子點數的最大值。先求出 $X$ 的機率分配，再依序計算 $E(X)$、$E(X^2)$ 與 $\operatorname{Var}(X)$。

$X$ 的機率分配

$X=k$ 表示兩顆骰子的最大點數為 $k$。

$X$ 值	對應有序結果	結果數	$P(X=k)$
$1$	$(1,1)$	$1$	$\frac{1}{16}$
$2$	$(1,2),(2,1),(2,2)$	$3$	$\frac{3}{16}$
$3$	最大點數為 $3$的結果	$5$	$\frac{5}{16}$
$4$	最大點數為 $4$的結果	$7$	$\frac{7}{16}$

因此：

$$P(X=1)=\frac{1}{16},\quad P(X=2)=\frac{3}{16},\quad P(X=3)=\frac{5}{16},\quad P(X=4)=\frac{7}{16}$$

也可利用公式：

$$P(X=k)=\frac{k^2-(k-1)^2}{16} =\frac{2k-1}{16}$$

其中 $k=1,2,3,4$。

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（一）求 $E(X)$

依期望值定義：

$$E(X)=\sum_{k=1}^{4}kP(X=k)$$

代入機率分配：

$$\begin{aligned} E(X) &=1\cdot\frac{1}{16} +2\cdot\frac{3}{16} +3\cdot\frac{5}{16} +4\cdot\frac{7}{16}\\ &=\frac{1+6+15+28}{16}\\ &=\frac{50}{16}\\ &=\frac{25}{8} \end{aligned}$$

因此：

$$\boxed{E(X)=\frac{25}{8}=3.125}$$

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（二）求 $E(X^2)$

依函數期望值公式：

核心觀念

本題比較兩個獨立母體比例：

• $P_1$：男生願意花大錢購買高階手機的比例。
• $P_2$：女生願意花大錢購買高階手機的比例。

樣本資料為：

$$n_1=n_2=400,\qquad x_1=280,\qquad x_2=200$$

因此樣本比例為：

$$\hat P_1=\frac{280}{400}=0.7,\qquad \hat P_2=\frac{200}{400}=0.5$$

本題第一、二小題使用「兩母體比例差的單尾檢定」；第三小題則使用「兩母體比例差的 $95\%$ 信賴區間」。

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解題方法

由於兩組樣本彼此獨立，且樣本數均為 $400$，可採用大樣本比例檢定。檢定男生是否「更願意」花大錢，因此採右尾檢定。

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（一）虛無及對立假設

題意是檢定男生比例是否高於女生比例，因此：

$$H_0:P_1\leq P_2$$ $$H_1:P_1>P_2$$

也可將虛無假設寫成：

$$H_0:P_1-P_2\leq 0$$ $$H_1:P_1-P_2>0$$

進行檢定統計量計算時，虛無假設的邊界值為 $P_1=P_2$。

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（二）檢定統計量及結論

1. 合併樣本比例

在虛無假設 $P_1=P_2$ 下，使用合併樣本比例：

$$\hat P=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2} =\frac{280+200}{400+400} =\frac{480}{800} =0.6$$

因此：

$$1-\hat P=0.4$$

2. 檢定統計量

兩母體比例差的檢定統計量為：

$$Z= \frac{\hat P_1-\hat P_2} {\sqrt{\hat P(1-\hat P) \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$$

代入數值：

$$Z= \frac{0.7-0.5} {\sqrt{(0.6)(0.4) \left(\frac{1}{400}+\frac{1}{400}\right)}}$$ $$= \frac{0.2} {\sqrt{0.24(0.005)}} = \frac{0.2}{\sqrt{0.0012}} \approx 5.77$$

3. 拒絕域與結論

顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

因為是右尾檢定，臨界值為：

$$z_{0.95}=1.645$$

拒絕域為：

$$Z>1.645$$

本題：

$$Z=5.77>1.645$$

因此拒絕虛無假設。

結論為：在 $0.05$ 顯著水準下，有充分統計證據支持男生比女生更願意花大錢購買高階手機。

亦可由 $p$ 值判斷：

$$p\text{-value}=P(Z>5.77)<0.0001<0.05$$

所以同樣拒絕 $H_0$。

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核心觀念

本題考查多元線性迴歸分析中的：

• 迴歸方程式與殘差
• 個別迴歸係數的 $t$ 檢定
• 多個迴歸係數同時為 $0$ 的 $F$ 檢定
• 判定係數 $R^2$

設汽車售價為 $Y$，燃料消耗量為 $X_1$，汽車排氣量為 $X_2$。迴歸模型為

$$\hat{Y}=572.824-9.362X_1+7.515X_2$$

其中售價單位為「千元」。

樣本數為 $n=100$，自變數個數為 $k=2$，因此：

$$df_{\text{Regression}}=k=2$$ $$df_{\text{Error}}=n-k-1=100-2-1=97$$ $$df_{\text{Total}}=n-1=99$$

由 ANOVA 表：

$$SS_T=43,506,728,\qquad SS_E=34,188,066$$

因此迴歸平方和為

$$SS_R=SS_T-SS_E =43,506,728-34,188,066 =9,318,662$$

迴歸均方與誤差均方分別為

$$MS_R=\frac{SS_R}{df_R} =\frac{9,318,662}{2} =4,659,331$$ $$MS_E=\frac{SS_E}{df_E} =\frac{34,188,066}{97} \approx352,454.29$$

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(一) 殘差

解題方法

先將題目給定的燃料消耗量與排氣量代入迴歸方程式，求出預測售價，再以：

$$e_i=Y_i-\hat{Y}_i$$

計算殘差。

已知：

$$X_1=50,\qquad X_2=100$$

因此預測售價為

$$\begin{aligned} \hat{Y} &=572.824-9.362(50)+7.515(100)\\ &=572.824-468.100+751.500\\ &=856.224 \end{aligned}$$

預測售價為 $856.224$ 千元，即 $856,224$ 元。

實際售價為 $549,900$ 元，即 $549.900$ 千元。

所以殘差為

$$\begin{aligned} e &=549.900-856.224\\ &=-306.324\text{ 千元} \end{aligned}$$

換算為元：

$$e=-306,324\text{ 元}$$

負殘差表示實際售價低於模型預測售價。

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(二) 汽車排氣量係數的檢定統計量

核心觀念

欲檢定汽車排氣量之迴歸係數是否顯著，建立假設：

$$H_0:\beta_2=0$$ $$H_1:\beta_2\neq0$$

個別迴歸係數使用 $t$ 統計量：

$$t=\frac{b_j-\beta_{j,0}}{SE(b_j)}$$

本題虛無假設中的假定值為 $\beta_{2,0}=0$，因此：

$$t=\frac{7.515-0}{2.641} \approx2.845$$

其自由度為誤差自由度：

$$df=97$$

因此檢定統計量為

$$\boxed{t\approx2.845,\quad df=97}$$