110 地方特考四等 交通技術 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查三種集中趨勢與離散程度的基本性質：

• 平均數： $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
• 中位數：資料排序後位於中央位置的數值。
• 眾數：出現次數最多的數值。
• 變異數：衡量資料對平均數的離散程度，定義為平方離差的平均，因此必定滿足 $s^2\geq 0$
• 全距： $R=\max(x_i)-\min(x_i)$

判斷本題各敘述時，應分別檢查每一種統計量的定義與性質，不可因某一項成立便推論其他項目也成立。

解題方法與選項分析

（一）當一組資料均為負值時，則中位數、變異數、眾數均為負值。

判斷：錯誤。

若所有資料均為負值：

• 中位數必為負值。
• 若存在眾數，眾數必為負值。
• 變異數是平方離差的平均，平方後不會是負數，因此變異數必為非負值，不會因原始資料為負而變成負值。

例如資料為 $-1,-2,-3$：

排序後為 $-3,-2,-1$，因此

$$\text{中位數}=-2$$

三個數各出現一次，沒有眾數；且平均數為

$$\bar{x}=\frac{-1-2-3}{3}=-2$$

變異數為

$$\sigma^2 =\frac{(-1+2)^2+(-2+2)^2+(-3+2)^2}{3} =\frac{1+0+1}{3} =\frac{2}{3}>0$$

可見變異數不是負值。即使資料中有眾數，例如 $-1,-1,-2$，眾數也只是負值，變異數仍為正值。

（二）當一組資料之變異數等於 $0$，則平均數、中位數、眾數均等於 $0$。

判斷：錯誤。

變異數等於 $0$ 的真正意義是：所有觀察值都完全相同，而非所有觀察值都等於 $0$。

因為

$$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=0$$

每一項平方離差皆為非負數，總和要等於 $0$，必須有

$$x_i-\bar{x}=0$$

對所有 $i$ 均成立，所以

$$x_1=x_2=\cdots=x_n=c$$

其中 $c$ 可為任意實數。此時

$$\bar{x}=c,\qquad \text{中位數}=c,\qquad \text{眾數}=c$$

例如資料為 $5,5,5$：

$$\bar{x}=5,\qquad \text{中位數}=5,\qquad \text{眾數}=5,\qquad \sigma^2=0$$

因此三者不必等於 $0$，只必須彼此相等。

（三）當一組資料之全距愈大，則平均數、中位數、眾數也愈大。

判斷：錯誤。

核心觀念

設原本機車每公升可行駛距離為隨機變數 $X$，已知：

$$\mu_X=E(X)=38.5\text{ 公里},\qquad \sigma_X=6\text{ 公里}$$

本題考查隨機變數線性轉換後的平均值與標準差：

若

$$Y=a+bX$$

則

$$E(Y)=a+bE(X)$$

且

$$\sigma_Y=|b|\sigma_X$$

其中：

• 加上一個固定常數 $a$，只會改變平均值，不會改變標準差。
• 乘上一個常數 $b$，平均值與標準差都會乘上 $|b|$。

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解題方法

（一）裝設甲廠商省油裝置

甲廠商裝置使每公升行駛距離增加 $3.5$ 公里，因此新距離為

$$Y=X+3.5$$

平均值

由平均值的線性性質：

$$E(Y)=E(X+3.5)$$ $$=E(X)+3.5$$ $$=38.5+3.5=42$$

所以平均值為 $42$ 公里。

標準差

因為 $3.5$ 是固定增加的常數，不會改變資料彼此的離散程度：

$$\sigma_Y=\sigma_{X+3.5}=\sigma_X=6$$

所以標準差為 $6$ 公里。

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（二）裝設乙廠商省油裝置

乙廠商裝置使每公升行駛距離提升 $17\%$，表示每一筆原本距離均乘以

$$1+17\%=1.17$$

因此新距離為

$$Y=1.17X$$

平均值

$$E(Y)=E(1.17X)$$ $$=1.17E(X)$$ $$=1.17(38.5)$$ $$=45.045$$

核心觀念

令：

• $A$：某一天路線 A 誤點
• $B$：某一天路線 B 誤點

已知：

$$P(A)=0.65,\qquad P(B)=0.60,\qquad P(A\cap B)=0.48$$

本題考查：

1. 聯集機率：

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

2. 事件補集：

$$P(A^c)=1-P(A)$$

3. 條件機率：

$$P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}$$

題目已直接給出兩路線同時誤點的機率，因此不需假設兩條路線相互獨立。

解題方法

(一) 任一天至少有一條路線誤點之機率

「至少有一條路線誤點」代表路線 A 誤點或路線 B 誤點，即事件 $A\cup B$。

直接套用聯集機率公式：

$$\begin{aligned} P(A\cup B) &=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &=0.65+0.60-0.48\\ &=0.77 \end{aligned}$$

其中減去 $P(A\cap B)$ 是因為兩路線同時誤點的情況，在 $P(A)$ 與 $P(B)$ 中各被計算一次。

因此：

$$\boxed{P(A\cup B)=0.77}$$

(二) 給定路線 A 準點，路線 B 亦準點之機率

路線 A 準點為 $A^c$，路線 B 準點為 $B^c$，所求為：

$$P(B^c\mid A^c)$$

依條件機率定義：

$$P(B^c\mid A^c) =\frac{P(B^c\cap A^c)}{P(A^c)}$$

先求兩條路線皆準點的機率。兩條路線皆準點是「沒有任何一路線誤點」，因此為 $A\cup B$ 的補集：

$$\begin{aligned} P(A^c\cap B^c) &=1-P(A\cup B)\\ &=1-0.77\\ &=0.23 \end{aligned}$$

另有：

$$P(A^c)=1-P(A)=1-0.65=0.35$$

代入條件機率公式：

$$\begin{aligned} P(B^c\mid A^c) &=\frac{0.23}{0.35}\\ &=\frac{23}{35}\\ &\approx 0.6571 \end{aligned}$$

因此：

核心觀念

本題考查「母體標準差已知時，母體平均數的單尾 $Z$ 檢定」。

令 $\mu$ 表示電池充電後可行駛里程數的母體平均數。製造商宣稱平均行駛里程超過 $500$ 公里，購買者懷疑其宣稱誇大，因此檢定方向為左尾檢定：

• 虛無假設：製造商宣稱合理。
• 對立假設：實際平均行駛里程低於 $500$ 公里。

因題目給定母體標準差 $\sigma=26$ 公里，故採用單一母體平均數 $Z$ 檢定。顯著水準為 $\alpha=0.01$，左尾臨界值為

$$z_{0.01}=-2.326$$

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（一）虛無假設與對立假設

令 $\mu$ 為電池充電後可行駛里程的母體平均數。

$$H_0:\mu\geq 500$$ $$H_1:\mu<500$$

實際計算時，因為虛無假設的邊界值是 $\mu_0=500$，所以以

$$\mu_0=500$$

代入檢定統計量。

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（二）樣本數為 $25$ 時的檢定

解題方法

已知母體標準差 $\sigma=26$，且樣本數 $n=25$，故檢定統計量為

$$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$$

題目資料為

$$\bar X=490,\qquad \mu_0=500,\qquad \sigma=26,\qquad n=25$$

代入得

$$Z=\frac{490-500}{26/\sqrt{25}}$$ $$=\frac{-10}{26/5} =\frac{-10}{5.2} =-1.923$$

拒絕域

由於為左尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.01$，拒絕域為

$$Z<-2.326$$

本題所得

$$Z=-1.923>-2.326$$

因此不落入拒絕域。

結論

在 $1\%$ 顯著水準下，不拒絕虛無假設。樣本資料不足以證明實際平均行駛里程低於 $500$ 公里，因此沒有充分統計證據認定製造商的宣稱不合理。

故在此樣本下，製造商宣稱「充電後可行駛超過 $500$ 公里」仍可視為合理。

亦可由 $P$ 值判斷：

$$P\text{-value}=P(Z<-1.923)\approx 0.027$$

因為

$$0.027>0.01$$

所以不拒絕 $H_0$。

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（三）樣本數增加為 $49$ 時的檢定

檢定統計量

此時

$$n=49,\qquad \bar X=490$$

檢定統計量為

核心觀念

本題考查多元線性迴歸分析中的：

1. 迴歸係數之解釋。
2. 整體迴歸模式的 $F$ 檢定。
3. 個別迴歸係數的 $t$ 檢定。
4. 判定係數 $R^2$，即模式對應變數變異的解釋程度。

迴歸模式為

$$\hat Z=3.0-1.8X+0.25Y$$

樣本數為 $n=19$，自變數個數為 $k=2$，因此自由度為：

$$df_R=k=2$$ $$df_E=n-k-1=19-2-1=16$$ $$df_T=n-1=18$$

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(一) $X$ 的參數估計值之意義

$X$ 的迴歸係數估計值為 $-1.8$。其意義為：

在 $Y$ 固定不變的條件下，臨檢次數 $X$ 每增加 $1$ 次，交通事故件數 $Z$ 的預測平均值減少 $1.8$ 件。

其中負號表示 $X$ 與 $Z$ 呈反向關係。此解釋屬於「控制其他自變數後」的邊際影響，不能解釋成交通事故件數必然減少 $1.8$ 件。

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(二) 檢定整體迴歸模式是否顯著

解題方法

整體模式檢定的假設為：

$$H_0:\beta_X=\beta_Y=0$$ $$H_1:\text{至少有一個迴歸係數不等於 }0$$

若虛無假設成立，表示 $X$ 與 $Y$ 整體上無法有效解釋 $Z$。

由 ANOVA 表：

$$SS_R=40,\qquad SS_E=32$$

先計算均方：

$$MS_R=\frac{SS_R}{df_R} =\frac{40}{2}=20$$ $$MS_E=\frac{SS_E}{df_E} =\frac{32}{16}=2$$

因此 $F$ 統計量為：

$$F=\frac{MS_R}{MS_E} =\frac{20}{2}=10$$

在 $\alpha=0.05$、自由度 $(2,16)$ 下，

$$F_{0.05;(2,16)}\approx 3.63$$

由於

$$10>3.63$$

故拒絕 $H_0$。

結論

在顯著水準 $0.05$ 下，此多元線性迴歸模式達到統計上的顯著，表示 $X$、$Y$ 至少有一個變數對交通事故件數 $Z$ 具有顯著的線性解釋能力。

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(三) $X$、$Y$ 的 $t$ 值及個別係數檢定

個別迴歸係數的檢定假設為：

$$H_0:\beta_j=0$$ $$H_1:\beta_j\neq 0$$

殘差自由度為 $16$。雙尾檢定在 $\alpha=0.05$ 下，臨界值為：

$$t_{0.025,16}\approx 2.120$$

$X$ 的係數檢定

$X$ 的係數估計值為 $-1.8$，標準誤為 $0.5$，因此