110 地方特考四等 統計 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查集合的容斥原理與事件獨立性的判定。

設：

• $A$：訂閱 A 報
• $B$：訂閱 B 週刊
• 全體人數：$250$ 人

已知：

$$n(A)=100,\qquad n(B)=125$$

兩種都沒訂者有 $75$ 人，因此至少訂閱其中一種者為：

$$n(A\cup B)=250-75=175$$

容斥原理為：

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

事件 $A$ 與 $B$ 獨立的判定公式為：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

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解題方法

（一）求兩者都訂的機率

由容斥原理：

$$175=100+125-n(A\cap B)$$

因此：

$$n(A\cap B)=100+125-175=50$$

兩者都訂的人數為 $50$ 人，所以兩者都訂的機率為：

$$P(A\cap B)=\frac{50}{250}=\frac{1}{5}=0.2$$

因此，兩者都訂的機率為：

$$\boxed{0.2}$$

亦即 $20\%$。

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（二）判定兩事件是否獨立

先分別計算兩事件的機率：

$$P(A)=\frac{100}{250}=0.4$$ $$P(B)=\frac{125}{250}=0.5$$

由第一小題：

$$P(A\cap B)=\frac{50}{250}=0.2$$

再計算兩事件獨立時所需滿足的乘積：

$$P(A)P(B)=0.4\times 0.5=0.2$$

比較可得：

核心觀念

本題主要考查：

1. 期望值與變異數的定義。
2. 機率的非負性，以及如何構造分配證明「最小值」。
3. 標準化與常態分配。
4. 樣本平均數的分配；其中必須注意，求 $\bar X$ 的變異數通常需要獨立性假設。

以下假設 $\sigma>0$。

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（一）求 $P(|X_1-\mu|>1.5\sigma)$ 的最小值

令

$$Y=\frac{X_1-\mu}{\sigma}.$$

則

$$E(Y)=0,\qquad \operatorname{Var}(Y)=1.$$

因為機率必定不小於 $0$，故

$$P(|X_1-\mu|>1.5\sigma)\geq 0.$$

接著構造一個符合條件的例子。令

$$P(X_1=\mu+\sigma)=P(X_1=\mu-\sigma)=\frac12.$$

此時

$$E(X_1)=\mu,$$

且

$$\operatorname{Var}(X_1)=\sigma^2.$$

但是 $X_1$ 只會取 $\mu+\sigma$ 或 $\mu-\sigma$，因此

$$|X_1-\mu|=\sigma<1.5\sigma.$$

所以

$$P(|X_1-\mu|>1.5\sigma)=0.$$

因此最小值為

$$\boxed{0}.$$

解題技巧

切勿將切比雪夫不等式誤用為本題答案。切比雪夫不等式只能得到

$$P(|X_1-\mu|>1.5\sigma) \leq \frac{1}{1.5^2} =\frac49,$$

這是上界，不是最小值。本題因為可以讓所有觀察值都落在 $\mu\pm1.5\sigma$ 之內，所以最小值為 $0$。

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（二）求 $P(|\bar X-\mu|>1.5\sigma)$ 的最小值

同樣地，機率必定滿足

$$P(|\bar X-\mu|>1.5\sigma)\geq 0.$$

可構造以下例子：

$$X_1=X_2=X_3=X_4=X,$$

其中

$$P(X=\mu+\sigma)=P(X=\mu-\sigma)=\frac12.$$

則每一個 $X_i$ 均具有期望值 $\mu$、變異數 $\sigma^2$，而且

$$\bar X=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}=X.$$

因此

$$|\bar X-\mu|=\sigma<1.5\sigma,$$

從而

$$P(|\bar X-\mu|>1.5\sigma)=0.$$

所以在題目所給條件下，最小值為

$$\boxed{0}.$$

即使額外假設 $X_1,\ldots,X_4$ 相互獨立，也可令它們獨立且各自以 $\frac12$ 機率取 $\mu+\sigma$ 或 $\mu-\sigma$。此時

$$|\bar X-\mu|\leq \sigma<1.5\sigma,$$

因此最小值仍為 $0$。

解題技巧

若要使用切比雪夫不等式，必須先知道 $\operatorname{Var}(\bar X)$。一般而言，

$$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac1{16}\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^4X_i\right),$$

其中還包含共變異數項。若假設相互獨立，才有

$$\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{4}.$$

此時切比雪夫不等式只能給出

核心觀念

本題考查「母體比例之信賴區間」與「抽樣誤差、信心水準、樣本數及調查成本」之間的關係。

母體比例 $p$ 的大樣本信賴區間為

$$\hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},$$

其中：

• $\hat p$：樣本支持率
• $p$：母體真正支持率
• $n$：有效樣本數
• $z_{\alpha/2}$：信心水準所對應的標準常態臨界值
• 抽樣誤差，即誤差幅度，為 $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$

題目沒有提供事前支持率估計值，因此採用比例估計中最保守的情況：

$$p(1-p)\leq \frac14,$$

最大值發生於 $p=0.5$。因此樣本數計算採用 $p(1-p)=0.25$。

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（一）信心水準 95%，抽樣誤差正負 2 個百分點

解題方法

「正負 2 個百分點」表示誤差幅度為

$$E=0.02.$$

95% 信心水準的標準常態臨界值為

$$z_{\alpha/2}=1.96.$$

由

$$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

解出樣本數：

$$n=\frac{z_{\alpha/2}^2p(1-p)}{E^2}.$$

代入 $p(1-p)=0.25$、$z_{\alpha/2}=1.96$、$E=0.02$：

$$n =\frac{(1.96)^2(0.25)}{(0.02)^2} =\frac{3.8416\times 0.25}{0.0004} =\frac{0.9604}{0.0004} =2401.$$

因此至少需要 $2,401$ 份有效樣本。

每份有效樣本成本為 100 元，所以調查成本為

$$2401\times 100=240,100\text{ 元}.$$

解題技巧

比例估計在未知 $p$ 時，直接使用 $p=0.5$，因為此時變異數 $p(1-p)$ 最大，所需樣本數最保守。

本題亦可快速記憶：

$$n=\frac{1.96^2}{4(0.02)^2}=2401.$$

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核心觀念

本題考查：

1. 實驗設計的辨認。
2. 含重複觀測之二因子變異數分析。
3. 以 $F$ 檢定判斷三種牆壁材質的平均靜音效果是否相同。

設：

• 因子 A：牆壁材質，共 $a=3$ 種。
• 因子 B：樓層，共 $b=3$ 層。
• 每一個「樓層 × 材質」組合有 $r=4$ 間房，因此總樣本數為 $3\times3\times4=36$。

由於每層房間先隨機分配至三種材質，且每種材質皆有重複觀測，此設計可稱為「具有重複觀測的隨機區集設計」，亦可視為 $3\times3$ 二因子完全交叉實驗設計。

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（一）實驗名稱

解題方法

三個樓層可視為區集（block），牆壁材質為主要處理因子（treatment）。在每個樓層內，房間隨機且均等分配至三種材質，因此屬於：

隨機區集設計（randomized complete block design, RCBD）且每一處理組合具有重複觀測。

由於每一個「樓層 × 材質」組合有 $4$ 間房，因此可進一步以含交互作用的二因子變異數分析處理。

【答案】

本實驗為具有重複觀測的隨機區集設計，也可稱為含重複之二因子完全交叉實驗設計。

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（二）檢定三種材質效果是否有差異

核心觀念

牆壁材質的自由度為：

$$a-1=3-1=2$$

要檢定材質效果，建立假設：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$ $$H_1:\text{至少有兩種材質的平均靜音效果不同}$$

題目已給出變異數分析表，因此先利用均方計算材質效果的 $F$ 統計量。

在一般含重複觀測的二因子變異數分析中，各主要效果與交互作用通常均以誤差均方 $MS_E$ 作為分母。因此：

$$F = \frac{MS_{\text{材質}}}{MS_E}$$

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計算 $F$ 統計量

由表中資料：

$$MS_{\text{材質}}=125.24$$ $$MS_E=12.578$$

因此：

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 自變數單位改變時，迴歸斜率如何隨比例變動。
2. 迴歸斜率與其標準誤會以相同比例變動，因此 $t$ 檢定統計量是否改變。
3. 兩條迴歸線的斜率與相關係數之關係：

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =r\frac{s_y}{s_x}, \qquad \hat{\gamma}_1=\frac{S_{xy}}{S_{yy}} =r\frac{s_x}{s_y}.$$

因此：

$$\hat{\beta}_1\hat{\gamma}_1=r^2.$$

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（一）身高單位由公分改為公尺

令原本的身高為 $x$，改用公尺後為

$$x^*=\frac{x}{100}.$$

甲的迴歸：以 $y$ 對 $x^*$

原迴歸式為

$$y=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x.$$

因為 $x=100x^*$，代入得

$$y=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1(100x^*) =\hat{\beta}_0+(100\hat{\beta}_1)x^*.$$

所以新迴歸式為

$$y=\hat{\beta}_0^*+\hat{\beta}_1^*x^*,$$

其中

$$\boxed{\hat{\beta}_0^*=\hat{\beta}_0}, \qquad \boxed{\hat{\beta}_1^*=100\hat{\beta}_1}.$$

也就是說，身高由公分改為公尺後，甲的斜率變為原來的 $100$ 倍。

乙的迴歸：以 $x^*$ 對 $y$

原迴歸式為

$$x=\hat{\gamma}_0+\hat{\gamma}_1y.$$

兩邊同除以 $100$：

$$x^*=\frac{x}{100} =\frac{\hat{\gamma}_0}{100} +\frac{\hat{\gamma}_1}{100}y.$$

因此新迴歸式為

$$x^*=\hat{\gamma}_0^*+\hat{\gamma}_1^*y,$$

其中

$$\boxed{\hat{\gamma}_0^*=\frac{\hat{\gamma}_0}{100}}, \qquad \boxed{\hat{\gamma}_1^*=\frac{\hat{\gamma}_1}{100}}.$$

所以乙的斜率變為原來的 $\dfrac{1}{100}$。

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（二）檢定 $H_0:\beta_1=0$ 的 $t$ 統計量

甲的新斜率為

$$\hat{\beta}_1^*=100\hat{\beta}_1.$$

接著考慮標準誤。斜率估計量的標準誤為

$$\operatorname{se}(\hat{\beta}_1) =\frac{s_e}{\sqrt{S_{xx}}},$$

其中 $s_e$ 為迴歸標準誤。

由於

$$x^*=\frac{x}{100},$$

所以

$$S_{x^*x^*} =\sum (x_i^*-\bar{x}^*)^2 =\frac{1}{10000}S_{xx}.$$

因此

$$\operatorname{se}(\hat{\beta}_1^*) =\frac{s_e}{\sqrt{S_{x^*x^*}}} =\frac{s_e}{\sqrt{S_{xx}/10000}} =100\operatorname{se}(\hat{\beta}_1).$$

故新的 $t$ 統計量為