109 地方特考四等 統計 統計學概要 考古題詳解

109 年・地方特考・四等・統計
試題代碼 統計學概要

第 一 題20 分

已知 1212 個燈泡中有 55 個瑕疵，任取 44 個來檢驗。

(一) 若取後不放回，請計算至少一個有瑕疵之機率。（5 分）

(二) 若取後放回，請計算沒有瑕疵之機率。（5 分）

(三) 請計算並比較取後放回及不放回時，瑕疵個數的變異數有何不同。（10 分）

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核心觀念

本題考查有限母體中抽樣方式不同時，瑕疵品數量的機率分配與變異數。

  • 不放回抽樣：每次抽取後不放回，抽取結果彼此相依；瑕疵品個數服從超幾何分配。
  • 放回抽樣：每次抽取後放回，各次抽取相互獨立；瑕疵品個數服從二項分配。
  • 「至少一個瑕疵」適合用補事件計算： P(至少一個瑕疵)=1−P(沒有瑕疵)P(\text{至少一個瑕疵})=1-P(\text{沒有瑕疵})

解題方法

（一）不放回抽樣，至少一個瑕疵的機率

12 個燈泡中有 5 個瑕疵、7 個良品。不放回取 4 個，使用組合數計算。

所有取法共有 (124)\binom{12}{4} 種；完全沒有瑕疵，表示 4 個全由 7 個良品中取出，共有 (74)\binom{7}{4} 種。因此：

P(至少一個瑕疵)=1−(74)(124)=1−35495=9299≈0.9293P(\text{至少一個瑕疵}) =1-\frac{\binom{7}{4}}{\binom{12}{4}} =1-\frac{35}{495} =\frac{92}{99} \approx 0.9293

（二）放回抽樣，沒有瑕疵的機率

每次取後放回，單次取到良品的機率為 712\frac{7}{12}，且 4 次抽取相互獨立。因此：

P(4 次都沒有瑕疵)=(712)4=240120736≈0.1158P(\text{4 次都沒有瑕疵}) =\left(\frac{7}{12}\right)^4 =\frac{2401}{20736} \approx 0.1158

（三）比較瑕疵個數的變異數

令 XX 為 4 次抽取中的瑕疵品個數。

取後放回：二項分配

每次抽到瑕疵品的機率為 p=512p=\frac{5}{12}，所以 X∼Bin⁡(4,512)X\sim\operatorname{Bin}(4,\frac{5}{12})。二項分配的變異數為 np(1−p)np(1-p)：

Var⁡(X)=4⋅512⋅712=3536≈0.9722\operatorname{Var}(X) =4\cdot\frac{5}{12}\cdot\frac{7}{12} =\frac{35}{36} \approx 0.9722
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第 二 題20 分

快速檢驗（Rapid Test）經常被用來判斷某人是否有 HIV（造成 AIDS 的病毒）。偽陽性與偽陰性發生的機率分別是 0.030.03 和 0.080.08。

一位醫師剛收到一份快速檢驗報告，病患檢測的結果呈現陽性。在收到此報告之前，這位醫師將這位病患歸類在低危險群，其為 HIV 帶原的機率只有 0.6%0.6\%。

(一) 這位病患實際有 HIV 的機率為何？（10 分）

(二) 假設病患檢查結果是陰性，實際上是陽性的機率為何？（5 分）

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核心觀念

本題考驗貝氏定理。檢驗結果為陽性或陰性，不等於病患一定有或沒有 HIV；要結合檢驗的偽陽性率、偽陰性率，以及檢驗前的帶原機率，計算檢驗後的條件機率。

令 HH 表示病患有 HIV，Hˉ\bar H 表示沒有 HIV；++ 表示檢驗陽性，−- 表示檢驗陰性。題目給定：

P(H)=0.006,P(Hˉ)=0.994P(H)=0.006,\qquad P(\bar H)=0.994

偽陽性率為 P(+∣Hˉ)=0.03P(+\mid\bar H)=0.03，偽陰性率為 P(−∣H)=0.08P(-\mid H)=0.08。因此：

P(+∣H)=1−0.08=0.92,P(−∣Hˉ)=1−0.03=0.97P(+\mid H)=1-0.08=0.92,\qquad P(-\mid\bar H)=1-0.03=0.97

貝氏定理為：

P(H∣+)=P(+∣H)P(H)P(+)P(H\mid +)=\frac{P(+\mid H)P(H)}{P(+)}

其中陽性結果的總機率須依全機率公式計算：

P(+)=P(+∣H)P(H)+P(+∣Hˉ)P(Hˉ)P(+)=P(+\mid H)P(H)+P(+\mid\bar H)P(\bar H)

解題方法

（一）已知檢驗陽性，求實際有 HIV 的機率

代入陽性檢驗的兩種來源：病患確實有 HIV 而驗出陽性，或病患沒有 HIV 但出現偽陽性。

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第 三 題20 分

某保險理賠公司接獲申請理賠電話的間隔時間（單位：分鐘）為指數分配：

f(x)=13e−x/3,x≥0f(x)=\frac{1}{3}e^{-x/3},\quad x\geq 0

(一) 請問接獲申請理賠電話的平均間隔時間是多少？（5 分）

(二) 等待下一通申請理賠電話的時間大於 3030 秒的機率為何？（5 分）

(三) 請用卜瓦松分配計算 55 分鐘內都沒有來電申請理賠的機率為何？（10 分）

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核心觀念

本題考查指數分配與卜瓦松分配的關係。若電話的間隔時間 XX 服從參數為 λ\lambda 的指數分配，則其機率密度函數為

f(x)=λe−λx,x≥0.f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\geq 0.

題目給定 λ=13\lambda=\frac{1}{3}（每分鐘），因此平均間隔時間為 1λ=3\frac{1}{\lambda}=3 分鐘。相對應的電話來電過程可視為率為 λ=13\lambda=\frac{1}{3} 次／分鐘的卜瓦松過程；長度 tt 分鐘內的來電數 N(t)N(t) 服從

N(t)∼Poisson⁡(λt).N(t)\sim \operatorname{Poisson}(\lambda t).

解題方法

（一）平均間隔時間

指數分配的期望值為

E(X)=1λ.E(X)=\frac{1}{\lambda}.

由題目密度函數可知 λ=13\lambda=\frac{1}{3}，故

E(X)=11/3=3 分鐘.E(X)=\frac{1}{1/3}=3\text{ 分鐘}.

（二）等待時間大於 30 秒的機率

先統一時間單位：3030 秒為 0.50.5 分鐘。指數分配的存活機率為

P(X>t)=e−λt.P(X>t)=e^{-\lambda t}.

因此

P(X>0.5)=e−(1/3)(0.5)=e−1/6≈0.8465.P(X>0.5)=e^{-(1/3)(0.5)} =e^{-1/6} \approx 0.8465.

等待時間超過 30 秒的機率約為 0.84650.8465，即 84.65%84.65\%。

（三）5 分鐘內沒有來電的機率

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第 四 題20 分

治療師想了解，聽音樂是否能讓患有憂鬱症的病患降低其憂鬱指數，於是抽選了 77 位病患，分別測量他們聽音樂前及聽音樂後的憂鬱指數，資料如下：

病患1234567
聽音樂前52565241455049
聽音樂後47514538434642

(一) 請問病患聽音樂前後的平均憂鬱指數差異（後 − 前）約為何？（5 分）

(二) 在 0.050.05 的顯著水準，利用臨界值法檢定是否聽音樂後會降低憂鬱指數？（15 分）

可用之 tt 分配臨界值：

t0.025(6)=2.447,t0.05(6)=1.943t_{0.025}(6)=2.447,\quad t_{0.05}(6)=1.943

所有假設檢定問題，皆需正確寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量、拒絕域、檢定結果與結論。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

這是同一批 77 位病患在聽音樂前、後各測量一次，屬於成對樣本資料。先計算每位病患的差值，再對差值進行單一樣本 tt 檢定。

令 di=聽音樂後−聽音樂前d_i=\text{聽音樂後}-\text{聽音樂前}。憂鬱指數降低代表 di<0d_i<0，因此採用左尾檢定。

解題方法與計算

各病患的差值為

病患1234567
did_i−5-5−5-5−7-7−3-3−2-2−4-4−7-7

差值總和為 −33-33，平方和為 177177，因此平均差為

dˉ=∑din=−337≈−4.714\bar d=\frac{\sum d_i}{n}=\frac{-33}{7}\approx -4.714

所以聽音樂後的平均憂鬱指數比聽音樂前低約 4.714.71 分。

差值的樣本變異數與樣本標準差為

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第 五 題25 分

20172017 年某款 750 ml750\ \mathrm{ml} 紅酒的拍賣價格及酒齡資料如下表：

酒齡（年）3620293034
價格（$）245142212209237

(一) 試用最小平方估計法（least squares estimation）建立一估計迴歸方程式，來描述酒齡對拍賣價格的影響。（10 分）

(二) 在 0.050.05 的顯著水準下檢定此迴歸線是否顯著。（10 分）

(三) 使用此估計迴歸方程式預測 2525 年酒齡的紅酒其拍賣價格。（5 分）

可用之 tt 分配臨界值：

t0.025(3)=3.182,t0.05(3)=2.353t_{0.025}(3)=3.182,\quad t_{0.05}(3)=2.353

所有假設檢定問題，皆需正確寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量、拒絕域、檢定結果與結論。

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核心觀念

本題考簡單線性迴歸：以酒齡 xx 預測拍賣價格 yy。估計迴歸式為

y^=b0+b1x,b1=SxySxx,b0=yˉ−b1xˉ\hat y=b_0+b_1x,\qquad b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_0=\bar y-b_1\bar x

檢定迴歸線是否顯著，等同檢定母體斜率 β1\beta_1 是否不為 00。若斜率顯著，表示酒齡與價格之間有線性關係。

解題方法與計算

由資料得 n=5n=5，且

xˉ=1495=29.8,yˉ=10455=209\bar x=\frac{149}{5}=29.8,\qquad \bar y=\frac{1045}{5}=209

計算離均差平方和與乘積和：

Sxx=∑(xi−xˉ)2=152.8S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2=152.8 Sxy=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)=995S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=995

（一）建立最小平方估計迴歸方程式

斜率估計值為

b1=995152.8=6.5118b_1=\frac{995}{152.8}=6.5118

截距估計值為

b0=209−(6.5118)(29.8)=14.9490b_0=209-(6.5118)(29.8)=14.9490

因此估計迴歸方程式為

y^=14.9490+6.5118x\boxed{\hat y=14.9490+6.5118x}

斜率為正，表示在此線性模型中，酒齡每增加 1 年，預測拍賣價格平均增加約 6.516.51 元。

（二）以 0.050.05 顯著水準檢定迴歸線

採雙尾檢定：

H0:β1=0,H1:β1≠0H_0:\beta_1=0,\qquad H_1:\beta_1\ne 0

先計算誤差平方和：

Syy=∑(yi−yˉ)2=6578S_{yy}=\sum (y_i-\bar y)^2=6578 SSR=Sxy2Sxx=9952152.8=6479.2212SSR=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} =\frac{995^2}{152.8}=6479.2212 SSE=Syy−SSR=6578−6479.2212=98.7788SSE=S_{yy}-SSR=6578-6479.2212=98.7788
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