113 地方特考四等 統計 統計學概要 考古題詳解

113 年・地方特考・四等・統計
試題代碼 統計學概要

第 一 題10 分

隨機樣本 X1,…,X25X_1,\ldots,X_{25} 來自平均數為 μ\mu、變異數為 σ2\sigma^2 之母體。令 Xˉ\bar{X} 為樣本平均，試求 P(∣Xˉ−μ∣<2σ)P(|\bar{X}-\mu|<2\sigma) 之下界。

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核心觀念

本題考的是切比雪夫不等式。若隨機變數 YY 的平均數為 μY\mu_Y、變異數為 σY2<∞\sigma_Y^2<\infty，則對任意 k>0k>0，

P(∣Y−μY∣<kσY)≥1−1k2.P\left(|Y-\mu_Y|<k\sigma_Y\right)\ge 1-\frac{1}{k^2}.

此不等式不要求母體服從常態分配，只需變異數有限。

解題方法

由隨機樣本 X1,…,X25X_1,\ldots,X_{25} 來自平均數為 μ\mu、變異數為 σ2\sigma^2 的母體，且樣本彼此獨立同分配，樣本平均為

Xˉ=125∑i=125Xi.\bar X=\frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}X_i.

因此，

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第 二 題10 分

三張卡片，分別為：兩面皆白、兩面皆黑、一面黑一面紅。今隨機取一張放桌上，若朝上一面為黑，則其背面為紅之機率？

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核心觀念

本題考條件機率。已知「朝上一面為黑」後，求同一張卡片背面為紅的機率。關鍵是以朝上的那一面作為觀察結果，並依各種可能結果等可能的原則計數。

解題方法

將三張卡片分別記為：

  • 白白卡：兩面皆白，不可能朝上黑。
  • 黑黑卡：兩面皆黑，可朝上黑的面有兩種。
  • 黑紅卡：一面黑、一面紅，可朝上黑的面有一種。

把每張卡片的兩面都納入可能結果，共有 3×2=63\times 2=6 種等可能的「卡片與朝上面」組合。其中朝上面為黑的組合有三種：

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第 三 題25 分

為調查民眾對某政策的支持比例 pp，隨機抽取有效樣本 1,6001{,}600 人。未回答支持者，視為不支持。

（一）欲檢驗虛無假說：「支持某政策的比例不低於 50%50\%」，則樣本中不支持該政策的人數至少要多少，才能在 α=0.05\alpha=0.05 之顯著水準下拒絕虛無假說？（請先建立假設）

（二）在信心水準 95%95\% 下，對 pp 之估計的誤差為正負多少 %\%？

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核心觀念

本題考驗單一母體比例的假設檢定與母體比例的信賴區間誤差。將 1,600 人中「不支持」的人數記為 XX；未回答者也計為不支持。支持比例為 pp，因此不支持比例為 1−p1-p。

（一）顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 的檢定

建立假設

題目要檢驗支持比例是否低於 50%50\%，因此採左尾檢定：

H0:p≥0.50,H1:p<0.50.H_0:p\geq 0.50,\qquad H_1:p<0.50.

在虛無假說的邊界 p0=0.50p_0=0.50 下，支持人數 Y=1600−XY=1600-X 的期望值與標準差為

E(Y)=np0=1600(0.5)=800,E(Y)=np_0=1600(0.5)=800, σY=np0(1−p0)=1600(0.5)(0.5)=20.\sigma_Y=\sqrt{np_0(1-p_0)} =\sqrt{1600(0.5)(0.5)}=20.

顯著水準為 0.050.05 的左尾標準常態臨界值是 z0.05=−1.645z_{0.05}=-1.645。拒絕域為

Y−80020<−1.645.\frac{Y-800}{20}<-1.645.

換算成支持人數：

Y<800−1.645(20)=767.1.Y<800-1.645(20)=767.1.

由於人數必須是整數，支持人數至多為 767767 人時拒絕 H0H_0。等價地，不支持人數至少為

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第 四 題25 分

某洗髮精工廠製造三種洗髮精，分別適用乾性、中性、油性髮質。假設過去五個月的銷售業績如下：

月份＼髮質乾性中性油性
六月6912
七月111411
八月14118
九月897
十月71013

（一）建立如下之變異數分析表：

SourceDFSSMSF
月份________________
髮質________________
Error____________
Total________

（二）給定 α=0.05\alpha=0.05，試檢定三種洗髮精的平均銷售業績是否相等？

（三）給定 α=0.05\alpha=0.05，試檢定過去五個月的平均銷售業績是否相等？

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核心觀念

本題為「二因子變異數分析」，但每個「月份 × 髮質」組合只有一筆觀察值，因此採用無重複觀測的二因子 ANOVA，也可視為「隨機集區設計」：

  • 髮質：主要研究因子，檢定三種洗髮精平均銷售業績是否相同。
  • 月份：集區因子，檢定五個月平均銷售業績是否相同。
  • 誤差項：由總變異扣除月份與髮質所解釋的變異。

模型為

Yij=μ+αi+βj+εijY_{ij}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}

其中不估計交互作用，因為每個組合只有一筆資料。

（一）建立變異數分析表

1. 基本合計

各月份合計為

27, 36, 33, 24, 3027,\ 36,\ 33,\ 24,\ 30

各髮質合計為

46, 53, 5146,\ 53,\ 51

總和為

G=150,N=15G=150,\qquad N=15

校正項為

CF=G2N=150215=1500CF=\frac{G^2}{N} =\frac{150^2}{15}=1500

2. 總平方和

資料平方和為

∑yij2=1592\sum y_{ij}^2=1592

因此

SST=∑yij2−CF=1592−1500=92SS_T=\sum y_{ij}^2-CF =1592-1500=92

3. 月份平方和

每個月份有三種髮質資料，因此

SS月份=272+362+332+242+3023−1500SS_{\text{月份}} =\frac{27^2+36^2+33^2+24^2+30^2}{3}-1500 =45903−1500=30=\frac{4590}{3}-1500=30

4. 髮質平方和

每種髮質有五個月份資料，因此

SS髮質=462+532+5125−1500SS_{\text{髮質}} =\frac{46^2+53^2+51^2}{5}-1500 =75265−1500=5.2=\frac{7526}{5}-1500=5.2

5. 誤差平方和

SSE=SST−SS月份−SS髮質SS_E=SS_T-SS_{\text{月份}}-SS_{\text{髮質}} =92−30−5.2=56.8=92-30-5.2=56.8

6. 自由度與均方

自由度為

df月份=5−1=4df_{\text{月份}}=5-1=4

df髮質=3−1=2df_{\text{髮質}}=3-1=2

dfE=(5−1)(3−1)=8df_E=(5-1)(3-1)=8

dfT=15−1=14df_T=15-1=14

均方為

MS月份=304=7.5MS_{\text{月份}}=\frac{30}{4}=7.5 MS髮質=5.22=2.6MS_{\text{髮質}}=\frac{5.2}{2}=2.6 MSE=56.88=7.1MS_E=\frac{56.8}{8}=7.1

F 統計量為

F月份=7.57.1=1.056F_{\text{月份}}=\frac{7.5}{7.1}=1.056 F髮質=2.67.1=0.366F_{\text{髮質}}=\frac{2.6}{7.1}=0.366

變異數分析表

SourceDFSSMSF
月份430.07.51.056
髮質25.22.60.366
Error856.87.1
Total1492.0
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第 五 題10 分

隨機變數 XX、YY 之相關係數為 ρ\rho，期望值分別為 μX\mu_X 及 μY\mu_Y，變異數分別為 σX2\sigma_X^2 及 σY2\sigma_Y^2。試問使 X+YX+Y 與 X−YX-Y 不相關（uncorrelated）的必要條件為何？

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核心觀念

不相關的定義是共變數為 00。本題要計算 X+YX+Y 與 X−YX-Y 的共變數，並令其等於 00。

已知

Cov⁡(X,Y)=ρσXσY.\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_X\sigma_Y.

解題方法

利用共變數的線性性：

Cov⁡(X+Y,X−Y)=Cov⁡(X,X)−Cov⁡(X,Y)+Cov⁡(Y,X)−Cov⁡(Y,Y)=σX2−Cov⁡(X,Y)+Cov⁡(X,Y)−σY2=σX2−σY2.\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X+Y,X-Y) &=\operatorname{Cov}(X,X)-\operatorname{Cov}(X,Y)\\ &\quad+\operatorname{Cov}(Y,X)-\operatorname{Cov}(Y,Y)\\ &=\sigma_X^2-\operatorname{Cov}(X,Y) +\operatorname{Cov}(X,Y)-\sigma_Y^2\\ &=\sigma_X^2-\sigma_Y^2. \end{aligned}
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第 六 題20 分

某煞車片製造商為了解其產品性能，選了 10 部車作實驗。XX 為車速（公里／小時），YY 為緊急煞車後的滑行距離（公尺），資料及迴歸 ANOVA 結果如下：

car12345678910
YY1.62.12.63.64.24.34.95.55.06.2
XX30404050506070808090
PredictorCoefStDevTP
Constant-0.23710.4407-0.540.605
XX0.071810.00710(a)(b)
SourceDFSSMSFP
Regression119.03119.031102.30.000
Error(c)(d)0.186
Total(e)(f)

（一）填滿以上表中空白 (a)～(f)。

（二）求該迴歸模式之判定係數 R2R^2（RR square）。

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核心觀念

本題考查一元線性迴歸分析中的：

  • 迴歸係數之 tt 檢定
  • ANOVA 表中自由度、平方和與均方的關係
  • 判定係數 R2R^2

迴歸模式為：

Y=β0+β1X+εY=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon

其中樣本數 n=10n=10，自變數個數為 11。

解題方法

（一）填補空白

1. 求（a）：斜率之 tt 值

斜率估計值為 0.071810.07181，其標準誤為 0.007100.00710，因此：

t=估計係數標準誤=0.071810.00710≈10.114t=\frac{\text{估計係數}}{\text{標準誤}} =\frac{0.07181}{0.00710} \approx 10.114

故：

(a)=10.11\boxed{(a)=10.11}

2. 求（b）：斜率之 PP 值

斜率檢定為：

H0:β1=0對H1:β1≠0H_0:\beta_1=0 \qquad\text{對}\qquad H_1:\beta_1\ne 0

誤差自由度為 88，檢定統計量為 t=10.11t=10.11。其雙尾 PP 值非常小，統計軟體以三位小數呈現為：

(b)=0.000\boxed{(b)=0.000}

表示斜率具有高度顯著性，車速與滑行距離之間存在顯著線性關係。

3. 求（c）：誤差自由度

一元線性迴歸的誤差自由度為：

dfE=n−2df_E=n-2

因此：

dfE=10−2=8df_E=10-2=8

故：

(c)=8\boxed{(c)=8}

4. 求（d）：誤差平方和

由均方定義：

MSE=SSEdfEMS_E=\frac{SS_E}{df_E}

已知 MSE=0.186MS_E=0.186、dfE=8df_E=8，所以：

SSE=MSE×dfE=0.186×8=1.488SS_E=MS_E\times df_E =0.186\times 8 =1.488

故：

(d)=1.488\boxed{(d)=1.488}

5. 求（e）：總自由度

總自由度為：

dfT=n−1=10−1=9df_T=n-1=10-1=9

故：

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