111 地方特考四等 統計 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量機率論之基本概念與運算，主要涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 事件符號化與機率定義：

• 令 $A$ 為「訂到長照交通接送服務」之事件，$P(A) = 0.6$。
• 令 $B$ 為「訂到復康巴士接送服務」之事件，$P(B) = 0.4$。

2. 事件的獨立性（Independence）：

• 題目明示「二個交通接送服務是個別獨立作業」，即事件 $A$ 與 $B$ 相互獨立。
• 乘法定則：若事件 $A$ 與 $B$ 獨立，則其交集機率為： $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
• 性質推廣：若 $A$ 與 $B$ 獨立，則其餘事件亦相互獨立，即 $A^c$ 與 $B^c$ 互相獨立、$A$ 與 $B^c$ 互相獨立、$A^c$ 與 $B$ 互相獨立。

3. 加法定則（Addition Rule）：

• 任二事件 $A$ 與 $B$ 之聯集機率公式： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

4. 狄摩根定律（De Morgan's Laws）與餘事件：

• 兩者皆未發生之機率即為聯集之餘事件： $P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$

5. 獨立重複試驗（Independent Trials）：

• 同一獨立服務在相同條件下重複進行兩次，其兩次皆成功之機率為各次機率之乘積。

解題方法

（1）求可訂到長照交通接送服務或復康巴士接送服務的機率

• 切入點：「或（or）」代表集合運算中的「聯集（Union）」，即求 $P(A \cup B)$。
• 計算步驟：

1. 因為服務個別獨立作業，事件 $A$ 與 $B$ 相互獨立，兩者皆訂到之交集機率為： $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$
2. 依機率加法定則展開： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
3. 代入數值： $P(A \cup B) = 0.6 + 0.4 - 0.24 = 0.76$

（2）求連續二次都可訂到長照交通接送服務的機率

• 切入點：連續兩次訂車屬於獨立試驗。令 $A_1$ 為第 1 次訂到長照服務，$A_2$ 為第 2 次訂到長照服務。
• 計算步驟：

1. 每次訂到長照服務之機率均為 $P(A_1) = P(A_2) = 0.6$。
2. 兩次申請互為獨立事件，聯合機率（連續二次皆訂到）為各次機率直接相乘： $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2)$
3. 代入數值： $P(A_1 \cap A_2) = 0.6 \times 0.6 = 0.36$

核心觀念

本題旨在評量考生對「雙變數關聯性分析」之基礎概念、統計詮釋能力以及後續實證分析程序的掌握度，涉及以下核心定義與公式：

1. 皮爾森積差相關係數（Pearson’s Product-Moment Correlation Coefficient, $r$）：

• 定義：衡量兩「數值型變數」（$X$ 與 $Y$）之間線性關係（Linear Relationship）之方向與強弱程度的標準化指標。
• 取值範圍：$-1 \le r \le 1$。
• $r > 0$：正線性相關；$r < 0$：負線性相關；$r = 0$：無線性相關。
• $|r|$ 越接近 $1$，線性關聯越強；越接近 $0$，線性關聯越弱。一般實務上，$|r| = 0.1$ 屬於「極微弱相關（Very Weak Correlation）」或「低度相關」。
• 適用前提：
• 兩變數均為連續/數值型變數（Interval or Ratio scale）。
• 變數大致服從雙變量常態分配（Bivariate Normal Distribution）。
• 兩變數關係為線性（無法偵測非線性關係）。
• 資料無嚴重離群值（Outliers）。

2. 母體相關係數顯著性檢定公式： 欲檢定母體相關係數 $\rho$ 是否顯著不為 0（$H_0: \rho = 0$ vs. $H_1: \rho \ne 0$），在常態假設下採單一樣本 $t$ 檢定： $t = \frac{r\sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^2}} \sim t(n - 2)$ 其中 $n$ 為樣本數，$df = n - 2$ 為自由度。

解題方法

本題為申論問答題，解答結構應依題意清楚分為兩大部分：第一部分闡明「$r = 0.1$ 之統計與實務意義」，第二部分具體列舉「後續應進行之統計分析步驟與方法」。

一、分析結果（$r = 0.1$）之意義

1. 關聯方向： $r = 0.1 > 0$，表示兩變數間呈現正向關係（當一變數數值增加時，另一變數傾向增加）。
2. 關聯強度： $|r| = 0.1$ 數值極小，顯示兩變數間的線性關係極為微弱（低度正相關）。
3. 判定係數（$R^2$ 或 $r^2$）解讀： 決定係數 $r^2 = (0.1)^2 = 0.01$（即 $1\%$），表示其中一變數的變異量僅有 $1\%$ 可由另一變數的線性關係所解釋，其餘 $99\%$ 均屬無法解釋的殘差或受其他因素影響，實質解釋力極低。
4. 詮釋限制與重要提醒：

• 不代表沒有任何關聯：皮爾森相關係數僅能捕捉「線性關係」。若兩變數存在強烈的非線性關係（如 U 型、倒 U 型等曲線關係），$r$ 亦可能接近 0。
• 不代表因果關係：相關不等於因果，可能存在混淆變數（Confounding Variable）或共變因素。
• 統計顯著性未定：$r = 0.1$ 是否具有統計學上的顯著性取決於樣本數 $n$。若樣本數極大（如 $n > 1000$），微弱的 $r = 0.1$ 仍可能達統計顯著；若樣本數較小，則純屬抽樣隨機誤差之可能性極高。
• 極端值干擾：少數離群值可能大幅拉低或扭曲原本真實的關聯性。

二、為深入了解其關係，後續應進行之統計分析

為避免武斷判定兩變數「不相關」，研究者應循序執行以下五項統計分析：

1. 繪製散佈圖（Scatter Plot，視覺化探索）：

• 目的：檢視資料的真實分佈型態。
• 檢驗重點：
• 確認是否存在非線性關聯（如二次拋物線、對數曲線或週期性分佈）。
• 檢視是否存在離群值（Outliers）或槓桿點（Leverage Points）扭曲了相關係數。
• 檢查是否存在次群體（Subgroups）或異質分群現象（可能引發辛普森悖論 Simpson's Paradox）。

2. 母體相關係數顯著性檢定（Hypothesis Testing for $\rho$）：

• 目的：檢定樣本相關係數 $r = 0.1$ 是否足以代表母體確實存在相關性。
• 檢定設定：
• $H_0: \rho = 0$
• $H_1: \rho \ne 0$
• 檢定統計量：$t = \frac{r\sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^2}}$，於給定顯著水準 $\alpha$（如 $0.05$）下比對臨界值或計算 $p$ 值，以判定該相關是否具統計顯著性。

核心觀念

本題比較甲、乙兩縣市的平均每月道路交通事故死亡率，考查「兩獨立樣本、母體變異數相等」時的合併變異數 $t$ 檢定。題目問兩縣市是否有差異，因此採雙尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$。

設甲、乙兩縣市的母體平均死亡率分別為 $\mu_甲$、$\mu_乙$，假設為：

解題方法

兩組各有 $n_甲=n_乙=6$ 筆資料。樣本平均數為：

兩組離均差平方和分別為：

依母體變異數相等的假設，合併變異數為：

核心觀念

本題檢定兩種車輛的闖紅燈比例是否相同，屬於「兩母體比例相等檢定」，也可用 $2\times2$ 列聯表的 Pearson 卡方獨立性檢定。設 $p_M$ 為機車闖紅燈率，$p_C$ 為汽車闖紅燈率：

採雙尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$。卡方檢定的自由度為 $(2-1)(2-1)=1$。

解題方法

先計算各車種的闖紅燈率：

在虛無假設成立時，兩組共用合併比例：

以兩比例檢定計算標準誤與檢定統計量：

等價地，Pearson 卡方統計量為：