108 地方特考四等 電子工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考查串並聯等效電阻、歐姆定律、網目電流方向，以及電阻的焦耳熱功率。穩態直流下，可先將並聯支路化簡，再求總電流，接著計算各支路電流與電阻耗散功率。

解題方法

$10\Omega$ 與 $15\Omega$ 電阻並聯，其等效電阻為

此並聯等效電阻與 $5\Omega$、$4\Omega$ 串聯，因此總電阻為

電源提供的總電流為

(一) 電壓 $V_a$

$V_a$ 是並聯支路兩端電壓，因此

(二) 支路電流 $I_b$

$15\Omega$ 電阻兩端電壓為 $V_a=6\text{ V}$，依圖示向下為正方向：

(三) 網目電流 $I_c$

核心觀念

本題考查電容與電感在切換瞬間的連續性，以及切換瞬間的節點電流定律：

• 電容電壓不能瞬間改變：$v_C(0^+)=v_C(0^-)$。
• 電感電流不能瞬間改變：$i_L(0^+)=i_L(0^-)$。
• 電阻電流依歐姆定律計算，並依圖示方向套用節點電流定律。

解題方法

先分析 $t<0$ 的切換前狀態。因為 $u(t)=0$，電流源為 $0$ A；題目給定切換前電容電壓維持 $-10$ V，視為切換前穩態。在穩態下，電容電流為零，電感支路為直流穩態。

圖中 10 V 電壓源上端為正，因此電容下端電位相對下方節點為 $10$ V。由電容電壓的標示極性，

所以

切換前電流源為零，且 40 $\Omega$ 電阻兩端電壓為零，因此其電流為零。依節點電流定律，流經右側 $10\,\Omega$ 與電感支路的電流也為零。

（一）計算 $i_L(-0.05\text{ s})$

$-0.05\text{ s}<0$，仍在切換前；切換前穩態的電感電流為零，因此

（二）計算 $v_C(0\text{ s})$

電容電壓在切換瞬間連續：

因此

核心觀念

並聯負載兩端電壓相同，因此各負載的實功率與虛功率可分別相加。圖三中，方框負載標示為 $100\ \mathrm{W}$、$100\ \mathrm{Var}$；另有 $100\ \Omega$ 電阻及電抗 $j100\ \Omega$ 的電感。

電阻消耗實功率；電感吸收感性虛功率。並聯電容補償時，電容提供與負載感性虛功率大小相等、方向相反的容性虛功率，使電源功率因數提高至 $1$。

解題方法與計算

電源電壓為 $V=100\ \mathrm{V_{rms}}$。

（一）負載總實功率

電阻支路的實功率為

方框負載的實功率為 $100\ \mathrm{W}$，理想電感不消耗實功率，因此

（二）負載電流 $I_{\mathrm{Load}}$ 有效值

方框負載的感性虛功率為 $100\ \mathrm{Var}$。電感支路的虛功率為

負載總虛功率為 $Q_{\mathrm{Load}}=200\ \mathrm{Var}$。因此負載視在功率大小為

由 $|S|=VI$ 得

核心觀念

本題考交流相量電路的串聯阻抗合併、節點電壓與克希荷夫電流定律。電容與電感的阻抗分別為 $-jX_C$、$jX_L$。電壓 $V_{cn}$ 表示 $V_c-V_n$。

解題方法

先以 $d$ 點為參考點，並將各支路串聯阻抗合併。圖中從 $a,b,c,d$ 到 $n$ 的四條支路阻抗皆為 $j0.5\,\Omega$：

• $a$ 到 $n$：$j1-j0.5=j0.5\,\Omega$
• $b$ 到 $n$：$j1-j0.5=j0.5\,\Omega$
• $c$ 到 $n$：$j1-j0.5=j0.5\,\Omega$
• $d$ 到 $n$：$j1-j0.5=j0.5\,\Omega$

依圖示電壓源極性，以 $V_d=0$ 得：

四支路阻抗相同，因此節點 $n$ 電壓為四端電壓的平均值：

(一) 電流 $I_a$

(二) 電流 $I_{ab}$

核心觀念

電路含有直流與不同角頻率的正弦源，可用線性電路的疊加原理分別求各頻率對 $i_{ss}(t)$ 的貢獻，再取題目所列的餘弦係數。

$24\text{ V}$ 理想電壓源固定其上端節點電壓，因此該節點的交流電壓分量為零。令電流源 $2\cos t\text{ A}$ 的箭頭方向為流入該節點，節點電流關係為

其中 $v_C(t)$ 是 $6\Omega$ 電阻右端節點相對下方接地線的電壓。

解題方法

（一）計算 $a_0$

求直流分量時，正弦源的平均值皆為零；$2\text{ H}$ 電感在直流穩態視為短路，所以 $v_C=0$。因此

（二）計算 $a_1$

在角頻率 $\omega=1$ 的分量中，只有電流源 $2\cos t\text{ A}$ 有輸出。右側沒有同頻電壓源，且 $24\text{ V}$ 理想電壓源將該節點的交流電壓固定為零，因此 $6\Omega$ 支路沒有此頻率的電流。故

（三）計算 $a_2$

左側電壓源 $8\cos(2t)\text{ V}$ 位於理想電流源另一側。理想電流源固定其電流為 $2\cos t\text{ A}$，左側電壓源不會改變該電流，也不會改變 $24\text{ V}$ 節點的電壓。因此 $i_{ss}(t)$ 沒有 $\omega=2$ 的分量：

（四）計算 $a_3$