111 地方特考四等 電子工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量靜電場基本特性、高斯定律（Gauss's Law）及球對稱電荷分佈之場強與電通密度計算。解題所需的核心定義與公式如下：

1. 球對稱性與等效點電荷： 依據高斯定律，均勻帶電球體在球體外部（距球心距離 $r$）所產生的電場與電通量，等效於所有電荷 $Q$ 集中於球心之點電荷。
2. 電通量密度（Electric Flux Density, $D$）： 在以球心為中心、半徑為 $r$ 的封閉高斯球面（面積 $A = 4\pi r^2$）上，總電通量等於包圍的總電荷量 $\Psi = Q$。因具備球對稱性，曲面上各處之電通量密度大小均勻，其純量值為： $D = \frac{Q}{4\pi r^2}$ 單位為庫侖/平方公尺（$\text{C/m}^2$）。
3. 電場強度（Electric Field Intensity, $E$）： 在自由空間（空氣或真空）中，介電常數為 $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\text{ F/m}$。電場強度與電通量密度滿足本構方程式 $D = \varepsilon_0 E$，即庫侖定律形式： $E = \frac{D}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{k Q}{r^2}$ 其中靜電力常數（庫侖常數）$k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$，單位為伏特/公尺（$\text{V/m}$）或牛頓/庫侖（$\text{N/C}$）。

解題方法

題目給定條件：

• 電荷量 $Q = +10 \times 10^{-9}\text{ C}$
• 觀測點距球心距離 $r = 2\text{ m}$

步驟一：計算距球心 2 公尺處之電通量密度 $D$

選取半徑 $r = 2\text{ m}$ 之同心高斯球面，該球表面積為： $A = 4\pi r^2 = 4\pi \times (2)^2 = 16\pi\text{ m}^2$

由高斯定律可得電通量密度： $D = \frac{Q}{4\pi r^2} = \frac{10 \times 10^{-9}}{16\pi} = \frac{5}{8\pi} \times 10^{-9}\text{ C/m}^2$

化為小數數值：

核心觀念

以線性電阻網路求出負載電流與輸入電壓的比例，再將輸入三角波依比例縮放。電流方向向下，與輸入電壓為正時的負載電流方向一致。

解題方法

從節點 $C$ 看向下方，$R_2$ 與 $R_3、R_L$ 串聯支路並聯。先求等效電阻：

由分壓可得節點 $C$ 電壓：

$R_3$ 與 $R_L$ 串聯，因此流經 $R_L$ 的電流為：

圖示輸入波形在 $t=0$ 至 $4$ 的分段式為：

核心觀念

本題考電容並聯後的電荷守恆。開關閉合後，兩個電容的上端相連、下端都接地，因此兩電容並聯，最後電壓相同。

圖中未標示 $6\,\mu\mathrm{F}$ 電容的初始電壓；以下依常見命題設定，視為初始未充電。

解題方法

閉合前，$3\,\mu\mathrm{F}$ 電容上極板的電荷為

$6\,\mu\mathrm{F}$ 電容初始未充電，因此其初始電荷為零。閉合後，兩電容上端相連，總電荷守恆，並聯端的總電容為

核心觀念

這是理想電壓源驅動的並聯 RLC 諧振電路。諧振時，電感與電容的導納虛部互相抵銷，電源只需供應電阻支路電流；電感與電容支路則有大小相等、相位相反的電流。

並聯 RLC 電路的品質因數、諧振角頻率與頻帶寬度為

其中頻帶寬度 $\Delta f=\Delta\omega/(2\pi)$。題目所列「波形寬度」依諧振電路的命題脈絡，以頻帶寬度計算。

解題方法

已知

（一）品質因數

並聯 RLC 電路的品質因數為

（二）諧振電流

諧振時電感與電容的電流互相抵銷，因此電源電流等於電阻支路電流：

（三）諧振時電感及電容之電流

先求諧振角頻率：

電感支路電流為

核心觀念

本題考節點電壓法與基爾霍夫電流定律。以接地端為參考點，電壓源上端為 $+6\,\mathrm{V}$；電流源箭頭向上，表示有 $2\,\mathrm{A}$ 電流注入節點 $V_2$。

解題方法

在節點 $V_1$ 寫入流電流代數和為零：

整理得：

在節點 $V_2$ 寫電流平衡。串聯支路中的理想電流源固定提供 $2\,\mathrm{A}$ 向上，因此該支路對節點 $V_2$ 的注入電流為 $2\,\mathrm{A}$：

整理得：