111 地方特考四等 電子工程 電子儀表概要 考古題詳解

核心觀念

本題測驗電子儀表學最基礎且核心的兩個性能指標及其對應之誤差理論：

1. 準確度（Accuracy）：衡量測量值（或測量平均值）與被測物理量之「真值（True Value）」接近的程度。
2. 精密度（Precision）：在相同條件下重複進行多次測量時，各測量值彼此之間「相互接近、一致或重現（Repeatability）」的程度。
3. 誤差分類與成因對應：

• 準確度不良主要源自系統誤差（Systematic Errors）。
• 精密度不良主要源自隨機誤差（Random Errors / Accidental Errors）。

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解題方法

本題為標準的觀念申論題，作答時切忌僅以口語簡短帶過。應依序採取以下切入架構：

1. 嚴謹定義：分別寫出準確度與精密度的工程定義，並點出其評估核心（真值 vs. 離散度）。
2. 誤差關聯分析：明確指出影響準確度與精密度的誤差類型（系統誤差對應準確度；隨機誤差對應精密度），並說明其物理機制。
3. 實例舉證：藉由具體的電子電路量測情境（如電壓表量測基準電壓）與經典的「射靶/打靶」比喻，具體量化說明「高精密但低準確」與「低精密但平均高準確」的情形。

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選項分析

本題為申論問答題，無選擇題選項。以下針對題目兩大問項之評分指標進行深度剖析：

• 第一問項：何謂準確度與精密度？

• 準確度（Accuracy）：反映測量結果與真值之符合程度，通常以絕對誤差（Absolute Error, $e = |X_n - X_t|$）或相對百分比誤差（Percentage Error, $\% \text{ Error} = \left|\frac{X_n - X_t}{X_t}\right| \times 100\%$）來表示，誤差越小則準確度越高。

• 精密度（Precision）：反映測量結果的集中程度與再現性，與真值無直接關聯，常用標準差（Standard Deviation, $\sigma$）或變異係數來表徵。儀器刻度之解析度（Resolution）愈高、讀數分散程度愈小，精密度愈高。

• 第二問項：分別由何種誤差造成？（含舉例說明）

• 準確度不良 $\rightarrow$ 系統誤差（Systematic Errors）： 具有特定方向性與規律性，會使所有量測值集體單向偏離真值。

• 精密度不良 $\rightarrow$ 隨機誤差（Random Errors）： 大小與方向皆具偶然性與不確定性，服從高斯常態分佈，使重複量測值呈現無規則之散布。

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解題技巧

1. 名詞配對口訣：

• 「準確看真值，偏差因系統（校正可解）。」
• 「精密看離散，抖動因隨機（統計可解）。」

2. 避免常見陷阱：

• 切勿誤認「精密度高就代表測量結果準確」。儀表解析度極高（例如顯示到小數點後 6 位），若未作零點校正，讀數依然會大幅偏離真值。
• 系統誤差原則上可透過校準、零點調整、補償技術或修正公式加以消除；隨機誤差無法完全消除，但可透過「多次測量取算術平均值」加以抑制。

3. 考場得分排版要領： 申論題作答時，先列出定義與公式，再列出「誤差成因」，最後給出「情境數值實例」，層次分明最易獲閱卷委員青睞。

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【答案】

一、準確度（Accuracy）與精密度（Precision）之定義

核心觀念

1. 數位電表（DMM）誤差規格表示法： 數位電表的綜合誤差通常由「讀值誤差（Reading error）」與「位數誤差（Digit error）」兩部分構成： $\text{總誤差 } \Delta V = \pm \left( \text{量測值} \times \text{百分比} + \text{位數} \times \text{最低有效位權值 (LSD)} \right)$

• $2\%\ \mathrm{reading}$：屬於增益（比例）誤差，隨量測值大小等比例變動。
• $\pm 20\ \mathrm{dgt.}$：屬於偏移或量化誤差，固定由顯示幕之最後一位數（最低有效位，Least Significant Digit, LSD）所代表的解析度大小決定。

2. 類比數位轉換器（ADC）位元數（Resolution in bits）： 若 $n$ 位元之 ADC，其可解析的最大離散階數（Counts）為 $2^n$。電壓表內部 ADC 的轉換位元數，必須至少能涵蓋該量測值對應的最小離散階數 $N$： $2^n \ge N \implies n \ge \lceil \log_2 N \rceil$

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解題方法

一、量測值為 $100.0\ \mathrm{V}$ 時之誤差範圍

1. 確認最低有效位（$1\ \mathrm{dgt.}$）代表之數值： 量測值顯示為 $100.0\ \mathrm{V}$，具有小數點後 1 位，表示電表此時的最小顯示解析度（$1\ \mathrm{dgt.}$）為 $0.1\ \mathrm{V}$。
2. 分別計算讀值誤差與位數誤差：

• 讀值誤差分量： $E_{\mathrm{reading}} = 100.0\ \mathrm{V} \times 2\% = 2.0\ \mathrm{V}$
• 位數誤差分量： $E_{\mathrm{digit}} = 20\ \mathrm{dgt.} \times 0.1\ \mathrm{V/dgt.} = 2.0\ \mathrm{V}$

3. 合成總誤差範圍： 最劣情況下的絕對誤差為兩者相加： $\Delta V = \pm (2.0\ \mathrm{V} + 2.0\ \mathrm{V}) = \pm 4.0\ \mathrm{V}$ 因此，實際電壓的誤差範圍為：

核心觀念

1. 負載效應（Loading Effect）： 量測儀表接入被測電路時，因儀表本身具有有限阻抗（電壓表內阻非無窮大，或電流表內阻非零），自待測電路抽取電流或改變了電路原有阻抗分佈，導致電路工作狀態改變，使儀表讀值偏離未接入前之真實值的現象。
2. 電壓分壓定理（Voltage Divider Rule）： 串聯電路中各電阻分得之電壓與其電阻值成正比。
3. 電阻並聯公式： $R_p = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$
4. 量測誤差百分比（Percentage Error, $\% \text{Error}$）： $\% \text{Error} = \frac{V_m - V_T}{V_T} \times 100\%$ 其中 $V_m$ 為量測值（Measured value），$V_T$ 為真實值（True value）。負號表示量測值低於真實值。

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解題方法

一、儀表的負載效應定義

當儀表接入待測電路進行量測時，儀表本身會視為額外的負載加入電路中。以電壓表為例，由於實體電壓表內阻並非理想的無窮大（$\infty$），並聯於待測元件兩端時會分流部分電流，造成該節點之等效阻抗下降，使得量測所得的電壓值低於電路未接入電壓表時的真實電壓。這種因儀表介入而干擾被測電路原始狀態所產生的量測誤差，稱為儀表的負載效應。

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二、量測電路圖

在 $200\ \mathrm{V}$ 直流電壓串接 $100\ \mathrm{k}\Omega$ 電阻與被測量電阻 $100\ \mathrm{k}\Omega$ 之電路中，使用內阻為 $R_m = 100\ \mathrm{k}\Omega$ 的電壓表量測被測電阻之端電壓，其電路連接如下圖所示：

 +-------------------[ R1 = 100 kΩ ]-------------------+
 | |
 | +---+---+
 | | |
 +---+- | +-------+
 | | | | V | (Rm = 100 kΩ)
 Vs | | 200 V RL = 100 kΩ| +-------+
 | | | |
 +---+- | +---+---+
 | | |
 | +---+---+
 +-----------------------------------------------------+

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三、真實電壓計算（未接電壓表時）

電壓表未接入前，被測電阻 $R_L$ 兩端之真實電壓 $V_T$ 為： $V_T = V_S \times \frac{R_L}{R_1 + R_L} = 200 \times \frac{100\ \mathrm{k}\Omega}{100\ \mathrm{k}\Omega + 100\ \mathrm{k}\Omega} = 100\ \mathrm{V}$

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四、量測值與誤差百分比計算

1. 當電壓表內阻 $R_{m1} = 100\ \mathrm{k}\Omega$ 時：

• 被測電阻與電壓表內阻並聯後之等效電阻 $R_{p1}$： $R_{p1} = R_L \parallel R_{m1} = \frac{100\ \mathrm{k}\Omega \times 100\ \mathrm{k}\Omega}{100\ \mathrm{k}\Omega + 100\ \mathrm{k}\Omega} = 50\ \mathrm{k}\Omega$
• 電壓表量測到的電壓值 $V_{m1}$： $V_{m1} = V_S \times \frac{R_{p1}}{R_1 + R_{p1}} = 200 \times \frac{50\ \mathrm{k}\Omega}{100\ \mathrm{k}\Omega + 50\ \mathrm{k}\Omega} = 200 \times \frac{1}{3} \approx 66.67\ \mathrm{V}$
• 量測電壓之誤差百分比： $\% \text{Error}_1 = \frac{V_{m1} - V_T}{V_T} \times 100\% = \frac{66.67 - 100}{100} \times 100\% = -33.33\%$ （量測值偏低，誤差百分比為 $-33.33\%$，誤差絕對值為 $33.33\%$）

2. 當電壓表改為內阻 $R_{m2} = 1\ \mathrm{M}\Omega = 1000\ \mathrm{k}\Omega$ 時：

• 被測電阻與電壓表內阻並聯後之等效電阻 $R_{p2}$： $R_{p2} = R_L \parallel R_{m2} = \frac{100\ \mathrm{k}\Omega \times 1000\ \mathrm{k}\Omega}{100\ \mathrm{k}\Omega + 1000\ \mathrm{k}\Omega} = \frac{1000}{11}\ \mathrm{k}\Omega \approx 90.91\ \mathrm{k}\Omega$
• 電壓表量測到的電壓值 $V_{m2}$：

運算放大器（OPA）組成的 RC 落後型（Phase-lag / 低通型）相移振盪器 電路如下圖所示。由反相放大器提供 $-180^\circ$ 相移，三節 RC 低通網路（串聯電阻 $R$、並聯電容 $C$）在特定振盪頻率下提供 $-180^\circ$ 的相移，使閉迴路總相移達到 $-360^\circ \equiv 0^\circ$：

 +--------------------[ Rf ]---------------------+
 | |
 | | \ |
 +---[ Ri ]----+ \ |
 | - \ |
 | >--------------------+-------+---> vo
 +----+ + / |
 | | / |
 _|_ | / |
 GND |
 |
 +---------------------------------------------+
 |
 +---[ R ]---+-----------[ R ]---+-----------[ R ]---+
 | | |
 --- C --- C --- C
 --- --- ---
 | | |
 _|_ _|_ _|_
 GND GND GND
 | | |
 (節點 1) (節點 2) (節點 3)
 |
 +--------(接至 Ri 輸入端)

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核心觀念

1. 巴克豪森振盪準則（Barkhausen Criterion）： 電路維持等幅正弦波振盪的必要條件為閉迴路增益 $A\beta = 1$：

• 相位條件：環路總相移 $\angle A\beta = 0^\circ$ 或 $\pm 360^\circ$（正回授）。
• 振幅條件：環路增益大小 $|A\beta| \ge 1$（起振時需略大於 1，穩態振盪時等於 1）。

2. RC 落後型網路（Phase-Lag Network）： 每節 RC 網路採「串聯 $R$、並聯 $C$」的低通濾波結構，輸出電壓取自電容兩端。交流信號通過時，電容電壓落後輸入電壓，故產生負相移（Phase lag）。

3. 反相放大器之增益與輸入電阻： OPA 接成反相放大器，非反相端接地，反相端為「虛接地」（Virtual Ground）。放大器電壓增益大小為： $|A_v| = \frac{R_f}{R_i}$ 其中 $R_i$ 為放大器之輸入電阻。當 $R_i \ge 10R$ 時，放大器對 RC 網路最後一節的負載效應可忽略不計。

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解題方法

一、為何使用三節 RC 元件組成相移振盪器？

1. 相位條件需求： OPA 反相放大器本身提供 $180^\circ$（或 $-180^\circ$）相移。若要達到正回授振盪，RC 回授網路必須在振盪頻率處精確提供 $-180^\circ$ 的相移，使全迴路總相移滿足： $\angle A_v + \angle \beta = -180^\circ + (-180^\circ) = -360^\circ \equiv 0^\circ$
2. 單節與雙節 RC 網路無法達成：

• 單節 RC 網路：最大理論相移僅能接近 $-90^\circ$（需在 $\omega \to \infty$），有限頻率下必有 $|\theta| < 90^\circ$。
• 雙節 RC 網路：最大理論相移僅能接近 $-180^\circ$（亦需在 $\omega \to \infty$），但在極限時信號衰減為零（增益為 0）；在任何有限的實數頻率下，相移必小於 $-180^\circ$，故無法振盪。

3. 三節 RC 網路之充要性： 三節 RC 網路的最大理論相移可達 $-270^\circ$。因此，必定存在一個有限的振盪頻率 $\omega_o$，使三節級聯網路的總相移恰好為 $-180^\circ$（平均每節約貢獻 $-60^\circ$ 相移），且此時網路的傳輸率（衰減率）仍為有限值（$|\beta| = 1/29 \neq 0$），放大器可藉由有限增益補償此衰減以維持振盪。因此三節為達成所需相移的最少節數。

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二、RC 落後型網路之轉移函數與振盪頻率推導

令 RC 網路輸入為 $v_o$，輸出為第三節電容端電壓 $v_3$。設三節電阻皆為 $R$、電容皆為 $C$。各節點電壓由後往前推導：

1. 第三節輸出端（節點 3）： $v_2 = v_3 + i_3 R = v_3 + (sC v_3) R = (1 + sRC) v_3$

2. 第二節電容端（節點 2）： $i_2 = sC v_2 + i_3 = sC(1 + sRC)v_3 + sC v_3 = (2sC + s^2 R C^2) v_3$ $v_1 = v_2 + i_2 R = (1 + sRC) v_3 + (2sRC + s^2 R^2 C^2) v_3 = (1 + 3sRC + s^2 R^2 C^2) v_3$

3. 第一節電容端（節點 1，輸入為 $v_o$）： $i_1 = sC v_1 + i_2 = sC(1 + 3sRC + s^2 R^2 C^2)v_3 + (2sC + s^2 R C^2)v_3 = (3sC + 4s^2 R C^2 + s^3 R^2 C^3) v_3$ $v_o = v_1 + i_1 R = (1 + 3sRC + s^2 R^2 C^2)v_3 + (3sRC + 4s^2 R^2 C^2 + s^3 R^3 C^3)v_3$

核心觀念

本題評量電子儀表與高頻／通信量測系統中，最基礎且關鍵的對數量度單位：分貝（$\text{dB}$） 與 分貝毫瓦（$\text{dBm}$） 之物理定義、數學表示式以及兩者的本質差異（相對單位 vs. 絕對單位）。

1. 分貝（$\text{dB}$, Decibel）：

• 屬於無因次（Dimensionless）的相對單位。
• 用於表示兩個同類物理量（如功率、電壓、電流）之間的比值對數。
• 功率比值定義公式： $X_{\text{dB}} = 10 \log_{10} \left( \frac{P_1}{P_2} \right)$ 其中 $P_1$ 與 $P_2$ 為兩處的信號功率。
• 電壓或電流比值定義（在輸入與輸出阻抗相同的條件下）： $A_{v\text{, dB}} = 20 \log_{10} \left( \frac{V_1}{V_2} \right)$

2. 分貝毫瓦（$\text{dBm}$, Decibel-milliwatts）：

• 屬於具有明確物理基準的絕對單位。
• 以 $1\text{ mW}$（毫瓦，$10^{-3}\text{ W}$）作為固定參考基準功率 $P_{\text{ref}}$ 所定義之對數功率值。
• 定義公式： $P_{\text{dBm}} = 10 \log_{10} \left( \frac{P}{1\text{ mW}} \right)$ 其中 $P$ 為待測信號的實際功率（單位須先換算為 $\text{mW}$）。

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解題方法

本題為申論題，作答結構需依序分為三大核心：定義闡述、單位屬性辨析（相對 vs. 絕對）、數值與系統運算舉例。

1. 定義說明

• 分貝（$\text{dB}$）：為貝爾（$\text{Bel}$）的十分之一，非獨立物理量單位，而是兩個功率量測值的比例對數。廣泛應用於放大器增益（Gain）、衰減器損耗（Loss）、濾波器頻寬下降點（$-3\text{ dB}$ 點）以及訊噪比（$\text{SNR}$）之表示。
• 分貝毫瓦（$\text{dBm}$）：將功率值對齊於國際標準 $1\text{ mW}$ 之絕對能階。廣泛應用於頻譜分析儀、功率計、射頻發射機輸出功率與接收機靈敏度之標示。

2. 相對單位與絕對單位之歸屬

• 分貝（$\text{dB}$）代表「功率相對單位」： $\text{dB}$ 僅能呈現「$P_1$ 相對於 $P_2$ 放大或縮小了多少倍」，其本身不包含任何實際能量或功率大小資訊。若單獨給定「增益為 $20\text{ dB}$」，無法得知實際輸出功率究竟是 $1\text{ W}$ 還是 $100\text{ W}$。
• 分貝毫瓦（$\text{dBm}$）代表「功率絕對單位」： $\text{dBm}$ 的參考分母固定為 $1\text{ mW}$，故每一個 $\text{dBm}$ 數值皆唯一對應到實際的物理功率值（例如 $0\text{ dBm} = 1\text{ mW}$）。因此它具備獨立量度功率真實大小之能力。

3. 舉例說明

• 例一：數值轉換與物理意義

• 絕對功率表示（$\text{dBm}$）： 若某發射機輸出功率 $P = 100\text{ mW}$（即 $0.1\text{ W}$）： $P_{\text{dBm}} = 10 \log_{10} \left( \frac{100\text{ mW}}{1\text{ mW}} \right) = 10 \log_{10}(10^2) = 20\text{ dBm}$ 此 $20\text{ dBm}$ 代表明確的「絕對功率」。

• 相對增益表示（$\text{dB}$）： 若放大器的輸入功率為 $P_{\text{in}} = 10\text{ mW}$，輸出功率為 $P_{\text{out}} = 100\text{ mW}$： $G_{\text{dB}} = 10 \log_{10} \left( \frac{100\text{ mW}}{10\text{ mW}} \right) = 10 \log_{10}(10) = 10\text{ dB}$ 此 $10\text{ dB}$ 代表功率被放大為 $10$ 倍，屬於「相對增益比值」。

• 例二：儀表級聯鏈路運算（$\text{dBm} + \text{dB} = \text{dBm}$） 設一微波量測系統中：

• 信號源輸出功率（絕對量）：$P_{\text{in}} = 2\text{ mW}$，換算為： $P_{\text{in, dBm}} = 10 \log_{10}(2) \approx +3\text{ dBm}$