109 地方特考四等 電子工程 電子儀表概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查永磁動圈型（PMMC）直流安培計之量程擴展（分流器原理，Ammeter Shunt）。 安培計擴大量測範圍時，係於錶頭兩端並聯一低阻值之分流電阻器（$R_{sh}$），依據克希荷夫電流定律（KCL）與並聯電路電壓相等之特性，將欲擴大的多餘電流導離錶頭。

相關公式與定義如下：

1. 倍率因子（Multiplying Factor, $n$）： $n = \frac{I}{I_m}$ 其中 $I$ 為擴大後之全刻度總電流，$I_m$ 為錶頭原始之滿刻度電流。
2. 分流電阻公式： 因錶頭與分流電阻並聯，端電壓相等（$V_m = V_{sh}$）： $I_m R_m = I_{sh} R_{sh} = (I - I_m) R_{sh}$ 整理可得： $R_{sh} = \frac{R_m}{n - 1} \iff R_m = (n - 1) R_{sh}$ 其中 $R_m$ 為錶頭內部電阻，$R_{sh}$ 為分流電阻。

解題方法

1. 設定已知參數：

• 分流電阻值：$R_{sh} = 0.01\,\Omega$
• 電流量測範圍提高為原來之 $10$ 倍，即總電流量程 $I = 10 I_m$，倍率因子： $n = \frac{I}{I_m} = 10$

2. 列出電路平衡關係： 流入節點之總電流 $I$ 分流為錶頭電流 $I_m$ 與分流器電流 $I_{sh}$： $I_{sh} = I - I_m = 10I_m - I_m = 9I_m$

因錶頭與分流電阻並聯，兩端跨壓相同： $V_m = V_{sh} \implies I_m \times R_m = I_{sh} \times R_{sh}$

3. 推導並計算錶頭內阻 $R_m$： 將 $I_{sh} = 9I_m$ 代入跨壓等式：

核心觀念

1. 交流電橋平衡原理： 交流電橋平衡時，檢零器兩端電位差為零（無電流流經檢零器）。此時電橋之相對臂（對臂）複數阻抗乘積必須相等： $Z_1 Z_3 = Z_2 Z_4$ 由於阻抗為複數，平衡條件必須同時滿足「大小平衡」與「相位平衡」，即展開後實部與虛部必須各自相等。
2. 歐文電橋（Owen Bridge）特性：

• 專門用於精確量測未知電感及其等效串聯電阻（$L_x$ 與 $R_x$）。
• 四臂中配置兩個純電阻或電阻組合、兩個標準電容器，利用高穩定度、低損耗的標準電容來量測電感，避免標準電感器體積龐大且易受雜散磁場干擾之缺點。
• 其平衡方程式與電源角頻率 $\omega$ 完全無關，且可達成兩平衡旋鈕調節時互不干擾的收斂特性。

解題方法

一、 歐文電橋線路圖

歐文電橋之基本線路如下圖所示：

 A
 / \
 Z4 / \ Z1
 (R4 串聯 C4) / \ (待測 Rx 串聯 Lx)
 / \
 D ---[ D ]--- B
 \ (檢零器) /
 Z3 \ / Z2
 (純電容 C3) \ / (純電阻 R2)
 \ /
 C
 |
 +-----+-----+
 | |
 ~ 交流電源 |
 | v_s |
 +-----------+

電路各臂元件定義：

• 臂 1（支路 AB，阻抗 $Z_1$）：待測電感元件，等效為待測電感 $L_x$ 與其串聯電阻 $R_x$。
• 臂 2（支路 BC，阻抗 $Z_2$）：無感標準電阻 $R_2$。
• 臂 3（支路 CD，阻抗 $Z_3$）：標準電容器 $C_3$。
• 臂 4（支路 DA，阻抗 $Z_4$）：無感可變電阻 $R_4$ 與標準電容器 $C_4$ 串聯。
• 交流電源 $v_s$：接於節點 A 與節點 C 之間。
• 交流檢零器 $\text{D}$：接於節點 B 與節點 D 之間。

二、 電橋平衡時待測電感與電阻關係式推導

1. 各臂複數阻抗表示式： $Z_1 = R_x + j\omega L_x$ $Z_2 = R_2$ $Z_3 = \frac{1}{j\omega C_3} = -j\frac{1}{\omega C_3}$ $Z_4 = R_4 + \frac{1}{j\omega C_4} = R_4 - j\frac{1}{\omega C_4}$

2. 列出電橋平衡方程式： 當檢零器指示為零時，$V_B = V_D$，依據對臂阻抗相乘相等之原則： $Z_1 Z_3 = Z_2 Z_4$

3. 代入阻抗並展開： $(R_x + j\omega L_x)\left(\frac{1}{j\omega C_3}\right) = R_2 \left(R_4 + \frac{1}{j\omega C_4}\right)$ $\frac{R_x}{j\omega C_3} + \frac{j\omega L_x}{j\omega C_3} = R_2 R_4 + \frac{R_2}{j\omega C_4}$ 利用 $\frac{1}{j} = -j$ 整理得： $\frac{L_x}{C_3} - j\frac{R_x}{\omega C_3} = R_2 R_4 - j\frac{R_2}{\omega C_4}$

4. 分離實部與虛部求解：

• 實部相等（求待測電感 $L_x$）： $\frac{L_x}{C_3} = R_2 R_4 \implies L_x = R_2 R_4 C_3$
• 虛部相等（求待測電阻 $R_x$）： $-\frac{R_x}{\omega C_3} = -\frac{R_2}{\omega C_4} \implies R_x = R_2 \frac{C_3}{C_4}$

核心觀念

本題旨在評量示波器中陰極射線管（Cathode-Ray Tube, CRT）靜電偏轉系統之物理機制、幾何結構參數與電氣特性之間的定量關係。

1. 偏轉靈敏度（Deflection Sensitivity, $S$）： 定義為電子束撞擊螢光幕所產生的位移量 $D$ 與施加於偏向板的偏向電壓 $V_d$ 之比值： $S = \frac{D}{V_d}$ 單位通常為 $\text{m}/\text{V}$、$\text{cm}/\text{V}$ 或 $\mu\text{m}/\text{V}$。
2. 靜電偏轉基本公式： 電子在通過平行偏向板時受電場加速而偏轉，離開偏向板後沿直線行進至螢幕，其偏轉位移 $D$ 與各參數之數學關係式為： $D = \frac{L \cdot l \cdot V_d}{2 \cdot d \cdot V_a}$ 由此可得偏轉靈敏度 $S$： $S = \frac{D}{V_d} = \frac{L \cdot l}{2 \cdot d \cdot V_a}$ 式中各參數意義為：

• $l$：偏向板長度（Length of deflection plates）
• $d$：兩偏向板之間距（Distance between deflection plates）
• $L$：偏向板中心至螢光幕之軸向距離（Distance from center of plates to screen）
• $V_a$：陽極加速電壓（Accelerating voltage）
• $V_d$：偏向板兩端所加之偏向電壓（Deflecting voltage）

解題方法

1. 公式推導與原理說明

• 電子經由陰極與陽極間的加速電壓 $V_a$ 加速後，進入偏向板時的水平軸向速度為 $v_x$，根據動能定理： $\frac{1}{2} m v_x^2 = e V_a \implies v_x^2 = \frac{2 e V_a}{m}$
• 電子在長度為 $l$ 的偏向板內運動時間 $t = \frac{l}{v_x}$。在此期間受垂直均勻電場 $E = \frac{V_d}{d}$ 作用，獲得垂直加速度 $a_y = \frac{e E}{m} = \frac{e V_d}{m d}$。
• 電子射出偏向板時的垂直分速度 $v_y = a_y t = \frac{e V_d l}{m d v_x}$，故偏轉角正切值為： $\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{e V_d l}{m d v_x^2} = \frac{e V_d l}{m d \left(\frac{2 e V_a}{m}\right)} = \frac{l \cdot V_d}{2 d \cdot V_a}$
• 因電子離開偏向板後的幾何軌跡等效於由偏向板中心發散，故螢幕上的偏轉位移為： $D = L \cdot \tan\theta = \frac{L \cdot l \cdot V_d}{2 \cdot d \cdot V_a}$
• 兩邊同除以 $V_d$，移項整理出加速電壓 $V_a$： $V_a = \frac{L \cdot l}{2 \cdot d \cdot S}$

2. 代入數據計算

將題目所給各幾何與物理參數統一轉換為 SI 單位制（公尺 $\text{m}$）：

核心觀念

本題旨在評量直流電源供應器（DC Power Supply）在不同負載條件下的穩定度指標，主要涵蓋以下兩項核心定義與公式：

1. 負載效應（Load Effect）： 指電源供應器自「無載（No-Load）」切換至「滿載（Full-Load）」時，輸出端因內部等效輸出阻抗（內阻）分壓所造成的輸出電壓變動量（即電壓降）： $\text{Load Effect} = \Delta V = V_{\text{NL}} - V_{\text{FL}}$ 其中 $V_{\text{NL}}$ 為無載輸出電壓，$V_{\text{FL}}$ 為滿載輸出電壓。

2. 負載調整率（%Load Regulation，簡稱 $\%LR$）： 用以衡量電源供應器在負載電流由零增至最大額定值時，維持輸出電壓恆定的能力，以百分比表示。依據標準電機電子工程（IEEE）與電子儀表教科書之主流定義，以「滿載額定輸出電壓」為基準基準面： $\%LR = \frac{V_{\text{NL}} - V_{\text{FL}}}{V_{\text{FL}}} \times 100\%$

註：部分少數儀表規格書若定義以無載電壓 $V_{\text{NL}}$ 為基準，則計算式為 $\frac{V_{\text{NL}} - V_{\text{FL}}}{V_{\text{NL}}} \times 100\%$。

解題方法

由題意已知條件：

• 無載輸出電壓：$V_{\text{NL}} = 12\,\text{V}$
• 滿載輸出電壓：$V_{\text{FL}} = 11.7\,\text{V}$

步驟一：求負載效應（Load Effect）

負載效應即為無載到滿載的電壓差： $\Delta V = V_{\text{NL}} - V_{\text{FL}} = 12\,\text{V} - 11.7\,\text{V} = 0.3\,\text{V}$

步驟二：求負載調整率（%Load Regulation）

依據標準規範，以滿載電壓 $V_{\text{FL}}$ 為分母基準計算：