109 地方特考四等 電子工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

電流是電荷對時間的變化率：

在電荷—時間圖上，某時刻的電流就是該時刻曲線的斜率。依被動符號慣例，電流流入元件正端時，元件吸收的功率為 $p=vi$。

解題方法

圖（一）在 $t=2\ \mathrm{ms}$ 至 $t=12\ \mathrm{ms}$ 間為直線，因此 $t=6\ \mathrm{ms}$ 時的電流等於這一段的斜率。由圖讀得兩端點為 $(2\ \mathrm{ms},\,2\ \mathrm{mC})$ 與 $(12\ \mathrm{ms},\,6\ \mathrm{mC})$：

核心觀念

本題用節點電壓法與基爾霍夫電流定律（KCL）。以 $D$ 點為參考地，兩個理想電壓源直接決定：

電阻支路電流依歐姆定律計算，方向由高電位流向低電位；電流源箭頭則表示其電流方向。

解題方法

先對節點 $B$ 寫 KCL。由 $B$ 流出的三股電流總和為零：

兩邊乘以 $6$：

因此：

接著看節點 $C$。由電阻 $3\Omega$ 從 $C$ 流向 $B$ 的電流為：

核心觀念

本題考查電感暫態分析與戴維寧等效電路。先將 $1\ \mathrm{H}$ 電感移除，從其兩端求出戴維寧電壓 $V_{\mathrm{Th}}$ 與戴維寧電阻 $R_{\mathrm{Th}}$；再利用電感電流連續，以及一階 RL 電路的自然響應與強制響應，求出 $i(t)$。

電感電流的暫態式為

解題方法

以電感上端對下端為戴維寧電壓正方向，並以圖示向下方向為電感電流正方向。

一、求戴維寧電壓 $V_{\mathrm{Th}}$

移除電感後，右側 $3\ \Omega$ 電阻仍接在輸出端與下方參考點之間。從左側節點看向下方，垂直的 $6\ \Omega$ 電阻與「經過上方 $3\ \Omega$ 再接右側 $3\ \Omega$」的支路並聯：

此等效電阻與電源串聯的 $6\ \Omega$ 電阻形成分壓，因此左側節點電壓為

輸出端再由上方 $3\ \Omega$ 與右側 $3\ \Omega$ 分壓：

所以電感端的戴維寧電壓為 $6\ \mathrm{V}$，上端為正。

二、求戴維寧電阻 $R_{\mathrm{Th}}$

將獨立電壓源 $36\ \mathrm{V}$ 短路。左側節點對地的電阻為

核心觀念

1. 交流功率三角形（Power Triangle）：

• 平均功率（有效功率）：$P = S \cos\theta$
• 虛功率（無效功率）：$Q = S \sin\theta$
• 視在功率：$S = V_{\mathrm{rms}} I_{\mathrm{rms}} = \sqrt{P^2 + Q^2}$
• 功率因數（$\mathrm{PF}$）：$\cos\theta = \frac{P}{S}$

2. 落後功率因數（Lagging Power Factor）：

• 「落後」代表負載電流相位落後電源電壓相位，負載呈電感性。
• 負載阻抗虛部為正（$Z = R + jX_L$），吸收之虛功率為正（$Q > 0$）。

3. 複數功率與阻抗關係：

• 複數功率 $\mathbf{S} = P + jQ = \mathbf{V} \mathbf{I}^* = \frac{|\mathbf{V}|^2}{Z^*}$，故負載阻抗可表示為： $Z = \frac{|\mathbf{V}|^2}{\mathbf{S}^*}$

4. 功率因數改善（Power Factor Correction）：

• 欲將功率因數提升至 $1.0$，代表電源端總虛功率必須降為 $0$（即電壓與電流同相）。
• 並聯電容器所提供的進相（容性）虛功率 $Q_C$，必須完全抵消負載原有的感性虛功率 $Q_L$： $Q_C = Q_L$
• 並聯電容器吸收之虛功率公式為： $Q_C = \frac{V_{\mathrm{rms}}^2}{X_C} = \omega C V_{\mathrm{rms}}^2 = 2\pi f C V_{\mathrm{rms}}^2$

解題方法

第一部分：計算該負載阻抗 $Z$

1. 求視在功率 $S$ 與虛功率 $Q$： 由題目已知：

• 端電壓有效值 $V_{\mathrm{rms}} = 100\ \mathrm{V}$
• 平均功率 $P = 80\ \mathrm{W}$
• 功率因數 $\cos\theta = 0.8$（落後），因此 $\sin\theta = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$

視在功率： $S = \frac{P}{\cos\theta} = \frac{80}{0.8} = 100\ \mathrm{VA}$

負載吸收之感性虛功率： $Q = S \sin\theta = 100 \times 0.6 = 60\ \mathrm{VAR}$

故複數功率為： $\mathbf{S} = P + jQ = 80 + j60\ \mathrm{VA}$

2. 計算負載阻抗 $Z$： 利用 $Z = \frac{V_{\mathrm{rms}}^2}{\mathbf{S}^*}$： $Z = \frac{100^2}{80 - j60} = \frac{10000}{80 - j60}$

分子分母同乘以共軛複數 $(80 + j60)$： $Z = \frac{10000(80 + j60)}{80^2 + 60^2} = \frac{10000(80 + j60)}{10000} = 80 + j60\ \Omega$

轉換為極座標形式： $Z = 100\angle 36.87^\circ\ \Omega$

第二部分：計算欲將功率因數提升至 $1.0$ 需並聯之電容量 $C$