107 地方特考四等 環境工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題為流體力學中外流場（External Flow）繞流物體（浸沒物體）之經典題型，核心考點包含：

1. 阻力（拖曳力）公式：流體施加於物體之阻力 $F$ 與迎風投影面積（Projected Area）$A$、流體密度 $\rho$、相對流速 $U$ 及無因次阻力係數 $C_D$ 之關係。
2. 終端速度之靜力平衡：當物體達終端速度（Terminal Velocity）時，加速度為零，物體受力達動態平衡。由於本題桌球密度小於水而向上浮升，其運動方向向上，阻力方向向下，與重力同向，共同與向上的浮力平衡。
3. 雷諾數（Reynolds Number, $Re$）：用以表徵流況慣性力與黏滯力之比值，作為查核阻力係數 $C_D$ 的依據。
4. 流體力學之試誤疊代法（Trial-and-Error / Iteration Method）：當阻力係數 $C_D$ 依賴未知之速度 $U$（即依賴 $Re$）時，必須先假設流況區間求得初值，再回代驗算並進行收斂修正。

題目解析與詳細推導

(一) 阻力公式推導

流體流經直徑為 $D$ 的圓球時，受到的阻力（拖曳力）$F$ 與阻力係數 $C_D$ 之關係定義為： $F = C_D \cdot A \cdot \left(\frac{1}{2}\rho U^2\right)$

其中各參數物理意義如下：

• $C_D$：阻力係數（Drag coefficient，無因次常數，為雷諾數 $Re$ 之函數）。
• $A$：球體垂直於流動方向的迎風投影面積（Frontal Projected Area）： $A = \frac{\pi D^2}{4}$
• $\rho$：池水流體密度（$\mathrm{kg/m^3}$）。
• $U$：桌球相對於流體的終端速度（$\mathrm{m/s}$）。

將投影面積代入公式，可展開表示為： $F = \frac{1}{8}\pi C_D \rho D^2 U^2$

(二) 達終端速度時的受力情形與受力圖

桌球由池底釋放後向上浮升，當達到終端速度 $U$ 時，加速度 $a = 0$，球體處於等速直線運動的力平衡狀態。此時桌球共受到三個垂直方向的力：

1. 浮力（$F_B$）：方向垂直向上，量值等於排開池水之重量： $F_B = \rho g V = \rho g \left[\frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3\right] = \frac{\pi}{6}\rho g D^3$
2. 桌球重力（$W$）：方向垂直向下，題目給定 $W = 0.025\ \mathrm{N}$。
3. 水流阻力（$F$）：因桌球向上浮升，流體對球體之相對流動方向向下，故流體施加於球體的阻力方向垂直向下。

受力示意圖（自由體圖 Free Body Diagram）：

 ↑ 浮力 F_B = ρgV
 ┌─────┐
 │ │ ↑ 桌球等速上浮速度 U
 W ↓ │ ● │ ↓ 阻力 F = (1/2) C_D ρ A U^2
 (重力) │ │
 └─────┘

垂直方向平衡方程式： $\sum F_y = 0 \implies F_B - W - F = 0$ 亦即： $F = F_B - W$

(三) 計算終端速度 $U$

1. 基本物理量計算：

• 直徑 $D = 4\ \mathrm{cm} = 0.04\ \mathrm{m}$
• 重力加速度取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$（若取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 亦可，數值極為接近）
• 池水密度 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$
• 球體積： $V = \frac{\pi}{6} D^3 = \frac{\pi}{6} (0.04)^3 \approx 3.351 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3}$
• 浮力： $F_B = \rho g V = 1000 \times 9.81 \times 3.351 \times 10^{-5} \approx 0.3287\ \mathrm{N}$
• 迎風投影面積： $A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0.04)^2}{4} \approx 1.2566 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

2. 計算阻力 $F$： 由力平衡得： $F = F_B - W = 0.3287 - 0.025 = 0.3037\ \mathrm{N}$

3. 由阻力係數圖查得 $C_D$ 並求速度： 根據流體力學標準圓球（sphere）的阻力係數曲線圖，在次臨界過渡區的平坦高原段（$10^3 < Re < 2\times 10^5$，邊界層為層流、尾流發生分離），當 $Re$ 介於 $5\times10^4$ 至 $10^5$ 之間時，圓球之阻力係數幾乎維持常數：

核心觀念

1. 連續方程式（Continuity Equation）：質量守恆原理。在不可壓縮流體之穩定流動下，流經各截面的質量流率守恆： $\dot{m} = \rho Q = \rho A_0 V_0 = \rho A_1 V_1$
2. 伯努力方程式（Bernoulli's Equation）：機械能守恆原理，適用於穩定、不可壓縮、無黏性且沿流線之流動。在水柱自由暴露於大氣時，水柱表面壓力處處等於大氣壓，動水頭與位置水頭相互轉換： $\frac{P}{\rho g} + \frac{V^2}{2g} + z = \text{常數}$
3. 線性動量方程式（Linear Momentum Equation）：控制體積之動量守恆。水柱衝擊平板或曲面物體時，外力合力等於流出與流入控制體積之動量通量差： $\sum \vec{F} = \sum (\dot{m} \vec{V})_{\text{out}} - \sum (\dot{m} \vec{V})_{\text{in}}$
4. 靜態平衡條件：圓盤或碗被水柱單獨支撐於空中時，所受流體向上推力與自身重力達成平衡。

解題方法

(一) 流速比較與理由

• 結論：$V_1$ 會比 $V_0$ 小（$V_1 < V_0$）。
• 理由： 水柱離開噴嘴後為垂直向上之自由射流（Free Jet），水柱周圍與大氣接觸，表面壓力維持為一大氣壓（表壓力 $P_0 = P_1 = 0$）。水柱在垂直上升高度 $h$ 的過程中，流體必須克服重力作功，流體動能持續轉換為重力位能。在忽略黏滯阻力與空氣阻力下，依機械能守恆定律，位置水頭增加（$z_1 - z_0 = h > 0$），動水頭必相應減少（$\frac{V_1^2}{2g} < \frac{V_0^2}{2g}$），因此截面流速 $V_1$ 必小於噴嘴處流速 $V_0$。

(二) 伯努力方程式計算 $V_1$ 與假設

1. 所需假設：

• 穩定流（Steady flow）：流場中各點流速及流體性質不隨時間變化。
• 不可壓縮流（Incompressible flow）：水之密度 $\rho$ 視為常數。
• 無黏性流體／摩擦損失忽略（Inviscid / Frictionless flow）：忽略流體內部黏滯剪應力。
• 沿同一流線（Along a streamline）：取水柱中心軸線上之一條流線進行分析。
• 忽略空氣阻力與表面剪應力：射流全段均處於均勻大氣壓環境中。

2. 計算推導： 選取噴嘴出口為點 0（取基準面 $z_0 = 0$），水柱到達高度 $h = 4\ \mathrm{m}$ 接觸圓盤前之截面為點 1（$z_1 = h = 4\ \mathrm{m}$）。 兩處均處於大氣中，表壓力 $P_0 = P_1 = 0$。 沿中心流線列伯努力方程式： $\frac{P_0}{\rho g} + \frac{V_0^2}{2g} + z_0 = \frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1$ 代入表壓力 $P_0 = P_1 = 0$ 及高度 $z_0 = 0$、$z_1 = h$： $\frac{V_0^2}{2g} = \frac{V_1^2}{2g} + h$ 移項推導得流速 $V_1$： $V_1 = \sqrt{V_0^2 - 2gh}$ 代入數值（以標準重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 計算）： $V_1 = \sqrt{10^2 - 2 \times 9.8 \times 4} = \sqrt{100 - 78.4} = \sqrt{21.6} \approx 4.65\ \mathrm{m/s}$ (若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 計算，則 $V_1 = \sqrt{100 - 2 \times 9.81 \times 4} = \sqrt{21.52} \approx 4.64\ \mathrm{m/s}$)。

(三) 以動量方程計算圓盤重量 $W$ 及控制體積與受力圖

1. 控制體積（Control Volume, CV）與受力繪製： 選取「包覆水柱撞擊圓盤處之薄層流體」作為控制體積：

• 控制表面（CS）：
• 流入面：圓盤正下方，水流以垂直向上流速 $V_1$ 流入，截面積為 $A_1$。
• 流出面：圓盤邊緣外圍，水流受圓盤阻擋轉向 $90^\circ$ 後呈水平徑向向外流出，其流出之垂直速度分量 $V_{\mathrm{out}, z} = 0$。
• 上界面：水流與圓盤底面接觸之交界面。
• 作用力分析：
• 上界面受到圓盤施加於流體向下之正向反作用力 $F_N$。
• 薄層水流本身的重力微小，予以忽略（$W_{\mathrm{fluid}} \approx 0$）。
• 周圍各處均為大氣壓力，表壓力合力為零。

【控制體積與受力圖】：

+-----------------------------+
| 水平圓盤 (重 W 向下) |
+-----------------------------+
|
v F_N (圓盤壓向水流的反作用力)
================================================= <-- 上控制表面
水平流出 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 水平流出
<-------- [ 控制體積 (CV) ] -------->
(V_out,z=0)---------------------+---+---------------------- (V_out,z=0)
^ ^
| | 向上流入 (截面面積 A1, 流速 V1, 質量流率 m_dot)
| |
[ 水 柱 ]

【圓盤隔離體受力平衡】： 圓盤受自身的向下重力 $W$，以及水流向上之推力 $F_{\text{fluid}}$。依牛頓第三運動定律，$F_{\text{fluid}} = F_N$。 由靜態平衡條件： $\sum F_{z, \text{盤}} = 0 \implies W = F_N$

2. 動量方程式推導： 對流體控制體積在垂直方向（取向上為正 $z$ 軸）應用線性動量方程式：

核心觀念

本題為管路系統之能量方程式、管流摩擦損失、水力機械功率轉換及流態判別的綜合計算題，涉及以下核心定律與公式：

1. 管流摩擦水頭損失（達西–威斯巴哈方程式，Darcy-Weisbach Equation）： $h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} = \frac{8 f L Q^2}{\pi^2 g D^5}$ 其中 $f$ 為達西摩擦因子、$L$ 為管長（$\mathrm{m}$）、$D$ 為管徑（$\mathrm{m}$）、$V = \frac{4Q}{\pi D^2}$ 為管內平均流速（$\mathrm{m/s}$）、$Q$ 為設計流量（$\mathrm{m^3/s}$ 或 $\mathrm{cms}$）、$g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 為重力加速度。

2. 抽水機組需消耗功率（輸入電功率）： 抽水機所需克服之總動態揚程（Total Dynamic Head, $H_p$）為淨提升幾何高程差加上沿程管阻水頭損失： $H_p = (z_B - z_A) + h_{f,AB} = \Delta z_{AB} + h_{f,AB}$ 流體所獲得之理論水力功率為 $P_w = \gamma Q H_p$（水的單位重 $\gamma = \rho g = 9810\ \mathrm{N/m^3} = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$）。 考慮抽水機組效率 $\eta_p = 60\%$ 及電力輸送線效率 $\eta_{line} = 95\%$：

• 抽水機端消耗電功率：$P_{pump} = \frac{\gamma Q H_p}{\eta_p}$
• 電源端（或發電端）所需輸出之總供電功率：$P_{supply} = \frac{\gamma Q H_p}{\eta_p \eta_{line}}$

3. 水力發電獲得功率（發電機輸出電功率）： 水輪機可利用之有效淨發電水頭（Net Head, $H_t$）為重力高程差扣除管流摩擦損失： $H_t = (z_B - z_D) - h_{f,BD} = \Delta z_{BD} - h_{f,BD}$ 考慮水輪機效率 $\eta_t = 80\%$ 與發電機效率 $\eta_g = 90\%$，發電機實際輸出之電功率為： $P_{gen} = \eta_t \eta_g \gamma Q H_t$

4. 發電量自給自足判定準則： 經輸電線送達抽水機組之電功率 $P_{delivered} = P_{gen} \times \eta_{line} = \eta_t \eta_g \eta_{line} \gamma Q H_t$。 欲使發電電力足以完全供給抽水機組運轉，必須滿足 $P_{delivered} \ge P_{pump}$，亦即系統總能量轉換比值需滿足： $\frac{H_t}{H_p} \ge \frac{1}{\eta_t \eta_g \eta_{line} \eta_p}$

5. 管流雷諾數（Reynolds Number）： $Re = \frac{V D}{\nu} = \frac{4Q}{\pi D \nu}$ 其中 $\nu$ 為運動黏滯係數（$\mathrm{m^2/s}$）。

解題方法

本題原卷圖四中標示之管流參數（管長 $L_{AB}, L_{BD}$、管徑 $D$、摩擦因子 $f$）及節點高程差（$\Delta z_{AB}, \Delta z_{BD}$）數值未於題文提供，以下先建立嚴謹之代數解析通式，並依水利工程常用之標準規範設定基準參數（管徑 $D = 0.3\ \mathrm{m}$、摩擦因子 $f = 0.02$、管長 $L_{AB} = 1000\ \mathrm{m}$、$L_{BD} = 2000\ \mathrm{m}$、高程差 $\Delta z_{AB} = 100\ \mathrm{m}$、$\Delta z_{BD} = 200\ \mathrm{m}$）進行具體數值計算。

(一) 管流摩擦損失計算

1. 通式推導： 管截面積 $A = \frac{\pi}{4} D^2$，管內平均流速： $V = \frac{Q}{A} = \frac{4 \times 0.178}{\pi D^2} = \frac{0.2266}{D^2}\ (\mathrm{m/s})$ 速度水頭 $\frac{V^2}{2g} = \frac{8 Q^2}{\pi^2 g D^4} = \frac{8 \times 0.178^2}{\pi^2 \times 9.81 \times D^4} = \frac{0.002618}{D^4}\ (\mathrm{m})$。 沿程摩擦水頭損失通式為： $h_{f,AB} = f \frac{L_{AB}}{D} \frac{V^2}{2g} = \frac{0.002618 \cdot f \cdot L_{AB}}{D^5}\ (\mathrm{m})$ $h_{f,BD} = f \frac{L_{BD}}{D} \frac{V^2}{2g} = \frac{0.002618 \cdot f \cdot L_{BD}}{D^5}\ (\mathrm{m})$

2. 基準數值計算： 代入 $D = 0.3\ \mathrm{m}$： $V = \frac{0.178}{\frac{\pi}{4} \times 0.3^2} = 2.518\ \mathrm{m/s}$ $\frac{V^2}{2g} = \frac{2.518^2}{2 \times 9.81} = 0.3232\ \mathrm{m}$ 代入 $f = 0.02$、$L_{AB} = 1000\ \mathrm{m}$、$L_{BD} = 2000\ \mathrm{m}$： $h_{f,AB} = 0.02 \times \frac{1000}{0.3} \times 0.3232 = 21.55\ \mathrm{m}$ $h_{f,BD} = 0.02 \times \frac{2000}{0.3} \times 0.3232 = 43.09\ \mathrm{m}$

(二) 抽水機組消耗功率計算

1. 通式推導： 抽水總揚程 $H_p = \Delta z_{AB} + h_{f,AB}$。 抽水機組本身消耗之電功率（$\eta_p = 0.60$）：

核心觀念

本題考查流體力學與海岸水動力學中淺水波（Shallow Water Waves）​的傳播行為與波浪折射（Wave Refraction）​現象，核心觀念包含：

1. 淺水波速方程式（微幅波理論）： 當水深 $h$ 遠小於波長 $\lambda$（一般標準為 $h/\lambda < 0.05$ 或 $kh < \pi/10$）時，波浪受底床邊界強烈約束，波速（相速度 $c$）簡化為： $c = \sqrt{gh}$ 其中 $g$ 為重力加速度，$h$ 為局部水深。此式顯示：淺水波的波速僅由水深決定，且水深愈淺，波速愈慢（與波長、週期無關，屬無色散波）。

2. 波峰（波前）與波射線（傳遞方向）之幾何關係： 波前（Wave Crest / Wave Front）為等相位線，而波浪的行進與能量傳播方向（稱為波射線，Wave Ray）恆垂直正交於波前。

3. 波浪折射原理（Wave Refraction）： 同一個傾斜入射的波峰線上，不同位置的水深不同，造成行進速度各異。外海深水側傳播較快、靠岸淺水側傳播較慢，整體波峰線隨之旋轉偏向，本質上與波動光學之惠更斯原理（Huygens' Principle）​與斯乃爾定律（Snell's Law）​一致。

4. 淺化效應與碎波（Wave Shoaling & Breaking）： 波浪向岸傳播時頻率 $f$ 保持守恆，波速降低導致波長縮短，因能量守恆使波高迅速抬升，波陡達到極限時即發生潰波破碎。

解題方法

本題為定性與機理說明題，解題切入點應分為四個嚴謹步驟循序開展：

步驟一：分析水深分布與波速關係

設沙灘海岸線為直線，等深線大致與海岸線平行。外海至岸邊的水深漸變： $h_{\text{外海}} > h_{\text{近岸}}$ 根據淺水波速公式： $c = \sqrt{gh}$ 因 $g$ 為定值，可得波速為水深的嚴格遞增函數（$c \propto \sqrt{h}$）： $c_{\text{外海}} > c_{\text{近岸}}$

步驟二：同波前之不同點速度差導致轉向（折射機制）

如題目所述，數百公尺外的波浪行進方向因風向之故與沙灘呈斜交夾角：

1. 考慮同一個連續的波峰線（波前）：當其朝向沙灘逼近時，波峰線兩端必然處於不同的等深線位置。
2. 靠近沙灘側的一端率先進入淺水區，水深較淺（$h_1$），波速降為 $c_1 = \sqrt{gh_1}$。
3. 遠離沙灘側的一端仍位於較深海域，水深較深（$h_2 > h_1$），波速維持較快的 $c_2 = \sqrt{gh_2} > c_1$。
4. 在相同的時間間隔 $\Delta t$ 內，深水側前進的距離 $\Delta s_2 = c_2 \Delta t$ 顯著大於淺水側前進的距離 $\Delta s_1 = c_1 \Delta t$。
5. 外側前進快、內側前進慢的速度梯度差，迫使整個波峰線產生連續的逆時針／順時針向岸偏轉。

步驟三：波前平行於沙灘、傳播方向垂直於沙灘之收斂

根據波動折射之斯乃爾定律（Snell's Law）： $\frac{\sin\alpha_1}{c_1} = \frac{\sin\alpha_2}{c_2} = \text{常數}$ 其中 $\alpha$ 為波射線與等深線法線（垂直沙灘方向）之夾角，或等價為波峰線與等深線（平行沙灘方向）之夾角。 當波浪持續向沙灘前進時，水深 $h \to 0$，導致 $c \to 0$。由上式可知： $\sin\alpha \propto c \to 0 \implies \alpha \to 0^{\circ}$

• $\alpha \to 0^{\circ}$ 代表波峰線與海岸等深線之夾角趨近於 $0^{\circ}$，亦即波峰（波前）會慢慢轉向至幾乎平行於沙灘。