111 地方特考四等 環境工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考阿基米德原理：物體增加的重量，會使船多排開等重的水。船身下沉量為 $H$，因此增加的排水體積為船底面積乘以下沉量：

以淡水密度 $\rho=1{,}000\ \mathrm{kg/m^3}$ 計算，新增排水水質量為 $\rho\Delta V$，並須等於所承載物體的質量 $m$。

解題方法

物體載上船後，船增加的浮力為 $\rho g\Delta V$，平衡物體重量 $mg$：

約去重力加速度 $g$，解出船寬：

核心觀念

本題涵蓋「流體靜力學之應力特性」與「流體動力學之能量守恆條件」，為國家考試水利工程四等《流體力學概要》之經典基本題：

1. 流體靜力狀態受力特性：依牛頓黏性定律，流體內部之剪應力取決於速度梯度（變形率）。當流體處於靜止或無相對運動時，速度梯度為零，內部完全無剪應力，所有表面力皆退化為垂直作用的正應力（即靜水壓力）；外力系統則由表面力與體積力構成平衡。
2. 柏努力方程式（Bernoulli Equation）之本質：該方程式為動量守恆（歐拉運動方程式 Euler's equation）沿流線積分所得之機械能守恆式。積分過程對流體物性、流動型態與受力條件均有嚴格的簡化假設，考生需完整掌握其物理意義。

解題方法

本題為標準申論簡答題，作答時宜採「先分類、次定義、後列式」的架構，條理分明以利閱卷委員給分：

1. 子題(一)切入點：

• 將受力區分為「表面力（Surface forces）」與「體積力／質量力（Body forces）」。
• 深入說明剪應力消失（$\tau = 0$）之物理機制，指出表面力僅存「等向正應力」（帕斯卡定律）。
• 寫出靜力平衡微分方程式，展現學理深度。

2. 子題(二)切入點：

• 先列出柏努力方程式之標準能量頭形式：$\frac{P}{\gamma} + \frac{V^2}{2g} + z = \text{常數}$。
• 逐一剖析方程式於數學推導（沿流線對歐拉方程式空間積分）時所引入的四大必備物理假設，並補充無旋流（Irrotational flow）之拓展條件。

評分要點與作答分析

本題非選擇題，閱卷評分點集中在專有名詞的準確度與條件的完整性：

• 子題(一)評分關鍵：
• 是否明確指出**「剪應力為零（$\tau = 0$）」**。
• 是否區分表面力（靜水壓力）與體積力（重力）。
• 是否提及壓力作用方向恆垂直受力面且各向等值。
• 子題(二)評分關鍵：
• 四大基本條件缺一不可：穩態流、無黏性（理想流體）、不可壓縮流、沿同一流線。
• 補充說明無能量出入（無軸功或熱傳）及無旋流條件可獲得更高分數。

解題技巧與常見陷阱

1. 速記口訣：柏努力方程式四大假設可記為**「穩、不、無、線」**（穩態、不可壓縮、無黏性、沿流線）。
2. 常見扣分陷阱：

• 子題(一)許多考生僅回答「壓力」，漏掉了「重力」（體積力），或未說明「為何無剪應力」。
• 子題(二)容易漏寫「沿同一流線（Along a streamline）」。柏努力常數在不同流線上數值通常不同，唯有在「無旋流（Irrotational flow）」時，常數才通用於全流場。
• 混淆「無黏性（Inviscid）」與「不可壓縮（Incompressible）」：兩者分別代表摩擦力忽略與密度為常數，不可混為一談。

【答案】

(一) 流體處於靜力（static）狀態下之作用力敘明

當流體靜止或與相鄰流體粒子間無相對運動時，流體質點間之速度梯度為零（$\frac{du}{dy} = 0$）。此時流體承受的作用力可分為下列兩類：

核心觀念

能量線（Energy Line, EL）表示流體每單位重量的總水頭；水力坡降線（Hydraulic Grade Line, HGL）表示位置水頭與壓力水頭之和：

其中 $z$ 為位置水頭、$p/\gamma$ 為壓力水頭、$V^2/(2g)$ 為速度水頭，$\gamma$ 為流體單位重。因此：

對流動中的管段，EL 高於 HGL，兩線的垂直距離就是速度水頭。沿流向，能量因摩擦等損失而降低；若有泵或水輪機，能量線則會因加能或取能而改變。

解題方法

判斷管內壓力的正負，須比較該處管中心高程 $z$ 與 HGL。由 $\mathrm{HGL}=z+p/\gamma$ 可得：

核心觀念

1. 流體之連續力學定義： 在力學範疇中，物質分類為固體與流體，其分野在於對「剪應力（Shear Stress, $\tau$）」的抗抗與反應。流體（Fluid）包含液體（Liquid）與氣體（Gas），其本質特徵為：不論施加的剪應力多麼微小，只要受到剪應力作用，流體即無法維持靜止，而會持續不斷地產生變形（即「流動」）；反之，若處於靜止狀態，流體內部絕不允許剪應力存在（$\tau = 0$）。
2. 因次齊性定律（Law of Dimensional Homogeneity）： 自然界物理方程式描述客觀的物理規律，其成立條件不受人類所選定單位制的影響。該定律規定：任何在物理上具實質意義的齊次方程式，其等號兩側之所有獨立加減項，必須具有完全相同的因次（Dimensions）。此外，所有非代數運算子（如指數、對數、三角函數等超越函數）之引數（Arguments）皆必須為無因次純數。
3. 因次分析（Dimensional Analysis）與模型相似律： 因次齊性是「白金漢 $\Pi$ 定理（Buckingham $\Pi$ theorem）」的理論基石，廣泛應用於水利工程試驗（如水工模型縮尺比尺、阻力係數測定等）。

解題方法

本題為流體力學基礎申論題，答題架構應具備邏輯性與專業度：

1. 第 (一) 小題：

• 破題直接寫出力學上流體的公理化定義（剪應力與連續變形速率之關係）。
• 補充對比說明：固體受剪應力產生有限彈性形變，流體則產生持續不斷之形變速率（Deformation rate）。
• 點出推論：靜止狀態下的流體無剪應力，僅能承受正應力（即靜水壓力）。

2. 第 (二) 小題：

• 定律敘述：明確闡述方程式中各相加/相減項因次相等（$[A] = [B] = [C]$）以及引數無因次化的原則。
• 功用說明：分項列述「檢驗方程式正確性」、「單位制轉換」、「因次分析之基石（導出無因次參數）」及「推求物理常數因次」等四大實務功能。

解析與答題內容

(一) 何謂流體（fluid）

1. 力學定義： 流體是指只要受到任何剪應力（切應力）的作用，無論該剪應力多麼微小，皆無法維持靜力平衡，而會持續不斷地產生連續變形（流動，Flow）的物質。
2. 與固體之力學特性比較：

• 固體（Solid）：受剪應力作用時，會產生與應力大小對應的固定變形量（應變，Strain）；在彈性限度內，外力移除後會恢復原狀，外力維持固定時變形即停止。
• 流體（Fluid）：無法以靜態應變抵抗剪應力，剪應力的大小決定的是其「變形速率」（Strain rate 或 Shear rate，即 $\frac{d\theta}{dt}$ 或 $\frac{du}{dy}$），而非變形量本身。

3. 重要特性推論： 處於「靜止狀態（At rest）」的流體，其內部各點之剪應力必恆等於零（$\tau = 0$），靜止流體僅能承受垂直於接觸面的壓縮正應力（Normal compressive stress），即靜水壓力（Hydrostatic pressure）。

(二) 因次齊性定律與其功用

1. 因次齊性定律（Law of Dimensional Homogeneity）之敘明

• 內容陳述： 舉凡描述真實自然物理現象之方程式，其成立與否必定與所選用之量測單位系統（如 SI 制、英制、BG 制等）無關。因此，一個具備物理正確性的方程式，其等號兩邊之各個加減項（Additive terms），必須具備完全相同的基本因次組合。
• 數學結構表示： 若一物理方程式形式為： $A = B + C - D$ 則各項之因次符號必須滿足： $[A] = [B] = [C] = [D]$ （式中 $[ \cdot ]$ 代表因次，若以質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$ 為基本因次，則各項的因次指數必定完全吻合）。
• 超越函數之限制： 方程式中若含有指數函數（$e^x$）、對數函數（$\ln x$）、三角函數（$\sin x$、$\cos x$）等超越函數，其引數 $x$ 必須為「無因次量」（$[x] = M^0 L^0 T^0 = 1$）。

核心觀念

本題為明渠水力學（開渠均勻流）之經典計算題，考核重點涵蓋以下基本理論與公式：

1. 開渠均勻流（Uniform Flow）與幾何水力要素：

• 渠道通水斷面積（Area）：$A = b \cdot y$
• 潤周（Wetted Perimeter）：$P = b + 2y$（自由水面不計入潤周）
• 水力半徑（Hydraulic Radius）：$R = \frac{A}{P}$
• 水力深度（Hydraulic Depth）：$D = \frac{A}{T}$（矩形渠道自由液面寬度 $T = b$，故 $D = y$）

2. 曼寧公式（Manning's Formula）： 在公制（SI）單位下，均勻流速 $V$ 及體積流量 $Q$ 表示為： $V = \frac{1}{n} R^{2/3} S_0^{1/2}$ $Q = A \cdot V = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2}$ 其中 $n$ 為曼寧粗糙係數，$S_0$ 為渠底坡度。

3. 水流型態判別（Flow Regime）：

• 依慣性力與重力之比（主要判別）：以福祿數（Froude Number, $Fr$）劃分： $Fr = \frac{V}{\sqrt{gD}}$
• $Fr < 1$：次臨界流（亞臨界流、緩流，Subcritical Flow）
• $Fr = 1$：臨界流（Critical Flow）
• $Fr > 1$：超臨界流（急流，Supercritical Flow）
• 依慣性力與黏滯力之比（輔助判別）：以雷諾數（Reynolds Number, $Re$）劃分層流、過渡流或紊流。開渠水流通常以 $Re = \frac{V R}{\nu}$ 判斷，若 $Re > 500$（或以水力直徑 $4R$ 表示時 $Re > 2000$）即為紊流（Turbulent Flow）。

解題方法

1. 第一小題（流量計算）：

• 整理題目已知條件，注意單位一致性（將落差 $\mathrm{cm}$ 換算為 $\mathrm{m}$ 計算底坡 $S_0$）。
• 計算斷面幾何參數：斷面積 $A$、潤周 $P$ 與水力半徑 $R$。
• 代入公制曼寧公式，先求平均流速 $V$，再乘上斷面積 $A$ 得到總輸送流量 $Q$。

2. 第二小題（水流型態）：

• 水利工程考試中，開渠流之「水流型態」核心考點為重力波傳播特性的次臨界／超臨界判別。
• 計算水力深度 $D$（矩形渠道 $D = y$）與重力波速 $c = \sqrt{gD}$。
• 計算福祿數 $Fr = \frac{V}{\sqrt{gD}}$，根據 $Fr$ 與 $1$ 的大小關係作出結論。
• 補充說明雷諾數判定，以確保答題之嚴謹與完整度。

詳細計算步驟

(一) 該渠道之輸送水流流量

1. 基本資料整理：

• 渠道寬度：$b = 10\,\mathrm{m}$
• 正常水深：$y = 1\,\mathrm{m}$
• 曼寧係數：$n = 0.012$
• 渠底坡度：每 $100\,\mathrm{m}$ 下降 $10\,\mathrm{cm} = 0.1\,\mathrm{m}$ $S_0 = \frac{0.1\,\mathrm{m}}{100\,\mathrm{m}} = 0.001 = 1.0 \times 10^{-3}$

2. 幾何水力條件計算：

• 通水斷面積： $A = b \times y = 10\,\mathrm{m} \times 1\,\mathrm{m} = 10\,\mathrm{m^2}$
• 潤周： $P = b + 2y = 10 + 2(1) = 12\,\mathrm{m}$
• 水力半徑： $R = \frac{A}{P} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0.8333\,\mathrm{m}$

3. 應用曼寧公式求均勻流速 $V$： $V = \frac{1}{n} R^{2/3} S_0^{1/2}$ $V = \frac{1}{0.012} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{2/3} \times (0.001)^{1/2}$ 其中：