109 地方特考四等 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量平面運動鏈之**自由度（Degree of Freedom, DOF / Mobility）計算，核心工具為庫茲巴克準則（Kutzbach Criterion）**在平面機構之應用公式（亦常稱為格魯布勒公式 Grübler's Equation）：

$F = 3(N - 1) - 2J_1 - J_2$

式中各符號之定義如下：

1. $F$：機構的自由度（獨立輸入運動數）。
2. $N$：機構之總機件數（包含固定機架在內之所有構件）。
3. $J_1$：具有 $1$ 個相對自由度之運動對（低對，Lower Pair）總數。限制 $2$ 個相對運動自由度，保留 $1$ 個相對運動自由度。包含：

• 迴轉對（Revolute Pair / Turning Pair, R對）：僅允許相對轉動。
• 滑行對（Prismatic Pair / Sliding Pair, P對）：僅允許相對直線滑動。

4. $J_2$：具有 $2$ 個相對自由度之運動對（高對，Higher Pair）總數。限制 $1$ 個自由度，保留 $2$ 個相對運動自由度（如滾動兼滑動之凸輪對、齒輪齧合對）。

解題方法

本題為標準的參數代入型計算題，依據題目所給定之機件與運動對條件，循序代入公式求解：

步驟一：整理已知條件

• 總機件數：$N = 6$
• 迴轉對數：$5$ 個
• 滑行對數：$2$ 個
• 單自由度運動對總數（低對總數）：$J_1 = 5 + 2 = 7$
• 題目未提及高對（無點接觸或線接觸之凸輪、齒輪副），故高對數：$J_2 = 0$

步驟二：列式推導與計算 代入平面機構自由度公式：

$F = 3(N - 1) - 2J_1 - J_2$

將各參數數值代入：

$F = 3 \times (6 - 1) - 2 \times 7 - 0$

逐步計算：

$F = 3 \times 5 - 14$

核心觀念

本題旨在評量平面機構自由度（Degrees of Freedom, DOF，亦稱活動度 Mobility）之判定，其核心為庫茲巴赫準則（Kutzbach Criterion）（或廣義之顧步勒準則 Grübler's Criterion）。

1. 基本定義與符號：

• $N$：機構之機件（桿件）總數（包含機架）。
• $J_1$：具 1 個相對自由度之運動對數，即低對（Lower Pair）。每一對會拘束 2 個相對運動自由度，如：迴轉對（Revolute Pair，轉動對）、滑動對（Prismatic Pair）。
• $J_2$：具 2 個相對自由度之運動對數，即高對（Higher Pair）。齒面接觸為點或線接觸，容許相對轉動與沿切線之滑動，僅拘束沿法向之相對分離與穿透（拘束 1 個自由度），故齒輪對屬於高對。
• $F$：機構之總自由度。

2. 計算公式： 平面機構自由度計算公式為： $F = 3(N - 1) - 2J_1 - J_2$

解題方法

本題已知機件總數、迴轉對數及整體自由度，欲反求高對（齒輪對）之數量。具體步驟如下：

1. 整理題給已知條件：

• 機件總數：$N = 7$
• 迴轉對數（低對 $J_1$）：$J_1 = 6$
• 機構自由度：$F = 2$
• 設齒輪對數（高對 $J_2$）為 $J_2$

2. 代入平面機構自由度公式： $F = 3(N - 1) - 2J_1 - J_2$

核心觀念

本題主要測驗平面四連桿機構（Four-bar Linkage）之**葛拉索夫準則（Grashof's Law）**及其機構倒置（Kinematic Inversion）之運動特性判別：

1. 連桿組裝可行性（三角形不等式）： 封閉四連桿欲組裝成運動鏈，最長桿長度必須小於其餘三桿長度之和： $l < s + p + q$
2. 葛氏準則（Grashof's Criterion）： 設四連桿中最短桿長度為 $s$、最長桿長度為 $l$、其餘兩桿長度分別為 $p$ 與 $q$。 若滿足： $s + l \le p + q$ 則此運動鏈稱為葛氏運動鏈（Grashof Chain），代表機構中至少存在一根連桿能夠相對於其他連桿作 $360^\circ$ 之完全迴轉。
3. 葛氏機構之倒置型態判別：

• 固定最短桿之相鄰桿：最短桿為曲柄（可作 $360^\circ$ 全迴轉），對向桿為搖桿（僅能作一定角度往復擺動），構成曲柄搖桿機構（Crank-Rocker Mechanism）。
• 固定最短桿本身：與最短桿相鄰之兩桿皆可作完全迴轉，構成雙曲柄機構（Double-Crank Mechanism）（或稱轉動導桿機構）。
• 固定最短桿之對向桿：與固定桿相鄰之兩桿皆無法完全迴轉，僅能作擺動，構成雙搖桿機構（Double-Rocker Mechanism）（此時浮桿為最短桿，可作完全轉動）。

解題方法

第一子題：判斷該運動鏈為葛氏運動鏈之依據

1. 標定各連桿長度： 連桿依序首尾相接，環路順序為 $1 - 2 - 3 - 4 - 1$，長度分別為：

• $L_1 = 75\ \mathrm{mm}$
• $L_2 = 60\ \mathrm{mm}$
• $L_3 = 25\ \mathrm{mm}$
• $L_4 = 50\ \mathrm{mm}$

2. 找出極值桿長：

• 最短桿 $s = L_3 = 25\ \mathrm{mm}$
• 最長桿 $l = L_1 = 75\ \mathrm{mm}$
• 其餘兩桿 $p = L_2 = 60\ \mathrm{mm}$，$q = L_4 = 50\ \mathrm{mm}$

3. 幾何封閉性檢驗： $s + p + q = 25 + 60 + 50 = 135\ \mathrm{mm} > l = 75\ \mathrm{mm}$ 滿足四邊形封閉條件，可構成運動鏈。

4. 代入葛氏準則不等式：

• 最短桿與最長桿長度之和： $s + l = 25 + 75 = 100\ \mathrm{mm}$
• 其餘兩桿長度之和： $p + q = 60 + 50 = 110\ \mathrm{mm}$
• 比較兩者大小： $s + l < p + q \quad (100\ \mathrm{mm} < 110\ \mathrm{mm})$ 依據葛氏準則，當四連桿之最長桿與最短桿長度和「小於或等於」其餘兩桿長度和時，該運動鏈即為葛氏運動鏈。

第二子題：繪製所有可能的曲柄搖桿機構並標示位置

四連桿運動鏈以鉸鏈依序相接，環狀順序為連桿 1、2、3、4。最短桿為連桿 3（$25\ \mathrm{mm}$）。 欲形成「曲柄搖桿機構」，必須選取最短桿的相鄰連桿作為固定桿（機架）。與連桿 3 相鄰的連桿為連桿 2 與連桿 4，故共有 2 種可能的曲柄搖桿機構：

機構一：固定連桿 2（長度 $60\ \mathrm{mm}$）

• 各桿角色配置：
• 固定桿（機架 Frame）：連桿 2（長度 $60\ \mathrm{mm}$）
• 曲柄（Crank）：連桿 3（最短桿，長度 $25\ \mathrm{mm}$，與固定桿相鄰，可作 $360^\circ$ 連續迴轉）
• 浮桿（連桿 Coupler）：連桿 4（長度 $50\ \mathrm{mm}$）
• 搖桿（Rocker）：連桿 1（長度 $75\ \mathrm{mm}$，與固定桿相鄰，僅能作往復擺動）

核心觀念

本題評量皮帶輪傳動之皮帶張力基本定義與關係式。在皮帶輪傳動中，動力係藉由皮帶與輪面間之摩擦力傳遞，運轉時兩側皮帶張力不均等：

1. 緊邊張力（$F_1$）與鬆邊張力（$F_2$）： 受拉較緊之一側張力為 $F_1$，較鬆之一側張力為 $F_2$，且正常傳動下 $F_1 > F_2$。
2. 有效拉力（Effective Pull, $F_e$）： 又稱有效張力或有效切線力，為皮帶傳遞旋轉力矩之淨作用力，定義為兩側張力之差： $F_e = F_1 - F_2$
3. 總拉力（Total Pull, $F_t$）： 皮帶兩側承受之張力總和，定義為： $F_t = F_1 + F_2$

解題方法

本題為標準的聯立一元一次方程式（和差問題）求解。

步驟一：根據題意列出聯立方程式 已知有效拉力 $F_e = 100\ \mathrm{N}$，總拉力 $F_t = 250\ \mathrm{N}$，可列式如下：

步驟二：求解各邊張力 將式 $(1)$ 與式 $(2)$ 相加，消去 $F_2$： $(F_1 - F_2) + (F_1 + F_2) = 100 + 250$

核心觀念

本題考查帶輪無滑動傳動的轉速比，以及複合帶輪的角速度關係。皮帶與帶輪間不打滑時，接觸處的線速度相同，因此：

$N_aD_a=N_bD_b$

其中 $N$ 為轉速，$D$ 為帶輪直徑。帶輪 2 與帶輪 3 結合成一體，故兩者轉速相同：$N_2=N_3$。

解題方法

依圖，先由帶輪 4 經帶輪 3 求出帶輪 3 的轉速，再利用帶輪 2、3 同軸等速，求帶輪 1 的轉速。各帶輪直徑依序為 $D_1=10$ cm、$D_2=25$ cm、$D_3=6$ cm、$D_4=15$ cm。

帶輪 3 與 4 以皮帶傳動：

$N_3D_3=N_4D_4$

核心觀念

本題考核齒輪機構學中齒形齒廓曲線（Tooth Profile）之幾何特性與工程應用比較，核心觀念涵蓋：

1. 齒輪嚙合基本定律（Law of Gearing）：嚙合齒廓在任意接觸點之公法線，必須恆通過兩節圓連心線上的固定點（節點 $P$），以保持瞬時角速度比為常數，即 $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1} = \text{常數}$。
2. 漸開線齒形（Involute Tooth Profile）特性：

• 漸開線為一直線在基圓上滾動而不滑動時，直線上任一點之運動軌跡。
• 接觸線（作用線）為兩基圓之內公切線，恆為一直線，其與節圓公切線之夾角即為壓力角 $\phi$。
• 漸開線齒條（Rack）之齒廓為平直之直線。

3. 擺線齒形（Cycloidal Tooth Profile）特性：

• 擺線為圓（滾圓）在另一圓外部或內部滾動而不滑動時，滾圓圓周上任一點所描繪之曲線（外擺線為齒冠、內擺線為齒根）。
• 作用線為兩滾圓之相交圓弧，嚙合時之壓力角隨接觸位置持續變動。
• 擺線齒條之齒廓為擺線曲線，非直線。

解題方法

本題要求列舉「漸開線齒形相較於擺線齒形之三個優點」，應從機構運動特性、機械加工製造與工程標準化互換三大核心維度切入論述：

1. 運動學維度（中心距靈活性）：分析中心距若產生安裝或製造誤差時，兩者能否維持等角速度比傳動。
2. 製造加工維度（刀具幾何與成本）：比較基準齒條（Basic Rack）之幾何線條對切削刀具（如滾刀、齒條刀）製造成本與加工精度的影響。
3. 互換與受力維度（標準化與軸承負荷）：分析同模數、同壓力角下的配對通用性，以及作用線為直線所帶來的恆定壓力角特性對軸承運轉的穩定效益。

選項分析

本題為申論問答題，非選擇題。針對漸開線與擺線齒形的特性對照剖析如下：

核心觀念

本題評量標準正齒輪（Spur Gear）基本幾何參數的定義與計算能力，主要包含以下核心公式：

1. 節圓直徑（Pitch Diameter, $D$）與節圓半徑（Pitch Radius, $R$）： $D = m \cdot T$ $R = \frac{D}{2} = \frac{m \cdot T}{2}$ 其中 $m$ 為模數（Module），$T$ 為齒數（Teeth Number）。

2. 外齒輪中心距（Center Distance, $C$）： 一對標準外齒輪於標準安裝時，其中心距等於兩齒輪節圓半徑之和： $C = R_1 + R_2 = \frac{D_1 + D_2}{2} = \frac{m(T_1 + T_2)}{2}$

3. 周節（Circular Pitch, $p_c$）： 沿節圓圓周測量相鄰兩齒同側齒廓間的弧長： $p_c = \pi \cdot m$ 一對相互正確嚙合的齒輪，其模數 $m$ 及周節 $p_c$ 必定相等。

4. 基圓半徑（Base Circle Radius, $R_b$）： 漸開線齒形的生成基礎圓半徑，與節圓半徑 $R$ 及壓力角（Pressure Angle, $\phi$）之關係為： $R_b = R \cdot \cos\phi$

解題方法

已知條件：

• 模數 $m = 4\text{ mm}$
• 壓力角 $\phi = 20^\circ$
• 小齒輪齒數 $T_1 = 24$
• 大齒輪齒數 $T_2 = 48$

步驟一：求中心距 $C$

小齒輪與大齒輪之節圓直徑分別為： $D_1 = m \cdot T_1 = 4 \times 24 = 96\text{ mm}$ $D_2 = m \cdot T_2 = 4 \times 48 = 192\text{ mm}$

外齒輪對之中心距為兩節圓半徑之和： $C = \frac{D_1 + D_2}{2} = \frac{96 + 192}{2} = 144\text{ mm}$ （亦可直接代入 $C = \frac{m(T_1 + T_2)}{2} = \frac{4 \times (24 + 48)}{2} = 144\text{ mm}$）

步驟二：求小齒輪的周節 $p_c$

由周節定義式計算： $p_c = \pi \cdot m = 4\pi\text{ mm} \approx 12.57\text{ mm}$ （取 $\pi \approx 3.1416$）

核心觀念

本題評量齒輪機構的基本傳動原理與幾何關係，涉及以下核心觀念與公式：

1. 齒輪嚙合條件：兩標準漸開線齒輪能正常嚙合，其模數（$m$）與壓力角（$\phi$）必須相同。因此環齒輪 B 的模數與外齒輪 A 相同，即 $m = 4\ \mathrm{mm}$。
2. 轉速比與齒數關係：齒輪傳動的轉速比與齒數（或節徑）成反比： $\frac{N_A}{N_B} = \frac{T_B}{T_A}$ 式中 $N$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$），$T$ 為齒數。
3. 內嚙合齒輪之中心距：環齒輪（Annular gear）即內齒輪（Internal gear），外齒輪與環齒輪的嚙合型式為「內嚙合」。兩軸之中心距 $C$ 為兩節圓半徑之差（大圓半徑減小圓半徑）： $C = r_B - r_A = \frac{d_B - d_A}{2} = \frac{m(T_B - T_A)}{2}$ 式中 $r$ 為節圓半徑，$d$ 為節圓直徑。

解題方法

步驟一：求齒輪 A 與 B 的齒數比

已知齒輪 A 轉速 $N_A = 2400\ \mathrm{rpm}$，齒輪 B 轉速 $N_B = 600\ \mathrm{rpm}$。 根據轉速與齒數成反比之關係： $\frac{T_B}{T_A} = \frac{N_A}{N_B} = \frac{2400}{600} = 4$ 可得兩齒輪之齒數關係式： $T_B = 4T_A \quad \text{--- (式 1)}$

步驟二：利用中心距推導齒輪 A 之齒數

齒輪 A 為外齒輪，齒輪 B 為環齒輪（內齒輪），兩者為內嚙合系統。 已知中心距 $C = 180\ \mathrm{mm}$，模數 $m = 4\ \mathrm{mm}$。 代入內嚙合齒輪之中心距公式： $C = \frac{m(T_B - T_A)}{2}$