109 地方特考四等 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

核心觀念

配合的餘隙以「孔徑減軸徑」計算：

結果為正值表示有餘隙；結果為負值表示有干涉，其絕對值就是干涉量。最大餘隙由最大孔徑配最小軸徑求得；最小餘隙由最小孔徑配最大軸徑求得。

（一）求最大與最小餘隙

孔徑 $A$ 的尺寸範圍為：

軸徑 $B$ 的尺寸範圍為：

最大餘隙取最大孔徑配最小軸徑：

最小餘隙取最小孔徑配最大軸徑：

（二）$29H7$ 與 $29k6$ 配合

依題目所附公差表，基本尺寸 $29\text{ mm}$ 使用「超過 $24$ 至 $30\text{ mm}$」尺寸級距：

• $29H7$ 孔：下偏差 $0\ \mu\text{m}$，上偏差 $+21\ \mu\text{m}$。
• $29k6$ 軸：下偏差 $+2\ \mu\text{m}$，上偏差 $+15\ \mu\text{m}$。

換算為尺寸範圍：

最小餘隙為：

核心觀念

本題考辨幾何公差框格中「幾何特徵符號、容許值、基準」各自代表的意義。讀圖時先辨認框格左側的符號，再看公差值與是否標有基準字母；箭頭則指出受控制的特徵。

解題方法與各小題說明

（一）位置度，公差值 $\varnothing 0.3$

位置度控制受指示特徵的位置。圖中的方框尺寸 $50$、$100$ 是基本尺寸，用來確定理論正確位置；$\varnothing 0.3$ 表示位置公差帶為直徑 $0.3$ 的圓柱形區域，受控制特徵的軸線或中心須落在公差帶內。圖中未見清楚的基準字母，實際定位所依據的基準仍須依圖面指定的基準特徵判讀。

（二）圓跳動，公差值 $0.1$，基準為 $D$

此符號為圓跳動。以基準特徵 $D$ 建立旋轉軸線，工件繞該軸旋轉一周時，在指定截面測得的徑向跳動不得超過 $0.1$。圓跳動是逐截面檢測；若符號為全跳動，控制方式才會涵蓋整個表面。

（三）平行度，公差值 $0.1$

此符號表示平行度，控制圖中箭頭所指表面或軸線相對基準方向的平行程度，公差值為 $0.1$。掃描圖中此框格的基準標註未能清楚辨識；實際檢驗時須依原圖指定的基準面或基準軸判定平行關係。

（四）圓柱度，公差值 $0.02$

此符號表示圓柱度，控制箭頭所指圓柱表面的整體形狀。該表面須位於兩個同軸圓柱面所形成、徑向間距為 $0.02$ 的公差帶內。圓柱度是形狀公差，不需基準。

（五）面輪廓度，公差值 $0.02$

核心觀念

本題評量機械元件在二維平面應力（Plane Stress）狀態下的應力轉換與破壞準則應用，核心包含兩大重點：

1. 主應力（Principal Stresses）計算： 在平面應力元素中，當剪應力為零之截面所承受的法向應力即為主應力。利用應力轉換公式或莫爾圓（Mohr's Circle）幾何關係求得： $\sigma_{1, 2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
2. 最大法向應力破壞理論（Maximum Normal Stress Theory，簡稱 MNST 或 Rankine 理論）： 此理論主張：當材料內部承受的最大主應力達到或超過單軸拉伸之降伏強度（或容許應力）時，材料即發生破壞（降伏）。安全準則為： $\sigma_1 \le \sigma_{\text{allow}} = \frac{S_y}{n}$ 或定義實際安全係數 $n_{\text{act}} = \frac{S_y}{\sigma_1} \ge n$。

解題方法

（一）主應力值計算

已知應力狀態為： $\sigma_x = 10\ \mathrm{MPa},\quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa},\quad \tau_{xy} = 5\ \mathrm{MPa}$

1. 平均法向應力（莫爾圓圓心座標 $\sigma_{\text{avg}}$）： $\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{10 + 20}{2} = 15\ \mathrm{MPa}$

2. 最大面內剪應力（莫爾圓半徑 $R$）： $R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{10 - 20}{2}\right)^2 + 5^2} = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\ \mathrm{MPa} \approx 7.07\ \mathrm{MPa}$

3. 面內主應力值（$\sigma_1, \sigma_2$）：

• 第一主應力（最大法向應力）： $\sigma_1 = \sigma_{\text{avg}} + R = 15 + 5\sqrt{2} \approx 22.07\ \mathrm{MPa}$
• 第二主應力（最小面內法向應力）： $\sigma_2 = \sigma_{\text{avg}} - R = 15 - 5\sqrt{2} \approx 7.93\ \mathrm{MPa}$

4. 三維主應力完整表示： 本題為平面應力狀態（$\sigma_z = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$），第三主應力 $\sigma_3 = 0\ \mathrm{MPa}$。三向主應力依大小排列為： $\sigma_1 = 22.07\ \mathrm{MPa},\quad \sigma_2 = 7.93\ \mathrm{MPa},\quad \sigma_3 = 0\ \mathrm{MPa}$

（二）安全性評估與理由

已知條件：

• 材料降伏強度 $S_y = 30\ \mathrm{MPa}$
• 設計要求之安全係數 $n = 1.5$

1. 計算容許應力（Allowable stress）： $\sigma_{\text{allow}} = \frac{S_y}{n} = \frac{30}{1.5} = 20\ \mathrm{MPa}$

2. 安全性判定依據： 依據最大法向應力理論，材料承受的最大主應力不得超過容許應力： $\sigma_{\max} = \sigma_1 = 22.07\ \mathrm{MPa}$

比較兩者大小： $\sigma_1 = 22.07\ \mathrm{MPa} > \sigma_{\text{allow}} = 20\ \mathrm{MPa}$

若以實際安全係數（$n_{\text{act}}$）檢核： $n_{\text{act}} = \frac{S_y}{\sigma_1} = \frac{30}{22.07} \approx 1.36 < 1.5$

3. 結論與理由： 此時不安全。因為材料內部的最大主應力（$22.07\ \mathrm{MPa}$）已超過設計所允許的容許應力（$20\ \mathrm{MPa}$），致使實際安全係數僅約 $1.36$，未達規範所要求的安全係數 $1.5$。

選項分析

核心觀念

本題考皮帶制動器的三個關係：

• 皮帶包覆角 $\theta$：由皮帶與輪面的接觸弧決定，代入摩擦公式時須用弧度。
• 緊邊與鬆邊張力：$\dfrac{F_{\text{緊}}}{F_{\text{鬆}}}=e^{\mu\theta}$。
• 槓桿力矩平衡：以槓桿支點取矩，支點處的反力不產生力矩。

圖中皮帶的 $F_2$ 端接在槓桿支點，$F_1$ 端作用於距支點約 $r$ 的位置；外力 $F$ 的力臂為 $l_1$。輪子順時針轉動時，右側的 $F_1$ 端為緊邊，$F_2$ 端為鬆邊。

解題方法

（一）求包覆角 $\theta$

支點位於輪心正下方，輪心至支點的距離為 $l_2=30\ \mathrm{cm}$；輪心至皮帶切點的半徑為 $r=15\ \mathrm{cm}$。由半徑垂直於切線，輪心、切點與支點構成直角三角形。

設輪心至支點的向下垂線與切點半徑的夾角為 $\alpha$，則

由圖可知，皮帶從輪子右側切點沿上方及左側包覆至左下方切點，因此包覆角為

所以

（二）求皮帶張力 $F_1$、$F_2$

以槓桿支點取矩。$F_2$ 作用線通過支點，不產生力矩；$F_1$ 的力臂為 $r=15\ \mathrm{cm}$，外力 $F$ 的力臂為 $l_1=40\ \mathrm{cm}$。力矩平衡為

代入 $F=150\ \mathrm{N}$：

順時針轉動時，$F_1$ 為緊邊張力、$F_2$ 為鬆邊張力。使用皮帶張力關係：

因此

核心觀念

螺旋扣的把手滑件相當於同時與兩根螺桿嚙合的旋轉螺帽。把手轉一周時，每根螺桿相對滑件的軸向移動量等於該螺紋的導程：

• 單螺紋：導程 $L=p$。
• 雙螺紋：導程 $L=2p$。

相對位移須比較兩根螺桿各自的移動量：同方向移動時取導程差，反方向移動時取導程和。

解題方法

取軸向向右為正。把手由右側看順時針轉一周時，左旋螺桿相對滑件移動 $-L$，右旋螺桿相對滑件移動 $+L$。令兩根螺桿的位移分別為 $\Delta x_l$、$\Delta x_r$，則右螺桿相對左螺桿的位移為：

（一）左右皆為左旋單螺紋：

因此兩螺桿的相對位移量為 $1\ \mathrm{mm}$，右螺桿相對左螺桿向右移。

（二）左旋單螺紋、右旋雙螺紋：

左螺桿的導程為 $2\ \mathrm{mm}$；右螺桿的導程為 $2p_r=2\ \mathrm{mm}$。