107 地方特考四等 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

核心觀念

1. 尺寸公差累積（Tolerance Stack-up / Accumulation）： 在機械設計與工程製圖（CNS / ISO 規範）中，封閉尺寸鏈（Dimension Chain）之公差遵循累積原理。若某一尺寸非直接標註，而係由數個獨立加工尺寸經由幾何加減關係間接求得，依極值法（最差情況法，Worst-Case Method）：

• 組成尺寸之公差會線性相加，造成合成尺寸之公差帶擴大。
• 若基本尺寸為 $L_i$，上下對稱公差為 $\pm t_i$，則合成尺寸之累積總公差為各組成尺寸公差之總和： $T_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{n} t_i$
• 合成尺寸之極大值為所有加環取尺寸上限、減環取尺寸下限；極小值為所有加環取尺寸下限、減環取尺寸上限。

2. 尺寸標註之三種配置形式與特性：

• 直接標註（功能尺寸標註）：直接對有裝配配合需求之特徵標示尺寸與公差。公差不累積，變異最小。
• 基線標註（基準標註，Baseline Dimensioning）：所有特徵尺寸皆自同一基準面引出。各尺寸相對於基準面無公差累積，但任兩特徵間之相對距離會累積兩道基準尺寸之公差。
• 鏈式標註（串聯標註，Chain Dimensioning）：尺寸連續頭尾相接。相鄰特徵間之尺寸無累積公差，但兩端總長度會累積所有串聯環節之公差。
• 間接標註（封閉環省略功能尺寸標註）：特徵間距未直接標註，而由零件總長扣除兩端邊距求得。其累積了整體外形與兩端定位尺寸之所有公差，公差累積環節最多。

3. 功能尺寸原則與配合設計： 零件上直接影響與配對件裝配、定位與運轉之尺寸稱為「功能尺寸（Functional Dimension）」。設計者必須優先對功能尺寸進行直接標註，避免非功能特徵（如外緣毛胚面）之加工誤差累積轉嫁至裝配特徵上。

解題方法

本題考卷原頁之圖形掃描檔未包含於題目文字中，依題旨與公職國考經典考題設定各分圖標註為：圖 (a) 採鏈式標註，左端至孔 $A$ 為 $20 \pm 0.1\text{ mm}$、$AB$ 兩孔中心距標示為 $60 \pm 0.1\text{ mm}$、孔 $B$ 至右端為 $20 \pm 0.1\text{ mm}$；圖 (b) 採左端為基準之基線標註，左端至孔 $A$ 標示為 $20 \pm 0.1\text{ mm}$、左端至孔 $B$ 標示為 $80 \pm 0.1\text{ mm}$、孔 $B$ 至右端標示為 $20 \pm 0.1\text{ mm}$；圖 (c) 採兩端定位與總長標註，左端至孔 $A$ 標示為 $20 \pm 0.1\text{ mm}$、右端至孔 $B$ 標示為 $20 \pm 0.1\text{ mm}$、零件總長度標示為 $100 \pm 0.1\text{ mm}$。

(一) 孔 $A$ 與孔 $B$ 間距離 $AB$ 的範圍推導與標註配置評估

1. 各分圖兩孔中心距 $AB$ 之範圍計算：

• 圖 (a)： $AB$ 為直接標示尺寸，無尺寸公差累積： $AB_{(a)} = 60 \pm 0.1\text{ mm}$ 最大距離：$AB_{(a),\max} = 60 + 0.1 = 60.1\text{ mm}$ 最小距離：$AB_{(a),\min} = 60 - 0.1 = 59.9\text{ mm}$ 其範圍為：$59.9\text{ mm} \le AB_{(a)} \le 60.1\text{ mm}$（變異幅度為 $0.2\text{ mm}$）。

• 圖 (b)： $AB$ 由左端基準至孔 $B$ 扣除左端基準至孔 $A$ 求得： $AB_{(b)} = L_{\text{Left}\to B} - L_{\text{Left}\to A} = (80 \pm 0.1) - (20 \pm 0.1)$ 最大距離（被減數取最大、減數取最小）： $AB_{(b),\max} = 80.1 - 19.9 = 60.2\text{ mm}$ 最小距離（被減數取最小、減數取最大）： $AB_{(b),\min} = 79.9 - 20.1 = 59.8\text{ mm}$ 即 $AB_{(b)} = 60 \pm 0.2\text{ mm}$，其範圍為：$59.8\text{ mm} \le AB_{(b)} \le 60.2\text{ mm}$（變異幅度為 $0.4\text{ mm}$）。

• 圖 (c)： $AB$ 由總長度扣除左端至孔 $A$ 及右端至孔 $B$ 之尺寸求得： $AB_{(c)} = L_{\text{total}} - L_{\text{Left}\to A} - L_{\text{Right}\to B} = (100 \pm 0.1) - (20 \pm 0.1) - (20 \pm 0.1)$ 最大距離（總長取最大、兩端距取最小）： $AB_{(c),\max} = 100.1 - 19.9 - 19.9 = 60.3\text{ mm}$ 最小距離（總長取最小、兩端距取最大）： $AB_{(c),\min} = 99.9 - 20.1 - 20.1 = 59.7\text{ mm}$ 即 $AB_{(c)} = 60 \pm 0.3\text{ mm}$，其範圍為：$59.7\text{ mm} \le AB_{(c)} \le 60.3\text{ mm}$（變異幅度為 $0.6\text{ mm}$）。

2. 配合兩軸時之設計評估與理由：

• 最適合之標註：圖 (a) 理由：
• 符合功能尺寸直接標註準則：兩孔與另一零件雙軸配合時，兩孔中心距 $AB$ 屬於直接決定組裝成敗之關鍵「功能尺寸」。

核心觀念

1. 梁之純彎曲應力公式（Flexure Formula）： 一均勻實心圓軸受彎矩 $M$ 作用時，軸外表面處產生最大彎曲正應力 $\sigma$： $\sigma = \frac{M y_{\max}}{I} = \frac{M (D/2)}{\frac{\pi D^4}{64}} = \frac{32 M}{\pi D^3} = \frac{M}{Z}$ 其中 $D$ 為軸直徑，$Z = \frac{\pi D^3}{32}$ 為圓軸斷面模數（Section Modulus）。

2. 畸變能失效理論（Distortion Energy Theory, DET / von Mises Yield Criterion）： 圓軸外表層處於單軸正應力狀態（$\sigma_x = \sigma$，$\sigma_y = 0$，$\tau_{xy} = 0$），主應力為 $\sigma_1 = \sigma$、$\sigma_2 = 0$、$\sigma_3 = 0$。 其等效應力（von Mises Effective Stress）$\sigma'$ 為： $\sigma' = \sqrt{\frac{1}{2} [(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2]} = \sqrt{\sigma^2} = |\sigma|$ 在純彎曲單軸應力狀態下，畸變能等效應力大小即等於最大彎曲正應力（$\sigma' = \sigma$）。

3. 靜態負載安全係數（Factor of Safety, $n$）： $n = \frac{S_y}{\sigma'} = \frac{S_y}{\sigma} = \frac{\pi D^3 S_y}{32 |M|}$ 當 $n \ge 1$ 時，代表材料未達降伏點，符合靜態設計之安全條件；若 $n < 1$，則材料發生塑性降伏，結構失效。

4. 結構最弱處判定與改良原則： 均勻實心軸之斷面模數 $Z$ 為常數，故應力大小完全取決於彎矩絕對值 $|M|$。彎矩最大處即為應力最高、安全係數最低之處（最脆弱截面）。改善方向包含調整尺寸幾何（加粗軸徑、階梯軸、增大圓角）、提升材料強度（提高 $S_y$）與調整載重跨距。

解題方法

本題題文提及附有 $M$-$x$ 彎矩圖，惟題文未載明圖中 $A$、$B$、$C$ 三處之彎矩讀數，明確指出缺少原卷附圖中三點之彎矩數值 $M_A$、$M_B$、$M_C$；以下先推導通用解析式，並依國家考試該題型之典型彎矩分佈設定代表性數值（設 $M_A = 300\ \mathrm{N\cdot m}$、$M_B = 600\ \mathrm{N\cdot m}$、$M_C = 450\ \mathrm{N\cdot m}$）進行完整計算與定案解析。

(一) 計算 $A$、$B$ 及 $C$ 三處之最大彎曲應力與安全係數

1. 計算實心圓軸之斷面模數 $Z$： 已知軸徑 $D = 30\ \mathrm{mm} = 0.03\ \mathrm{m}$： $Z = \frac{\pi D^3}{32} = \frac{\pi \times (0.03\ \mathrm{m})^3}{32} = \frac{2.7 \times 10^{-5} \pi}{32}\ \mathrm{m}^3 \approx 2.6507 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}^3 = 2650.7\ \mathrm{mm}^3$

2. 建立應力與安全係數通用公式：

• 最大彎曲應力： $\sigma = \frac{|M|}{Z} = \frac{|M|}{2.6507 \times 10^{-6}}\ \mathrm{Pa} = 0.37725 \times |M|\ \mathrm{MPa} \quad (M\text{ 單位為 }\mathrm{N\cdot m})$
• 畸變能理論等效應力： $\sigma' = \sigma$
• 安全係數（已知降伏強度 $S_y = 669\ \mathrm{MPa}$）： $n = \frac{S_y}{\sigma'} = \frac{669\ \mathrm{MPa}}{\sigma}$

3. 代入各點數值計算：

• $A$ 處（$M_A = 300\ \mathrm{N\cdot m}$）： $\sigma_A = \frac{300\ \mathrm{N\cdot m}}{2.6507 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}^3} = 113.18 \times 10^6\ \mathrm{Pa} = 113.18\ \mathrm{MPa}$ $n_A = \frac{669\ \mathrm{MPa}}{113.18\ \mathrm{MPa}} \approx 5.91$
• $B$ 處（$M_B = 600\ \mathrm{N\cdot m}$）： $\sigma_B = \frac{600\ \mathrm{N\cdot m}}{2.6507 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}^3} = 226.35 \times 10^6\ \mathrm{Pa} = 226.35\ \mathrm{MPa}$ $n_B = \frac{669\ \mathrm{MPa}}{226.35\ \mathrm{MPa}} \approx 2.96$
• $C$ 處（$M_C = 450\ \mathrm{N\cdot m}$）： $\sigma_C = \frac{450\ \mathrm{N\cdot m}}{2.6507 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}^3} = 169.77 \times 10^6\ \mathrm{Pa} = 169.77\ \mathrm{MPa}$

核心觀念

本題考查滾動接觸軸承（Rolling Contact Bearing）在 90% 可靠度（基本額定壽命 $L_{10}$）下的負載與壽命關係式（Load-Life Relationship）：

$F L^{1/a} = \text{常數} \quad \Longleftrightarrow \quad L \propto \left( \frac{1}{F} \right)^a$

式中壽命指數（Life-load exponent）$a$ 取決於滾動體與軌道面的接觸型式：

1. 滾珠軸承（Ball Bearing）：幾何形狀為點接觸（Point Contact），壽命指數取： $a = 3$
2. 滾柱軸承（Roller Bearing）：幾何形狀為線接觸（Line Contact），壽命指數取： $a = \frac{10}{3} \approx 3.33$

解題方法

(一) 滾珠軸承之負載變化

1. 確立指數： 滾珠軸承為點接觸，取 $a = 3$，代入負載與壽命關係式： $F L^{1/3} = \text{常數}$

2. 建立狀態方程式： 設原負載為 $F_1$、原壽命為 $L_1$；變化後負載為 $F_2$、變化後壽命為 $L_2 = 2L_1$： $F_1 L_1^{1/3} = F_2 L_2^{1/3}$

3. 求解負載比值： $\frac{F_2}{F_1} = \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^{1/3} = \left( \frac{L_1}{2L_1} \right)^{1/3} = \left( \frac{1}{2} \right)^{1/3} = 2^{-1/3}$

數值計算： $2^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \approx \frac{1}{1.2599} \approx 0.7937$

即該軸承的負載需降低為原來的 $2^{-1/3}$ 倍（約 $0.794$ 倍，相當於負載降低約 $20.6\%$）。

(二) 滾柱軸承之壽命變化

1. 確立指數： 滾柱軸承為線接觸，取 $a = \frac{10}{3}$，代入負載與壽命關係式：

核心觀念

本題主要測驗「機械設計」與「機構學」中關於回歸齒輪系（Reverted Gear Train）​的幾何尺寸、傳動速比與傳動動力分析：

1. 正齒輪節圓直徑與中心距公式：

• 節圓直徑：$d = m \times T$（其中 $m$ 為模數，$T$ 為齒數）。
• 兩外接正齒輪之標準中心距： $C = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{m(T_1 + T_2)}{2}$

2. 回歸齒輪系之幾何共軸條件：

• 輸入軸與輸出軸在同一直線上，兩對嚙合齒輪的中心距必須相等，即 $C_{AB} = C_{CD}$。

3. 輪系值（Train Value）與轉速比：

• 定軸輪系之傳動比由各嚙合齒輪對之齒數反比連續相乘而得： $e = \frac{N_{\mathrm{out}}}{N_{\mathrm{in}}} = \frac{N_D}{N_A} = \left(-\frac{T_A}{T_B}\right) \times \left(-\frac{T_C}{T_D}\right)$

4. 傳動功率、轉矩與切線力：

• 理想無摩擦傳動下功率守恆，功率 $P$、轉矩 $T_q$、節線速度 $V$ 與切線力 $F_t$ 的關係為： $P = T_q \times \omega = T_q \times \left(\frac{2\pi N}{60}\right) = F_t \times V$ $V = \frac{\pi d N}{60}$ $F_t = \frac{P}{V} = \frac{T_q}{r} = \frac{2 T_q}{d}$

解題方法

第一部分：求齒輪 $B$ 與 $D$ 的齒數

1. 齒輪 $B$ 的齒數 $T_B$： 由齒輪 $A$ 與 $B$ 的中心距關係式： $C_{AB} = \frac{m(T_A + T_B)}{2}$ 代入題目已知數據 $C_{AB} = 120\ \mathrm{mm}$、$m = 2\ \mathrm{mm}$、$T_A = 24$： $120 = \frac{2(24 + T_B)}{2} = 24 + T_B$ $T_B = 120 - 24 = 96\ \text{齒}$

2. 齒輪 $D$ 的齒數 $T_D$： 由齒輪 $C$ 與 $D$ 的中心距關係式： $C_{CD} = \frac{m(T_C + T_D)}{2}$ 代入題目已知數據 $C_{CD} = 120\ \mathrm{mm}$、$m = 2\ \mathrm{mm}$、$T_C = 30$： $120 = \frac{2(30 + T_D)}{2} = 30 + T_D$ $T_D = 120 - 30 = 90\ \text{齒}$

第二部分：求輸出軸的轉速 $N_{\mathrm{out}}$（即齒輪 $D$ 之轉速 $N_D$）

1. 中間軸（齒輪 $B$ 與 $C$ 同軸）之轉速： $N_B = N_A \times \frac{T_A}{T_B} = 1200 \times \frac{24}{96} = 1200 \times \frac{1}{4} = 300\ \mathrm{rpm}$ 因齒輪 $B$ 與 $C$ 固接於同一中間軸上，轉速相同： $N_C = N_B = 300\ \mathrm{rpm}$

2. 輸出軸之轉速 $N_D$： $N_D = N_C \times \frac{T_C}{T_D} = 300 \times \frac{30}{90} = 300 \times \frac{1}{3} = 100\ \mathrm{rpm}$ （以總輪系值計算：$e = \frac{T_A}{T_B} \times \frac{T_C}{T_D} = \frac{24}{96} \times \frac{30}{90} = \frac{1}{12}$，故 $N_{\mathrm{out}} = 1200 \times \frac{1}{12} = 100\ \mathrm{rpm}$；經兩次外嚙合反向，輸出轉向與輸入轉向相同。）

第三部分：求作用在齒輪 $A$ 與 $D$ 的切線力