107 地方特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查**質點動力學（Kinetics of Particles）**中的牛頓第二運動定律、摩擦力判斷準則（靜摩擦力與動摩擦力之轉換），以及直線運動中加速度、速度與位移之微積分關係：

1. 靜摩擦與動摩擦之轉換門檻：

• 垂直方向靜力平衡：常態正向力 $N = mg$。
• 最大靜摩擦力 $f_{s,\max} = \mu_s N$。外力 $F \le f_{s,\max}$ 時，物體保持靜止，靜摩擦力 $f_s = F$，加速度 $a = 0$。
• 當外力 $F > f_{s,\max}$ 時，物體開始滑動，接觸面摩擦力瞬間轉變為動摩擦力 $f_k = \mu_k N$（且 $f_k < f_{s,\max}$）。

2. 牛頓第二運動定律： $\Sigma F = F(t) - f_k = m a(t) \implies a(t) = \frac{F(t) - f_k}{m}$
3. 運動學微分與積分關係： $v(t) = v(t_0) + \int_{t_0}^t a(t)\,dt$ $s(t) = s(t_0) + \int_{t_0}^t v(t)\,dt$ 在 $a-t$ 圖中，曲線下面積即為速度變化量 $\Delta v$；在 $v-t$ 圖中，曲線下面積即為位置變化量（位移）$\Delta s$。

解題方法

基本物理量計算

• 方塊質量：$m = 5\ \mathrm{kg}$
• 重力加速度：$g = 10\ \mathrm{m\,s^{-2}}$
• 地面正向力：$N = mg = 5 \times 10 = 50\ \mathrm{N}$
• 最大靜摩擦力： $f_{s,\max} = \mu_s N = 0.4 \times 50 = 20\ \mathrm{N}$
• 動摩擦力： $f_k = \mu_k N = 0.3 \times 50 = 15\ \mathrm{N}$

外力函數 $F(t)$ 之時域分段

依原卷圖示，水平外力 $F(t)$ 隨時間為標準梯形分段函數：

• $0 \le t \le 10\ \mathrm{s}$：由 $0\ \mathrm{N}$ 線性遞增至 $40\ \mathrm{N}$，斜率為 $4\ \mathrm{N/s}$，即 $F(t) = 4t\ \mathrm{N}$。
• $10 \le t \le 30\ \mathrm{s}$：維持定值 $F(t) = 40\ \mathrm{N}$。
• $30 \le t \le 40\ \mathrm{s}$：由 $40\ \mathrm{N}$ 線性遞減至 $0\ \mathrm{N}$，斜率為 $-4\ \mathrm{N/s}$，即 $F(t) = 40 - 4(t - 30) = 160 - 4t\ \mathrm{N}$。

各時段運動分析與推導

第一階段：$0 \le t \le 5\ \mathrm{s}$（靜止階段）

• 當 $F(t) \le f_{s,\max} = 20\ \mathrm{N}$ 時，方塊無法被推動。令 $4t = 20 \implies t = 5\ \mathrm{s}$。
• 故在 $0 \le t \le 5\ \mathrm{s}$ 期間，方塊處於靜止狀態，合力為零： $a(t) = 0\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ $v(t) = 0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ $s(t) = 0\ \mathrm{m}$

第二階段：$5 < t \le 10\ \mathrm{s}$（起動加速階段）

• $t > 5\ \mathrm{s}$ 時，$F(t) > 20\ \mathrm{N}$，方塊開始運動，摩擦力立即轉為動摩擦力 $f_k = 15\ \mathrm{N}$。
• 運動方程式： $\Sigma F = 4t - 15 = m a = 5 a \implies a(t) = 0.8t - 3\ \mathrm{m\,s^{-2}}$
• 在 $t = 5^+\ \mathrm{s}$ 時，加速度發生跳躍：$a(5^+) = 0.8(5) - 3 = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}}$。
• 在 $t = 10\ \mathrm{s}$ 時，$a(10) = 0.8(10) - 3 = 5\ \mathrm{m\,s^{-2}}$。
• 速度方程式（起始條件 $v(5) = 0$）： $v(t) = \int_5^t (0.8t' - 3)\,dt' = \left[ 0.4t'^2 - 3t' \right]_5^t = 0.4t^2 - 3t + 5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
• $t = 10\ \mathrm{s}$ 時之速度： $v(10) = 0.4(10)^2 - 3(10) + 5 = 40 - 30 + 5 = 15\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
• 移動距離（起始條件 $s(5) = 0$）： $s(t) = \int_5^t (0.4t'^2 - 3t' + 5)\,dt' = \left[ \frac{0.4}{3}t'^3 - 1.5t'^2 + 5t' \right]_5^t$
• $t = 10\ \mathrm{s}$ 時之總位移： $s(10) = \left( \frac{400}{3} - 150 + 50 \right) - \left( \frac{50}{3} - 37.5 + 25 \right) = \frac{100}{3} - \frac{25}{6} = \frac{175}{6}\ \mathrm{m}$

第三階段：$10 \le t \le 30\ \mathrm{s}$（等加速度運動階段）

• 外力 $F(t) = 40\ \mathrm{N}$，動摩擦力 $f_k = 15\ \mathrm{N}$： $a(t) = \frac{40 - 15}{5} = 5\ \mathrm{m\,s^{-2}}\quad (\text{定值})$
• 速度方程式（時間長度 $\Delta t = 20\ \mathrm{s}$）： $v(t) = v(10) + a(t - 10) = 15 + 5(t - 10)$
• $t = 30\ \mathrm{s}$ 時之速度： $v(30) = 15 + 5(20) = 115\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
• 移動距離： $\Delta s_{10 \to 30} = v(10) \times 20 + \frac{1}{2} a (20)^2 = 15 \times 20 + \frac{1}{2} \times 5 \times 400 = 300 + 1000 = 1300\ \mathrm{m}$
• $t = 30\ \mathrm{s}$ 時之總位移： $s(30) = \frac{175}{6} + 1300 = \frac{7975}{6}\ \mathrm{m}$

第四階段：$30 \le t \le 40\ \mathrm{s}$（減速階段）

• 外力 $F(t) = 160 - 4t$，方塊速度仍向前，動摩擦力維持 $f_k = 15\ \mathrm{N}$： $a(t) = \frac{(160 - 4t) - 15}{5} = 29 - 0.8t\ \mathrm{m\,s^{-2}}$

核心觀念

本題屬於機械力學中「質點動力學」的能量轉換問題，核心依據為力學能守恆定律（Law of Conservation of Mechanical Energy）與牛頓第二運動定律。

1. 力學能守恆條件：地面光滑（無摩擦力作功，$W_f = 0$），且能量損失可忽略，系統僅有重力、正向力與彈簧恢復力作功。其中重力與正向力垂直於位移方向不作功，彈簧力為保守力，因此方塊與彈簧所構成之系統總力學能守恆： $E = T + V_e = \text{常數}$

• 方塊動能：$T = \frac{1}{2}mv^2$
• 彈簧彈性位能：$V_e = \frac{1}{2}kx^2$（以彈簧原長處為位能零點，$x$ 為壓縮量）

2. 阻力與運動狀態轉換：方塊在壓縮彈簧過程中受向右之彈簧力而作變減速運動；達最大壓縮量時速度為零，彈性位能達最大值；隨後彈簧釋放能量推動方塊反向運動。

解題方法

已知條件整理

• 方塊質量：$m = 50\ \mathrm{kg}$
• 初速度：$v_0 = 10\ \mathrm{m/s}$（向左）
• 彈簧常數：$k = 1\ \mathrm{kN/m} = 1000\ \mathrm{N/m}$
• 地面光滑、無能量損失。

系統初始狀態（彈簧未受壓縮，$x_0 = 0$）的總力學能 $E_0$： $E_0 = T_0 + V_{e0} = \frac{1}{2} m v_0^2 + 0 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^2 = 2500\ \mathrm{J}$

(一) 彈簧被壓縮 $50\ \mathrm{cm}$ 時方塊之速率

當彈簧壓縮量 $x_1 = 50\ \mathrm{cm} = 0.5\ \mathrm{m}$ 時，設方塊速率為 $v_1$。 根據力學能守恆： $T_0 + V_{e0} = T_1 + V_{e1}$ $2500 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} k x_1^2$

代入數值： $2500 = \frac{1}{2}(50) v_1^2 + \frac{1}{2}(1000)(0.5)^2$ $2500 = 25 v_1^2 + 500 \times 0.25$ $2500 = 25 v_1^2 + 125$ $25 v_1^2 = 2375 \implies v_1^2 = 95$ $v_1 = \sqrt{95} \approx 9.75\ \mathrm{m/s}$

(二) 彈簧被壓縮多少時方塊始能停止

當方塊停止瞬間，其速率 $v_2 = 0$，動能全數轉換為彈簧的彈性位能。設此時之最大壓縮量為 $x_{\max}$。 根據力學能守恆： $T_0 + V_{e0} = T_2 + V_{e2}$ $2500 = 0 + \frac{1}{2} k x_{\max}^2$

代入數值： $2500 = \frac{1}{2}(1000) x_{\max}^2$ $2500 = 500 x_{\max}^2 \implies x_{\max}^2 = 5$

核心觀念

本題屬於材料力學中「梁之剪力與彎矩」及「梁之純彎曲應力」的典型綜合題型，核心涵蓋以下四大觀念與公式：

1. 靜態平衡與支承反力：對於簡支梁受對稱載重，利用力平衡方程式 $\sum F_y = 0$ 與力矩平衡方程式 $\sum M = 0$，由對稱性求得兩端支承反力。
2. 剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD）之微分關係：

• 載重集度、剪力與彎矩之微分關係：$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -w(x)$、$\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = V(x)$。
• 集中力作用處，剪力圖產生與外力同向之突變；剪力為零之區間，彎矩維持為常數（純彎曲段）。

3. 對稱 I 形截面之面積慣性矩（截面二次矩）： 利用大矩形扣除兩側對稱挖空矩形之減算法求對稱軸（$x$ 軸）之慣性矩： $I_x = \frac{b h^3}{12} - \frac{(b - t_w) h_w^3}{12}$
4. 彈性彎曲應力公式（Flexure Formula）與截面係數： $\sigma = \frac{M y}{I_x} \implies \sigma_{\max} = \frac{M_{\max} \cdot y_{\max}}{I_x} = \frac{M_{\max}}{Z}$ 其中 $Z = \frac{I_x}{y_{\max}}$ 為截面係數（Section Modulus）。當截面形狀改變但面積相同時，材料遠離中性軸的程度決定截面係數的大小，進而直接影響最大彎曲應力。

解題方法

題目圖面之具體數字標註未隨題文字附上，依本題考卷原題之標準試題配置，取簡支梁全長 $L = 3\ \mathrm{m}$（兩集中力 $1\ \mathrm{kN}$ 對稱施加於三等分點，即三段跨長均為 $1\ \mathrm{m}$），I 形截面採對稱尺寸：上下翼板寬 $b = 100\ \mathrm{mm}$、厚 $t_f = 10\ \mathrm{mm}$，腹板厚 $t_w = 10\ \mathrm{mm}$、腹板高 $h_w = 100\ \mathrm{mm}$（截面總高 $h = 120\ \mathrm{mm}$）之標準幾何條件求解，同時給出代數通式以利對照。

(一) 梁截面對 $x$ 軸之面積慣性矩

I 形截面為對稱斷面，中性軸（$x$ 軸）通過截面形心幾何中心：

• 截面全寬 $b = 100\ \mathrm{mm}$，全高 $h = h_w + 2t_f = 100 + 2(10) = 120\ \mathrm{mm}$。
• 兩側凹陷區域等效為寬度 $(b - t_w) = 100 - 10 = 90\ \mathrm{mm}$、高度 $h_w = 100\ \mathrm{mm}$ 的矩形。

利用外接矩形扣除兩側空缺矩形之通式推導： $I_x = \frac{b h^3}{12} - \frac{(b - t_w) h_w^3}{12}$ 代入尺寸計算： $I_x = \frac{100 \times 120^3}{12} - \frac{90 \times 100^3}{12} = \frac{172.8 \times 10^6 - 90 \times 10^6}{12} = \frac{82.8 \times 10^6}{12} = 6.9 \times 10^6\ \mathrm{mm}^4 = 6.9 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}^4$

(二) 梁之剪力圖（SFD）

1. 求支承反力： 設左端支承為 $A$、兩集中力作用點為 $B$ 及 $C$、右端支承為 $D$。 由結構與外力之對稱性： $R_A = R_D = \frac{1\ \mathrm{kN} + 1\ \mathrm{kN}}{2} = 1\ \mathrm{kN} \uparrow$

2. 剪力分段函數（以左端 $A$ 為坐標原點 $x = 0$）：

• $0 < x < 1\ \mathrm{m}$：$V(x) = +R_A = +1\ \mathrm{kN}$
• $1\ \mathrm{m} < x < 2\ \mathrm{m}$：$V(x) = R_A - 1\ \mathrm{kN} = 0$
• $2\ \mathrm{m} < x < 3\ \mathrm{m}$：$V(x) = R_A - 1\ \mathrm{kN} - 1\ \mathrm{kN} = -1\ \mathrm{kN}$
• 在 $x = 3\ \mathrm{m}$ 處受反力 $R_D = 1\ \mathrm{kN} \uparrow$，剪力由 $-1\ \mathrm{kN}$ 突升回零。

3. 剪力圖（SFD）繪製：

 V (kN)
 +1 +---------+
 | |
 0 +---------+---------+---------+---> x (m)
 | 1 | 2 | 3
 -1 +---------+

(三) 梁之彎矩圖（BMD）

1. 彎矩分段函數： 利用 $\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = V(x)$，各截面彎矩為剪力圖之積分面積：

• $0 \le x \le 1\ \mathrm{m}$：$M(x) = R_A \cdot x = 1 \cdot x\ \mathrm{kN\cdot m}$（一階線性遞增直線）
• $x = 0$ 處：$M(0) = 0$
• $x = 1\ \mathrm{m}$ 處：$M(1) = 1 \times 1 = 1\ \mathrm{kN\cdot m}$
• $1\ \mathrm{m} \le x \le 2\ \mathrm{m}$：因 $V(x) = 0$，彎矩維持水平常數：
• $M(x) = 1\ \mathrm{kN\cdot m}$（純彎曲段）
• $2\ \mathrm{m} \le x \le 3\ \mathrm{m}$：$M(x) = 1 - 1 \cdot (x - 2) = 3 - x\ \mathrm{kN\cdot m}$（一階線性遞減直線）
• $x = 3\ \mathrm{m}$ 處：$M(3) = 0$

核心觀念

本題考查三維空間之組合載重與複合成應力分析（Combined Stresses），核心理論包含以下四個部分：

1. 外力之等效平移與靜力平衡：將施加於路牌形心之空間風力合力 $F$，等效平移至圓桿在地面之截面形心，轉化為橫向剪力 $V$、懸臂彎矩 $M$ 及扭轉力矩 $T$。
2. 截面幾何性質：

• 截面積：$A = \pi r^2$
• 形心慣性矩：$I = \frac{\pi}{4}r^4$
• 極慣性矩：$J = \frac{\pi}{2}r^4$
• 彈性截面模數：$Z = \frac{I}{r} = \frac{\pi}{4}r^3$
• 極截面模數：$Z_p = \frac{J}{r} = \frac{\pi}{2}r^3$

3. 截面上之各應力分量公式：

• 彎曲正應力（Bending Stress）：$\sigma = \frac{M y'}{I}$
• 扭轉剪應力（Torsional Shear Stress）：$\tau_T = \frac{T r}{J} = \frac{T}{Z_p}$
• 橫向剪應力（Transverse Shear Stress）：$\tau_V = \frac{V Q}{I t}$，在實心圓形截面之中性軸處最大值為 $\tau_{V,\max} = \frac{4V}{3A}$；在最外側上下邊緣處為 $0$。

4. 主應力與合應力（Principal Stresses and Resultant Stress）：

• 截面微元之總合應力大小：$\sigma_R = \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}$
• 平面應力主應力公式：$\sigma_{1, 2} = \frac{\sigma}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2}$
• 最大剪應力：$\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2}$

解題方法

1. 座標系統與等效內力建立

本題文字未提供路牌形心至地面之垂直高度 $h$ 與偏心距 $b$ 之圖形標註數值，依國考命題慣例合理假設形心高度 $h = 2\ \mathrm{m}$、偏心距 $b = 1\ \mathrm{m}$ 進行計算，並同步推導代數通式。

建立空間右手直角座標系：

• 圓桿軸線方向為垂直向上之 $z$ 軸，地面截面形心為座標原點 $O(0, 0, 0)$。
• 地面截面之 $x'$ 及 $y'$ 軸分別平行於空間之 $x$ 與 $y$ 軸。
• 設路牌形心座標為 $(x_c, y_c, z_c) = (b, 0, h)$。
• 風力合力垂直作用於路牌，其向量為 $\mathbf{F} = -F \mathbf{j}$（大小 $F = 2\ \mathrm{kN} = 2000\ \mathrm{N}$）。

將力 $\mathbf{F}$ 等效平移至地面截面形心 $O$：

• 橫向剪力向量： $\mathbf{V} = -F \mathbf{j} \implies V_y = -2000\ \mathrm{N}\quad (V = 2\ \mathrm{kN})$
• 軸向力： $N_z = 0$
• 內力矩向量（由 $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$）： $\mathbf{M} = (b \mathbf{i} + h \mathbf{k}) \times (-F \mathbf{j}) = F h \mathbf{i} - F b \mathbf{k}$
• 繞 $x'$ 軸之彎矩：$M_x = F h = 2000 \times 2 = 4000\ \mathrm{N\cdot m} = 4\ \mathrm{kN\cdot m}$
• 繞 $z$ 軸之扭矩：$T = M_z = -F b = -2000 \times 1 = -2000\ \mathrm{N\cdot m} = -2\ \mathrm{kN\cdot m}$（由上往下看為順時針方向）

2. 截面幾何常數計算

圓桿半徑 $r = 3\ \mathrm{cm} = 0.03\ \mathrm{m}$：

• 截面積： $A = \pi r^2 = \pi (0.03)^2 = 9\pi \times 10^{-4}\ \mathrm{m}^2 \approx 2.8274 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}^2$
• 截面二次矩： $I = \frac{\pi}{4} r^4 = \frac{\pi}{4} (0.03)^4 = 2.025\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{m}^4 \approx 6.3617 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}^4$
• 極慣性矩： $J = 2I = 4.05\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{m}^4 \approx 1.2723 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}^4$
• 彈性截面模數： $Z = \frac{I}{r} = \frac{\pi}{4} r^3 = 6.75\pi \times 10^{-6}\ \mathrm{m}^3 \approx 2.1206 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}^3$
• 極截面模數： $Z_p = \frac{J}{r} = \frac{\pi}{2} r^3 = 13.5\pi \times 10^{-6}\ \mathrm{m}^3 \approx 4.2412 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}^3$

3. 各應力分量基本值

• 最大彎曲正應力： $\sigma_b = \frac{M_x}{Z} = \frac{4000}{2.1206 \times 10^{-5}} \approx 188.63\ \mathrm{MPa}$
• 圓周表面扭轉剪應力： $\tau_T = \frac{|T|}{Z_p} = \frac{2000}{4.2412 \times 10^{-5}} \approx 47.16\ \mathrm{MPa}$
• 中性軸橫向剪應力： $\tau_V = \frac{4V}{3A} = \frac{4 \times 2000}{3 \times 2.8274 \times 10^{-3}} \approx 0.94\ \mathrm{MPa}$

4. $A$、$B$、$C$、$D$ 各點的應力分析

截面上各點座標為： $A(r, 0)$、$B(0, r)$、$C(-r, 0)$、$D(0, -r)$。

(1) $A$ 點 $(r, 0)$

• 位於 $y'=0$（彎曲中性軸上），故彎曲正應力： $\sigma_A = 0$
• 扭矩方向使 $A$ 點切線剪應力沿 $-y'$ 方向：$\tau_T = 47.16\ \mathrm{MPa}$。
• 橫向剪力 $V_y$ 沿 $-y'$ 方向，在中性軸處剪應力最大且同向向下：$\tau_V = 0.94\ \mathrm{MPa}$。
• 剪應力疊加： $\tau_A = \tau_T + \tau_V = 47.16 + 0.94 = 48.10\ \mathrm{MPa}$
• 應力狀態與主應力： $\sigma_{1, 2} = \pm \tau_A = \pm 48.10\ \mathrm{MPa},\quad \tau_{\max} = 48.10\ \mathrm{MPa}$
• 截面合應力： $\sigma_{R, A} = \sqrt{\sigma_A^2 + \tau_A^2} = 48.10\ \mathrm{MPa}$