113 地方特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查「剛體靜力平衡」及「平行力系合力作用線」：

1. 平板靜止，因此滿足 $\sum F_z=0,\qquad \sum M_x=0,\qquad \sum M_y=0$
2. 均質正方形平板的重量作用於幾何中心。
3. 三根纜繩皆為鉛直方向，故三個張力皆為鉛直向上： $W=mg=20(9.81)=196.2\ \mathrm{N}$

令平板左前角為座標原點，取 $x$ 軸由前方指向後方，$y$ 軸由左方指向右方，則各點座標為：

單位皆為 $\mathrm{mm}$，平板重心為

設三根纜繩張力分別為 $T_A,T_B,T_C$。

解題方法

1. 垂直方向力平衡

因此

2. 對 $x$ 軸取力矩

鉛直力對 $x$ 軸的力矩臂為各力的 $y$ 座標，因此

代入 $W=196.2\ \mathrm{N}$：

由式 $(1)$、$(2)$ 得

核心觀念

本題考查：

1. 動滑輪的纜繩長度約束。
2. 無摩擦系統的機械能守恆。
3. 斜面方向的重力位能變化。

圖中兩斜面夾角為 $90^\circ$，滑塊 $A$ 的斜角為 $20^\circ$，因此滑塊 $B$ 的斜角為

纜繩位移關係

動滑輪與滑塊 $B$ 一起移動，因此 $B$ 的移動會使兩段繩長同時改變。

設滑塊 $A$ 沿斜面向上移動 $s_A=2\ \mathrm{m}$，滑塊 $B$ 沿斜面向下移動 $s_B$，由纜繩長度不變：

所以

速度關係同樣為

因此

由於 $m_B$ 較重，實際運動方向為：$B$ 沿斜面向下，帶動 $A$ 沿斜面向上。

機械能守恆

滑塊 $A$ 上升 $2\ \mathrm{m}$，其高度增加量為

滑塊 $B$ 下降 $1\ \mathrm{m}$，其高度減少量為

初始靜止，因此初動能為零。重力位能減少量等於末動能：

核心觀念

本題採用複合面積法，將斜線面積分解為：

1. 外部膠囊形面積：中央矩形加上左右兩個半圓。
2. 扣除右側中空圓孔。

由圖可知：

• 外部半圓半徑為 $a$。
• 中空圓孔的直徑為 $a$，故孔半徑為 $r=\frac a2$
• 圓孔中心位於 $(a,0)$。
• 外部膠囊形面積關於 $x$ 軸對稱，因此各部分形心的 $y$ 座標皆為 $0$。

使用公式：

$\bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}$

$I=I_G+Ad^2$

其中中空圓孔視為負面積。

（一）斜線面積形心的 $x$ 座標

外部膠囊形由中央矩形及兩個半圓組成，其總面積為

$A_o=(2a)(2a)+\pi a^2=(4+\pi)a^2$

外部形狀關於 $y$ 軸對稱，因此其形心位於

$x_o=0$

中空圓孔面積為

$A_h=\pi\left(\frac a2\right)^2=\frac{\pi a^2}{4}$

其形心位置為

$x_h=a$

扣除圓孔後：

因此

$\boxed{\bar{x}=-\frac{\pi a}{16+3\pi}}$

負號表示扣除右側圓孔後，剩餘斜線面積的形心向左偏移。

（二）斜線面積對 $x$ 軸的面積慣性矩

1. 外部膠囊形對 $x$ 軸的慣性矩

中央矩形尺寸為 $2a\times 2a$，因此

左右兩個半圓的直徑皆位於 $x$ 軸上，依題目提示：

所以外部膠囊形：

2. 扣除圓孔對 $x$ 軸的慣性矩

圓孔中心位於 $x$ 軸上，不需使用平行軸定理。圓形對通過圓心之水平軸的慣性矩為

$I_{x,h}=\frac{\pi r^4}{4}$

代入 $r=a/2$：

因此斜線面積對 $x$ 軸：

$I_x=I_{x,o}-I_{x,h}$

核心觀念

薄壁圓桶壓力容器受內壓時，壁面主要承受兩個互相垂直的平面應力：

• 環向應力（箍應力）$\sigma_\theta$
• 軸向應力（縱向應力）$\sigma_z$

再利用平面應力轉換公式，求銲縫方向所對應截面上的正向應力與剪應力。

圖中銲縫與圓桶縱軸夾角為

解題方法

1. 薄壁圓桶的環向應力與軸向應力

已知：

薄壁圓桶的環向應力為

因此

軸向應力為

因此

薄壁假設下，徑向應力相對於上述兩個應力甚小，予以忽略。

2. 垂直於銲縫的平面正向應力

取垂直於銲縫的截面，其法線方向與銲縫方向一致。銲縫方向與圓桶縱軸夾角為 $\alpha$，因此應力轉換式為

代入 $\alpha=60^\circ$：