108 地方特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗機械工程領域中**工程單位換算（Unit Conversion）與量綱概念（Dimensional Analysis）**的應用，特別是英制單位（Imperial/English Units）與公制單位（Metric/SI Units）在內燃機引擎規格中的對應關係。涉及的核心定義與換算關係如下：

1. 功率（Power）：

• 英制馬力（$\text{HP}$）：$1\text{ HP} = 550\text{ ft}\cdot\text{lb/s} \approx 745.7\text{ W} = 0.7457\text{ kW}$（工程計算常取 $746\text{ W}$）。
• 公制馬力（$\text{PS}$，法德制）：$1\text{ PS} = 75\text{ kgf}\cdot\text{m/s} \approx 735.5\text{ W}$。
• 轉速（$\text{rpm}$）：公制工程實務仍普遍使用 $\text{rpm}$（$\text{rev/min}$，每分鐘旋轉圈數）；在國際標準單位（SI）中，角速度以 $\text{rad/s}$ 表示。

2. 扭矩（Torque）：

• 扭矩之量綱為「力 $\times$ 長度」。
• $1\text{ ft} = 0.3048\text{ m}$，$1\text{ lb}$（磅力，$\text{lbf}$）$\approx 4.44822\text{ N} \approx 0.4536\text{ kgf}$。
• 換算關係：$1\text{ ft-lb} \approx 1.3558\text{ N}\cdot\text{m} \approx 0.1383\text{ kgf}\cdot\text{m}$。

3. 缸徑與衝程（Bore & Stroke）：

• 長度單位換算：$1\text{ in} = 2.54\text{ cm} = 25.4\text{ mm}$。

4. 排氣量（Displacement）：

• 容積單位換算：$\text{cid}$ 即 $\text{cubic inch displacement}$（立方吋）。
• $1\text{ in}^3 = (2.54\text{ cm})^3 = 16.387064\text{ cm}^3 = 16.387\text{ c.c.}$。
• 公制標準常用單位為公升（$\text{L}$）或立方公分（$\text{c.c.}$ / $\text{cm}^3$）。

5. 壓縮比（Compression Ratio, $CR$）：

• 定義為汽缸最大容積（下死點容積）與最小容積（上死點／燃燒室容積）之比值： $CR = \frac{V_d + V_c}{V_c}$
• 因分子與分母之因次完全相同，為無因次量（Dimensionless Quantity），數值不因單位制不同而改變。

解題方法

依序將題目所列之五項英制規格換算為公制單位：

1. 馬力（Horsepower）：$265\text{ HP @ } 2,600\text{ rpm}$

• 換算為 SI 標準制（$\text{kW}$）： $P = 265\text{ HP} \times 0.7457\text{ kW/HP} = 197.61\text{ kW}$ （若採近似常數 $1\text{ HP} = 0.746\text{ kW}$ 計算，則為 $265 \times 0.746 = 197.69\text{ kW}$）
• 換算為工程公制馬力（$\text{PS}$）： $P = \frac{197.61\text{ kW}}{0.7355\text{ kW/PS}} = 268.67\text{ PS}$
• 引擎規格之轉速標示維持為 $2,600\text{ rpm}$（若換算為 SI 角速度：$\omega = \frac{2,600 \times 2\pi}{60} = 272.27\text{ rad/s}$）。

2. 扭矩（Torque）：$548\text{ ft-lb @ } 1,800\text{ rpm}$

• 換算為 SI 標準制（$\text{N}\cdot\text{m}$）： $T = 548\text{ ft-lb} \times 1.3558\text{ N}\cdot\text{m/ft-lb} = 742.98\text{ N}\cdot\text{m} \approx 743.0\text{ N}\cdot\text{m}$
• 換算為重力公制（$\text{kgf}\cdot\text{m}$）： $T = \frac{742.98\text{ N}\cdot\text{m}}{9.80665\text{ N/kgf}} = 75.76\text{ kgf}\cdot\text{m}$
• 引擎規格之轉速標示維持為 $1,800\text{ rpm}$（角速度：$\omega = \frac{1,800 \times 2\pi}{60} = 188.50\text{ rad/s}$）。

3. 缸徑與衝程（Bore & Stroke）：$4.34'' \times 4.50''$

• 缸徑（Bore）：

核心觀念

纜線各段之水平拉力分量相同，記為 $H$。每個中間吊掛點受到向下 $2\ \mathrm{kN}$ 的拉力，因此纜線在該點左右兩段的垂直分力相差 $2\ \mathrm{kN}$。

令每段纜線的斜率為 $m_i=\Delta y_i/1.8$，向右上升為正。由於各中間吊掛點的荷重相同，相鄰段斜率的差也相同：

圖中的 $d_A=1.5\ \mathrm{m}$，且 $d_C=2.7\ \mathrm{m}$；基準水平線通過 $F$，所以可取 $y_A=-1.5\ \mathrm{m}$、$y_C=-2.7\ \mathrm{m}$、$y_F=0$。

解題方法

令相鄰斜率差為 $q=2/H$。五段纜線 $AB、BC、CD、DE、EF$ 的斜率依序為

由 $A$ 到 $C$ 有兩段水平距離：

因此

由 $C$ 到 $F$ 有三段水平距離：

因此

聯立得

核心觀念

本題考固定滑輪與理想繩索所連接物體的牛頓第二運動定律。假設繩索無質量、不可伸長，滑輪無摩擦，則同一條繩索各處張力相同，繩長不變也使兩端物體的加速度大小相同、方向相反。

解題方法

（一）令 $150\ \mathrm{kg}$ 物體向上、$200\ \mathrm{kg}$ 物體向下為正方向。設繩索張力為 $T$，加速度大小為 $a$：

兩式相加消去張力：

代入 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：

因此，$150\ \mathrm{kg}$ 物體加速度向上。

（二）右圖的自由端受向下外力 $200g$，理想繩索中張力等於該外力：

核心觀念

簡支梁先由整體平衡求支承反力，再依集中力位置分段計算剪力與彎矩。剪力圖在集中力處跳變；彎矩圖的斜率等於剪力，因此各段為直線。矩形斷面彎曲正向應力使用 $\sigma_{\max}=M_{\max}/S$，其中截面係數 $S=bh^2/6$。

解題方法

取 $A$ 點為 $x=0$，由圖可讀出跨距 $AD=2.4\ \mathrm{m}$；$B$、$C$ 分別距 $A$ 點 $0.8\ \mathrm{m}$、$1.6\ \mathrm{m}$。集中力為 $1.8\ \mathrm{kN}$ 與 $3.6\ \mathrm{kN}$，皆向下。

由垂直力平衡：

$R_A+R_D=1.8+3.6=5.4\ \mathrm{kN}$

對 $A$ 點取力矩：

$R_D(2.4)-1.8(0.8)-3.6(1.6)=0$

因此：

$R_D=3.0\ \mathrm{kN},\qquad R_A=2.4\ \mathrm{kN}$

（一）剪力圖與彎矩圖

以向上剪力為正、正彎矩為下凹彎矩。各區段剪力如下：

• $A$ 至 $B$：$V=+2.4\ \mathrm{kN}$
• $B$ 至 $C$：$V=2.4-1.8=+0.6\ \mathrm{kN}$
• $C$ 至 $D$：$V=2.4-1.8-3.6=-3.0\ \mathrm{kN}$

剪力圖的關鍵跳變為：$A$ 點由 $0$ 跳至 $+2.4$；$B$ 點下降 $1.8$ 至 $+0.6$；$C$ 點下降 $3.6$ 至 $-3.0$；$D$ 點上升 $3.0$ 回到 $0$。

由彎矩等於剪力圖面積，計算各關鍵位置彎矩：

$M_A=0$

$M_B=2.4(0.8)=1.92\ \mathrm{kN\cdot m}$

$M_C=1.92+0.6(0.8)=2.40\ \mathrm{kN\cdot m}$

$M_D=2.40-3.0(0.8)=0$

彎矩圖各點連成直線，座標為：

核心觀念

本題考查馬達功率與轉軸扭矩的關係，以及圓形實心軸在扭轉下的最大剪應力。

馬達輸出功率與扭矩的關係為

圓形實心軸的最大剪應力為

其中 $T$ 為扭矩、$d$ 為軸徑，且實心圓軸的極慣性矩為 $J=\frac{\pi d^4}{32}$。

解題方法

先由轉速求角速度，再由功率求轉軸傳遞的扭矩。接著令最大剪應力等於容許剪應力，反求所需軸徑。

將轉速換算為角速度：

由 $P=T\omega$ 得

將扭矩換算為 $\mathrm{N\cdot mm}$：