111 地方特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

此題考平面剛體的靜力平衡，以及無摩擦滑輪與理想繩索的張力關係：

• 梁平衡時，滿足 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$。
• 繩索質量忽略、滑輪無摩擦，因此同一條繩索各處張力大小相同，均為 $T$。
• 圖示斜繩的水平、垂直方向比例為 $1:1$，故斜繩與水平夾角為 $45^\circ$，其分量各為 $T/\sqrt{2}$。

解題方法

**自由體圖：**取整根水平梁為分析物體。梁上有：

• A 點銷接反力 $A_x$、$A_y$。
• 距 A 點 $3\,\text{m}$ 的 B 點，繩索向上拉力 $T$。
• 距 A 點 $5\,\text{m}$ 的斜繩拉力，方向向左上，分量為水平向左 $T/\sqrt{2}$、垂直向上 $T/\sqrt{2}$。
• C 點距 A 點 $7\,\text{m}$，懸掛重物向下作用力 $W=mg$。

以 $g=9.81\,\text{m/s}^2$ 計算，重物重量為

**取 A 點力矩求張力：**A 點反力不產生力矩；斜繩的水平分力沿梁作用，也不產生力矩。因此：

核心觀念

將水平構件與斜構件視為一個整體剛體，利用平面剛體的平衡條件：

套筒 A 可沿垂直導桿滑動，導桿光滑，因此 A 不提供垂直反力；套筒可限制構件轉動，故 A 有水平反力與反力矩。B 為滾輪支承，只提供垂直反力。

解題方法

**自由體圖：**將整體構件切離支承，標出 A 點水平反力 $A_x$、反力矩 $M_A$，以及 B 點垂直反力 $B_y$。外力為距 A 點 $2\,\text{m}$ 處向下的 $2\,\text{kN}$，並有順時針力偶 $1\,\text{kN}\cdot\text{m}$。

幾何上，A 至斜構件起點為 $4\,\text{m}$，斜構件長 $2\,\text{m}$、與水平夾角 $45^\circ$，所以 B 點到 A 的水平距離為

先取逆時針為正。水平方向平衡為

核心觀念

本題考查可動滑輪的受力與速度關係、牛頓第二運動定律，以及馬達效率與功率換算。

圖三中，鋼索一端固定於天花板，繞過與重物相連的可動滑輪，再經定滑輪連至馬達。忽略滑輪與鋼索質量時，鋼索各段張力皆為 $T$，可動滑輪與重物受到兩段鋼索向上的拉力，合力為 $2T$。

自由體圖

將 $500\,\mathrm{kg}$ 重物與可動滑輪視為同一系統：

 ↑ T ↑ T
 \ /
 [重物與可動滑輪]
 ↓ mg
 ↑ a

解題方法

取向上為正方向，對重物與可動滑輪系統套用牛頓第二運動定律：

因此鋼索張力為

可動滑輪由兩段鋼索支撐，因此重物上升速度是鋼索速度的一半：

核心觀念

此題考查圓軸扭轉中的扭矩平衡、內部扭矩分布、最大剪應力與扭轉角。實心圓軸的極慣性矩為

最大剪應力與扭轉角分別為

其中 $c=d/2$。計算扭轉角時，須依各段內部扭矩的方向採用正負號。

解題方法

取圖中 $C$ 點與自由端 $A$ 點扭矩方向為正方向；依圖示，$D$ 點扭矩與之相反。先對整根軸作自由體圖，以扭矩平衡求固定端 $B$ 的反扭矩，再分段切開求內部扭矩。

整軸自由體圖可表示為：

 800 N·m 600 N·m 500 N·m
 ↻ ↺ ↻
B（固定端） ────────C─────────────D─────────────A（自由端）
 反扭矩 −700 N·m 各段長度均為 1 m

對整軸取扭矩平衡：

逐段取自由體，可得軸內扭矩：

• $BC$ 段：$T_{BC}=800-600+500=700\ \mathrm{N\cdot m}$
• $CD$ 段：$T_{CD}=-600+500=-100\ \mathrm{N\cdot m}$
• $DA$ 段：$T_{DA}=500\ \mathrm{N\cdot m}$

因此，扭矩分布圖由 $B$ 向 $A$ 依序為 $+700$、$-100$、$+500\ \mathrm{N\cdot m}$；各段長度均為 $1\ \mathrm m$。

(a) 軸向扭矩分布圖

內部扭矩 T（N·m）

 +700 ┌──────────────┐
 │ BC │
 0 ┘ └──────┐
 −100 ├─────────┐
 │ CD │
 └─────────┘
 0 ┌──────────┐ +500
 │ DA │
 └──────────┘ A
 B C D

圖中正負方向依前述約定；$BC$ 段為 $+700\ \mathrm{N\cdot m}$，$CD$ 段為 $-100\ \mathrm{N\cdot m}$，$DA$ 段為

核心觀念

本題考查光滑圓形導桿上的套筒運動，使用機械能守恆求速度，再用法向（向心）運動方程求導桿作用力。光滑導桿的反力垂直於套筒瞬時位移，不作功；彈簧力則以彈性位能計入。

自由體圖

在 $C$ 點，圓心 $O$ 位於套筒上方，因此向心方向向上：

 ↑ 導桿反力 R
 ↑ 彈簧力 Fs
 ● 套筒
 ↓ 重力 mg

在 $C$ 點，彈簧已伸長，彈簧力朝固定端 $B$，故向上；導桿反力先假設向上，最後由計算確認其方向。

解題方法

以圓心 $O$ 為高度基準，半徑為 $2\,\mathrm m$，故 $A$ 點高度為 $2\,\mathrm m$、$C$ 點高度為 $-2\,\mathrm m$。圖中 $B$ 點位於 $O$ 上方 $0.5\,\mathrm m$，且與 $A、C$ 在同一條鉛直線上。

彈簧在 $A$ 點的長度為

相較於自由長度 $2\,\mathrm m$，彈簧壓縮 $0.5\,\mathrm m$。在 $C$ 點的長度為

彈簧伸長 $0.5\,\mathrm m$。兩點的彈簧彈性位能相同：

由 $A$ 到 $C$ 高度下降 $4\,\mathrm m$。套筒由 $A$ 滑至 $C$ 的過程中機械能守恆，因此