111 地方特考四等 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

本題的核心考點為**平面四連桿機構之格拉索夫準則（Grashof's Law）**及其機構反轉（Inversion）運動型式判別。

1. 連桿組裝條件（三角不等式延伸）： 四連桿欲封閉成運動鏈，最長桿長度必須小於其餘三桿長度之和： $l < s + p + q$
2. 格拉索夫準則（Grashof's Law）： 設四連桿之桿長分別為最短桿 $s$、最長桿 $l$，以及其餘兩桿 $p$ 與 $q$。

• 若滿足 $s + l \le p + q$（格拉索夫機構）：
• 以最短桿為固定桿（機架）：相鄰兩桿均能作 $360^\circ$ 全迴轉，形成雙曲柄機構（Double-Crank Mechanism / Drag-Link Mechanism）。
• 以最短桿之相鄰桿為固定桿：與最短桿相連之一桿為曲柄，另一桿為搖桿，形成曲柄搖桿機構（Crank-Rocker Mechanism）。
• 以最短桿之對面桿為固定桿：兩相鄰桿皆無法作全迴轉，形成雙搖桿機構（Double-Rocker Mechanism，此時最短桿為浮桿／連桿，可作全迴轉）。
• 若 $s + l > p + q$（非格拉索夫機構）：
• 無論選定哪一桿為固定桿，皆無任何一桿能完成 $360^\circ$ 全迴轉，各反轉皆為雙搖桿機構。

解題方法

欲使機構為「雙曲柄機構」，必須同時滿足以下兩大條件：

1. 四桿長度符合格拉索夫準則：$s + l \le p + q$。
2. 固定桿必須選定為最短桿。

已知三桿長度為 $AB = 6\ \mathrm{cm}$、$BC = 4\ \mathrm{cm}$、$CD = 10\ \mathrm{cm}$。 對於候選長度 $AD \in \{5\ \mathrm{cm}, 7\ \mathrm{cm}, 9\ \mathrm{cm}\}$：

• 四桿中最短桿均為 $BC = 4\ \mathrm{cm}$（因 $4 < 5, 6, 7, 9, 10$），即 $s = 4\ \mathrm{cm}$。
• 四桿中最長桿均為 $CD = 10\ \mathrm{cm}$（因 $10 > 4, 5, 6, 7, 9$），即 $l = 10\ \mathrm{cm}$。
• 最短桿與最長桿長度之和固定為： $s + l = 4 + 10 = 14\ \mathrm{cm}$
• 其餘兩桿分別為 $AB = 6\ \mathrm{cm}$ 與 $AD$，其桿長之和為： $p + q = 6 + AD$

由格拉索夫準則 $s + l \le p + q$ 可列出不等式： $14 \le 6 + AD \implies AD \ge 8\ \mathrm{cm}$

因此，連桿 $AD$ 的桿長必須大於或等於 $8\ \mathrm{cm}$ 才能具備全迴轉副。

選項分析（候選桿長逐一檢驗）

1. 當選用 $AD = 5\ \mathrm{cm}$ 時：

• 四桿長度：$\{4, 5, 6, 10\}$。
• $s = 4\ \mathrm{cm}$，$l = 10\ \mathrm{cm}$，$p = 5\ \mathrm{cm}$，$q = 6\ \mathrm{cm}$。
• 檢驗：$s + l = 4 + 10 = 14\ \mathrm{cm}$；

核心觀念

本題考查平面機構的自由度，以及牛頭鉋床急回機構的切削行程時間。

自由度使用平面機構 Grübler–Kutzbach 公式：

$F=3(n-1)-2J_1-J_2$

其中 $n$ 為構件數，$J_1$ 為低對偶數，$J_2$ 為高對偶數。本機構的運動副皆為轉動副或滑動副，沒有高對偶。

急回時間則由曲柄在切削行程與回程各自轉過的角度比例決定；曲柄等速轉動，因此時間與轉角成正比。

解題方法

構件共 $6$ 個：機架 $1$、曲柄 $2$、滑塊 $3$、搖桿 $4$、連桿 $5$、鉋刀滑塊 $6$。低對偶共 $7$ 個：

• 轉動副：$1\!-\!2$、$2\!-\!3$、$4\!-\!1$、$4\!-\!5$、$5\!-\!6$，共 $5$ 個。
• 滑動副：$3\!-\!4$、$6\!-\!1$，共 $2$ 個。

因此自由度為

$F=3(6-1)-2(7)=15-14=\boxed{1}$

曲柄等速轉動時，搖桿到達擺動極限的位置，曲柄 $BC$ 與搖桿上的槽線互相垂直。此時 $AC$ 是以 $A$ 為端點、與曲柄圓相切的線段，故 $\triangle ABC$ 在 $C$ 點為直角三角形。

核心觀念

本題涵蓋《機械原理》中「螺旋機構（Screws）」的兩大核心考點：

1. 螺旋起重機之功與效率關係：

• 速度比（Velocity Ratio, $VR$）：手柄旋轉一圈，施力端移動距離為 $2\pi R$（圓周長），重物上升一個導程 $L$。理想狀況下的運動幾何關係為： $VR = \frac{\text{施力端位移}}{\text{抗力端位移}} = \frac{2\pi R}{L}$
• 機械效率（$\eta$）與機械利益（$MA$）：系統因摩擦造成損失，效率為輸出功與輸入功之比值： $\eta = 1 - \text{摩擦損失率} = \frac{MA}{VR}$ 故實際機械利益為： $MA = \eta \times VR = \eta \times \frac{2\pi R}{L}$

2. 多線螺紋與幾何角展開：

• 導程與螺距之關係：對 $n$ 線螺紋而言，螺栓旋轉一圈前進的距離為導程 $L$，相鄰同型螺紋之軸向距離為螺距 $p$，兩者關係為： $L = n \times p$
• 導程角（Lead Angle, $\alpha$）之定義：將節圓直徑 $d$ 之圓柱面展開成直角三角形，底邊為節圓圓周長 $\pi d$，對邊為導程 $L$，則： $\tan\alpha = \frac{L}{\pi d}$

解題方法

（一）求解螺旋起重機之導程

1. 求機械效率 $\eta$： 題目給定摩擦損失為 $20\%$，則起重機之機械效率為： $\eta = 100\% - 20\% = 80\% = 0.8$

2. 求理論速度比 $VR$： 由機械效率定義式 $\eta = \frac{MA}{VR}$，移項可得： $VR = \frac{MA}{\eta}$ 代入題目已知數值（機械利益 $MA = 48\pi$）： $VR = \frac{48\pi}{0.8} = 60\pi$

3. 計算導程 $L$： 已知手柄之力臂長 $R = 300\ \mathrm{mm}$，依速度比幾何關係： $VR = \frac{2\pi R}{L}$

核心觀念

此題考查平面機構的機件、運動對與自由度。依圖中編號，固定機架也算一個機件。平面機構的自由度使用：

$F=3(n-1)-2J_1-J_2$

其中，$n$ 為機件數；$J_1$ 為低對數，例如轉動對；$J_2$ 為高對數，例如齒輪嚙合對。

解題方法

（a）齒輪機構

圖中機件編號為 1 至 5，故機件數 $n=5$。四個轉動機件各自與機架形成轉動對，共有 $J_1=4$；齒輪 $2$ 與 $3$、齒輪 $4$ 與 $5$ 各形成一個嚙合對，共有 $J_2=2$。

$F=3(5-1)-2(4)-2=2$

（b）連桿機構

核心觀念

本題考查理想滑車與滑輪組的力矩平衡、繩張力及機械利益。假設繩索與滑輪皆無重量、滑輪軸無摩擦，且繩索張力相同。

（一）輪軸式滑車

圖（a）中，施力 $F$ 作用於外半徑 $R$，重物 $W$ 由內半徑 $r$ 的繩索吊起。以輪軸中心 $O$ 為轉軸，依力矩平衡：

$FR=Wr$

因此：

施力端的力臂較長，因此吊起的重量大於施力。

（二）複合滑輪組

圖（b）有兩個可動滑輪串聯，最上方的固定滑輪只改變施力方向。設下方承載重物的繩張力為 $T_1$，上方可動滑輪所繞繩索的張力為 $T_2$。