110 地方特考四等 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

110 年・地方特考・四等・機械工程
試題代碼 機械原理概要

第 一 題10 分

試述軸頸軸承（Journal Bearing）及其使用之特性為何？

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核心觀念

軸頸軸承（Journal Bearing）是以軸的圓柱形軸頸，直接在軸承襯內作相對滑動，以承受軸的徑向負荷。其主要特色是「滑動接觸」，不同於滾動軸承利用滾珠或滾柱減少摩擦。

典型構造包括：

  • 軸頸：旋轉軸上與軸承接觸的圓柱部分。
  • 軸承本體：固定於機架或軸承座。
  • 軸承襯：與軸頸接觸的可更換材料，常用巴氏合金、青銅、燒結金屬或含石墨材料。
  • 潤滑系統：供給潤滑油或潤滑脂，以降低摩擦與磨耗並帶走熱量。

運轉時，軸頸帶動潤滑油形成油楔，產生流體動壓，使軸頸與軸承襯間形成油膜。理想狀態下，兩者由油膜完全隔開，摩擦主要為潤滑油內部的黏滯剪切。

潤滑油膜中的剪應力可表示為：

τ=μUh\tau=\mu\frac{U}{h}

其中：

  • τ\tau：油膜剪應力
  • μ\mu：潤滑油黏度
  • UU：軸頸表面速度
  • hh：油膜厚度

軸承摩擦力約為：

F=fWF=fW

其中 ff 為摩擦係數，WW 為所承受的負荷。

解題方法

本題屬於機械原理的申論題，宜依下列順序作答：

  1. 先定義軸頸軸承及其受力方向。
  2. 說明滑動接觸與潤滑油膜的工作原理。
  3. 說明依潤滑方式及結構所作的分類。
  4. 分析其優點、缺點及適用場合。
  5. 補充使用時的設計與維護重點。

如此可同時涵蓋「是什麼」、「如何工作」及「適合何種使用條件」三個命題重點。

工作原理

軸頸軸承的運轉狀態可分為下列三種：

1. 邊界潤滑

軸承開始起動、停止或負荷很大時，軸頸速度低，油膜尚未充分形成，軸頸與軸承襯表面可能局部接觸。此時摩擦與磨耗較大，軸承材料必須具備良好的抗咬合性與嵌藏異物能力。

2. 混合潤滑

軸頸與軸承襯之間已有部分油膜，但表面仍存在局部接觸。此狀態常出現在起動、低速運轉或負荷變動時。

3. 流體動壓潤滑

軸頸旋轉時，潤滑油被帶入逐漸縮小的間隙中，形成油楔並產生動壓。此動壓足以支承外加負荷，使軸頸與軸承襯完全分離。

流體動壓潤滑必須具備：

  • 軸頸與軸承間有適當間隙。
  • 有足夠的相對運動速度。
  • 潤滑油具有適當黏度。
  • 軸承負荷不可超過油膜承載能力。
  • 軸承表面及軸心線須保持良好對準。

4. 靜壓潤滑

由外部泵浦將高壓潤滑油送入軸承間隙，直接產生承載油膜。其優點是軸在尚未旋轉時也能承受負荷，適合低速、重載及高精度設備；缺點是需要泵浦、管路及控制設備，成本與複雜度較高。

軸頸軸承的分類

依承受負荷方向分類

  • 徑向軸頸軸承：主要承受垂直於軸線的徑向負荷。
  • 止推軸承：主要承受平行於軸線的軸向負荷。
  • 徑向止推軸承：同時承受徑向及軸向負荷。

依軸承包覆程度分類

  • 全軸承：軸承襯包覆軸頸圓周大部分，承載能力較高。
  • 半軸承：軸承襯只包覆部分圓周，摩擦、散熱及供油條件較佳，但承載能力較低。
  • 可調軸承：可藉由調整結構修正間隙，適用於需要精密調整的場合。

使用特性

優點

  1. 適合高速運轉 正常形成油膜後，運轉摩擦小，適用於汽輪機、發電機、壓縮機及高速馬達。
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第 二 題10 分

試解釋機械元件飛輪（Flywheel）及其使用之特性？

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核心觀念

飛輪（Flywheel）是裝置在機械軸上的高轉動慣量旋轉元件，主要功能是「儲存及釋放旋轉動能」，以減小機械運轉時的速度脈動，使輸出運動較為均勻。

飛輪儲存的動能為

E=12Iω2E=\frac{1}{2}I\omega^2

其中：

  • EE：飛輪儲存的旋轉動能
  • II：飛輪對旋轉軸的轉動慣量
  • ω\omega：飛輪的角速度

飛輪的轉動慣量為

I=∫r2 dmI=\int r^2\,dm

質量愈集中於輪緣，距離旋轉軸的半徑 rr 愈大，轉動慣量愈大，在相同質量及轉速下即可儲存較多能量。因此，飛輪通常採用輪緣較厚、輪轂及輪輻相對較輕的結構。

解題方法

本題屬於機械元件的功能及使用特性說明題，答題應從「能量儲存原理、運轉作用、應用場合及限制」四方面切入。

一、利用動能變化吸收轉速波動

往復式內燃機、蒸汽機及壓縮機等機械，其驅動轉矩會隨曲柄轉角而變化。在一個工作循環中：

  • 當瞬時輸入功大於負載所需功率時，多餘能量傳給飛輪，使飛輪加速並儲存能量。
  • 當瞬時輸入功小於負載所需功率時，飛輪釋放已儲存的能量，使飛輪減速並補足能量差。

因此，飛輪可使軸的角速度變化減小，維持較均勻的旋轉運動。

飛輪的能量變化可表示為

ΔE=12I(ωmax⁡2−ωmin⁡2)\Delta E = \frac{1}{2}I\left(\omega_{\max}^2-\omega_{\min}^2\right)

若轉速變化不大，令平均角速度為 ω\omega，則可近似為

ΔE≈IωΔω\Delta E \approx I\omega\Delta\omega

此式說明：在負載波動相同的情況下，增大飛輪的轉動慣量 II，可降低角速度變化 Δω\Delta\omega。

二、降低速度不均勻程度

飛輪常以最大及最小角速度表示速度波動，其速度波動係數為

Cs=ωmax⁡−ωmin⁡ωC_s=\frac{\omega_{\max}-\omega_{\min}}{\omega}

其中平均角速度可取為

ω=ωmax⁡+ωmin⁡2\omega=\frac{\omega_{\max}+\omega_{\min}}{2}

速度波動係數愈小，代表機械運轉愈平穩。飛輪的設計目標通常是在允許的速度波動範圍內，選擇適當的轉動慣量。

三、平衡一個循環內的能量差

對週期性運轉機械而言，飛輪主要處理的是「同一工作循環內的瞬時功率不均勻」。在穩定運轉狀態下，一個完整循環輸入的總能量，應等於負載消耗的總能量：

一循環輸入能量=一循環負載所需能量\text{一循環輸入能量} = \text{一循環負載所需能量}

飛輪只是將能量在循環內重新分配，並不負責長期補充能量。

飛輪使用之特性

一、主要功能

  1. 儲存旋轉動能。
  2. 在輸入功率過剩時吸收能量。
  3. 在輸入功率不足時釋放能量。
  4. 減小轉速及扭矩的週期性波動。
  5. 使曲柄軸、傳動軸及工作機構運轉較平順。
  6. 協助往復式機械通過壓縮行程或其他高負載行程。
  7. 在衝床、鍛壓機等短時間高功率機械中，預先儲存能量以供瞬間釋放。

二、常見使用場合

  • 往復式內燃機及蒸汽機
  • 往復式壓縮機及泵
  • 衝床、剪床及鍛造機
  • 需要短時間輸出大功率的機械
  • 部分發電及能量回收系統
  • 儲能型旋轉機械
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第 三 題10 分

試解釋平面機構自由度判別準則（Grubler-Kutzbach Criteria）並舉例說明。

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核心觀念

本題考查平面機構的自由度（Degree of Freedom, DOF）判別，以及 Grubler–Kutzbach Criteria 的公式、各項符號意義與實際應用。

自由度是指：在不破壞機構約束條件下，決定整個機構位置所需的獨立輸入變數數目。平面剛體在平面內具有三個獨立運動：

  1. 沿 xx 軸平移；
  2. 沿 yy 軸平移；
  3. 繞垂直於平面的軸旋轉。

因此，若機構包含 nn 個連桿，其中一個為固定機架，則活動連桿共有 n−1n-1 個，未加接頭前的總自由度為：

3(n−1)3(n-1)

Grubler–Kutzbach 判別準則

對一般平面機構，其自由度可用下式判定：

F=3(n−1)−2j1−j2F=3(n-1)-2j_1-j_2

其中：

  • FF：機構自由度；
  • nn：連桿總數，包含固定機架；
  • j1j_1：一自由度低副的數目；
  • j2j_2：二自由度高副的數目。

一自由度低副

一自由度低副是指兩連桿間只允許一種相對運動，因此會限制兩個相對自由度，扣除 22 個自由度。

常見的一自由度低副包括：

  • 轉動副（revolute pair, R）：允許相對旋轉；
  • 移動副（prismatic pair, P）：允許相對直線移動。

因此，每一個 R 副或 P 副均在公式中計為 j1j_1，扣除 22 個自由度。

二自由度高副

二自由度高副通常以點接觸或線接觸傳遞運動，例如：

  • 凸輪與從動件；
  • 齒輪嚙合；
  • 滾子與導軌接觸。

此類接頭通常只限制一個相對自由度，因此每一個高副扣除 11 個自由度，計入 j2j_2。

公式推導

活動連桿數為 n−1n-1，每一個平面剛體具有三個自由度，因此初始自由度為：

3(n−1)3(n-1)

加入一自由度低副時，兩連桿間的相對運動受到兩個幾何約束，所以每個低副扣除：

2j12j_1

加入二自由度高副時，每個高副提供一個約束，所以扣除：

j2j_2

故機構總自由度為：

F=3(n−1)−2j1−j2F=3(n-1)-2j_1-j_2

解題方法

判斷平面機構自由度時，依序進行下列步驟：

  1. 清點連桿總數 nn，固定機架也要計入。
  2. 清點低副數目 j1j_1，每個 R 副與 P 副各算一個。
  3. 清點高副數目 j2j_2，如凸輪接觸、齒輪嚙合等各算一個。
  4. 代入：
F=3(n−1)−2j1−j2F=3(n-1)-2j_1-j_2
  1. 依 FF 判斷機構性質：
  • F=0F=0：無法運動，屬結構體；
  • F=1F=1：單自由度機構，只需一個輸入即可決定全機構運動；
  • F>1F>1：多自由度機構，需要多個獨立輸入；
  • F<0F<0：約束數多於一般所需，通常表示存在重複約束、特殊幾何條件或計數方式有誤。

例一：四連桿機構

四連桿機構包含：

  • 固定機架 1 個；
  • 活動連桿 3 個；
  • 四個轉動副。

因此：

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第 四 題10 分

試繪簡圖解釋壓力角（Pressure Angle）及其在齒輪（Gear）及凸輪（Cam）上的差別。

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核心觀念

本題考查壓力角（Pressure Angle）的定義，以及壓力角在齒輪與凸輪機構中的幾何意義、受力方向與影響。

壓力角的共同本質是：

作用力的方向（通常為接觸點的共同法線方向）與從動件運動方向之間的夾角。

壓力角越大，作用力越偏離有效運動方向，因而產生較大的側向力、摩擦與磨耗，機械效率也會降低。

一、齒輪的壓力角

1. 定義

齒輪嚙合時，兩齒面接觸點的共同法線稱為作用線（Line of Action）。齒輪的壓力角 ϕ\phi 定義為：

作用線與節圓公切線之間的夾角。

由於節圓公切線與兩齒輪的中心連線互相垂直，因此壓力角也可視為作用線與節圓公切線的夾角。

2. 齒輪簡圖

 作用線（共同法線）
 /
 / φ
 /
 O₁ ●----------● O₂
 \ /
 \ /
 齒輪一 齒輪二

在接觸點：
節圓公切線方向 ─────────→
作用線方向 ／
兩者夾角為齒輪壓力角 φ

較完整地表示接觸點受力如下：

 Fn（齒面法向力）
 ↗
 / φ
 /
───────────────→ Ft
 節圓切線方向

其中：

  • FnF_n：沿作用線方向的齒面法向力。
  • FtF_t：切向力，負責傳遞轉矩。
  • FrF_r：徑向分力，將兩齒輪互相推離。
  • ϕ\phi：齒輪壓力角。

3. 受力關係

若齒面法向力為 FnF_n，則可分解為切向力與徑向力：

Ft=Fncos⁡ϕF_t=F_n\cos\phi Fr=Fnsin⁡ϕF_r=F_n\sin\phi

因此：

tan⁡ϕ=FrFt\tan\phi=\frac{F_r}{F_t}

齒輪傳遞轉矩時，真正產生轉矩的是切向力 FtF_t；徑向力 FrF_r 則增加軸承負荷。

若齒輪節圓半徑為 rr，傳遞轉矩為 TT，則：

Ft=TrF_t=\frac{T}{r}

又因為：

Fn=Ftcos⁡ϕF_n=\frac{F_t}{\cos\phi}

壓力角增加時，法向力與徑向力均會增加。

4. 齒輪壓力角的特性

對於標準漸開線齒輪：

  • 壓力角由齒形及設計規格決定。
  • 作用線為固定直線。
  • 在正確嚙合的標準齒輪中，壓力角通常為固定值。
  • 常見標準壓力角為 20∘20^\circ，早期系統亦可見 14.5∘14.5^\circ。

齒輪壓力角的主要影響如下：

  • 壓力角較大：齒根較厚、承載能力較高，但徑向力較大。
  • 壓力角較小：徑向力較小、運轉較平順，但齒根較薄、抗彎強度較低。

二、凸輪的壓力角

1. 定義

凸輪與從動件接觸時，接觸點的共同法線為凸輪對從動件的作用力方向。

凸輪壓力角 α\alpha 定義為：

凸輪接觸點的法線方向與從動件瞬時運動方向之間的夾角。

對於直動式從動件，從動件運動方向就是從動件的移動軸線。

2. 直動式從動件簡圖

 從動件運動方向
 ↑
 │
 │
 │
 ● 接觸點
 ／
 ／ α
 ／
 法線方向
 ↗
 _____/ 
 / \
 / 凸輪 \
 /_________\

圖中：

  • 從動件沿鉛直方向運動。
  • 凸輪輪廓接觸點的法線方向為作用力方向。
  • 法線與從動件運動方向的夾角即為凸輪壓力角 α\alpha。

若為擺動式從動件，壓力角則定義為：

接觸點法線與從動件瞬時運動方向之間的夾角。

此時從動件的運動方向為接觸點沿其瞬時圓弧路徑的切線方向。

3. 凸輪的受力關係

設從動件所需的有效驅動力為 PP，凸輪對從動件的法向力為 NN，忽略摩擦，則：

P=Ncos⁡αP=N\cos\alpha
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第 五 題10 分

試解釋何謂機械效率（Mechanical Efficiency）與機械利益（Mechanical Advantage）。

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核心觀念

本題考查機械的兩項基本性能指標：

  1. 機械利益（Mechanical Advantage, MA）：表示機械將輸入力放大為輸出力的程度。
  2. 機械效率（Mechanical Efficiency, η\eta）：表示輸入機械能有多少比例轉換為有效輸出機械能。

實際機械因摩擦、磨耗、變形及其他能量損失，輸出功通常小於輸入功，因此機械效率一般小於 100%100\%。

解題方法與定義

一、機械利益

機械利益是輸出力與輸入力的比值。若以負載力為輸出力、施力為輸入力，則：

MA=輸出力輸入力MA=\frac{\text{輸出力}}{\text{輸入力}}

常用符號表示為：

MA=LEMA=\frac{L}{E}

其中：

  • LL：Load，負載力或輸出力
  • EE：Effort，施力或輸入力

因此：

  • MA>1MA>1：機械具有力的放大作用。
  • MA=1MA=1：輸出力等於輸入力。
  • MA<1MA<1：機械不放大力，但可能增加速度、位移或運動範圍。

機械利益只反映「力的比例」，本身不代表能量是否有損失。

二、機械效率

機械效率是有效輸出功與輸入功的比值：

η=輸出功輸入功\eta=\frac{\text{輸出功}}{\text{輸入功}}

若以能量表示，則：

η=WoutWin\eta=\frac{W_{\text{out}}}{W_{\text{in}}}

乘以百分比表示時：

η=WoutWin×100%\eta=\frac{W_{\text{out}}}{W_{\text{in}}}\times 100\%

直線運動中，機械功可表示為：

W=FsW=Fs

因此：

η=LsLEsE\eta = \frac{L s_L}{E s_E}

其中：

  • sLs_L：負載移動距離
  • sEs_E：施力點移動距離

由於實際機械存在能量損失：

Wout<WinW_{\text{out}}<W_{\text{in}}

所以：

0<η<10<\eta<1

理想無摩擦機械的效率為：

η=1=100%\eta=1=100\%

機械利益與機械效率的關係

定義理想機械利益（Ideal Mechanical Advantage, IMA），亦可稱為速度比（Velocity Ratio, VR）：

VR=輸入力作用點移動距離輸出端移動距離=sEsLVR=\frac{\text{輸入力作用點移動距離}}{\text{輸出端移動距離}} = \frac{s_E}{s_L}

將機械效率公式整理：

η=LsLEsE\eta = \frac{L s_L}{E s_E}

又因為：

MA=LEMA=\frac{L}{E}

以及：

VR=sEsLVR=\frac{s_E}{s_L}

因此：

η=MAVR\eta = \frac{MA}{VR}

也可寫成：

MA=η VRMA=\eta \, VR

這是機械效率、實際機械利益與理想機械利益之間的重要關係。

兩者的主要差異

比較項目機械利益 MAMA機械效率 η\eta
定義輸出力與輸入力之比輸出功與輸入功之比
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第 六 題10 分

試繪簡圖解釋漸開線（Involute）及擺線（Cycloidal）其在齒輪形狀之應用。

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核心觀念

本題考查兩種齒形曲線的形成原理，以及它們在齒輪齒形上的實際應用：

  1. 漸開線（Involute）：由一條繃緊直線自基圓逐漸放開時，直線端點所描出的曲線。
  2. 擺線（Cycloidal）：由一個圓沿固定圓作純滾動時，圓周上一點所描出的曲線。

齒輪齒形必須符合共軛齒形條件，使兩齒輪嚙合時具有固定的角速度比。漸開線齒形與擺線齒形均可滿足此要求，但形成方式、齒形特性與使用場合不同。

一、漸開線齒形

1. 漸開線的形成

設一條繃緊直線沿著半徑為 rbr_b 的基圓放開，直線端點所描出的曲線稱為漸開線。

簡圖如下：

 P
 *
 /|
 / | 繃緊直線
 / |
 A *----|----------------
 \ |
 \ |
 \ |
 \ |
 \|
 .-----------.
 / \
 | O | 基圓
 \ /
 '-----------'

其中：

  • OO：基圓圓心
  • AA：直線與基圓的切點
  • PP：繃緊直線端點
  • APAP：繃緊直線長度
  • 隨著直線沿基圓放開，端點 PP 所形成的軌跡即為漸開線。

漸開線上任一點的法線，均為基圓的切線。因此，齒輪的作用線可視為兩齒輪基圓的公切線。

2. 漸開線在齒輪上的應用

漸開線齒輪的齒形通常分為三個主要區域：

 齒頂圓
 .-----------.
 .-' /\ '-.
 .' / \ '.
 / / \ \
 |---------/------\--------| 節圓
 \ / \ /
 '. / \ .'
 '-./------------\.-'
 齒根圓

較精確地說：

  • 節圓以上的齒面：為基圓所生成的漸開線。
  • 節圓以下的齒根部：常由齒根圓與漸開線之間的過渡曲線構成。
  • 齒頂部分：由漸開線延伸至齒頂圓。
  • 齒根圓：位於基圓內側，齒根部通常不完全屬於漸開線。

漸開線的基本幾何關係為：

r=rbsec⁡ϕr=r_b\sec\phi

其中：

  • rr：漸開線上任一點至齒輪中心的距離
  • rbr_b：基圓半徑
  • ϕ\phi：該點的壓力角

漸開線長度可表示為：

AP=rbtan⁡ϕAP=r_b\tan\phi

漸開線函數為：

inv⁡ϕ=tan⁡ϕ−ϕ\operatorname{inv}\phi=\tan\phi-\phi

式中角度 ϕ\phi 必須以弧度計算。

3. 漸開線齒輪的特性

漸開線齒輪具有下列優點：

  • 壓力角固定：兩齒輪嚙合時，作用線為固定直線，傳動平穩。
  • 中心距稍有變化時仍可嚙合：中心距改變會使工作壓力角改變，但仍能保持固定角速度比。
  • 製造容易：可使用直線刀具、齒條形刀具或滾齒刀具加工。
  • 齒形標準化程度高：不同齒數與不同尺寸的齒輪容易互換。
  • 適用範圍廣：現代機械傳動齒輪大多採用漸開線齒形。

其缺點為：

  • 小齒輪齒數過少時容易發生切齒干涉。
  • 為避免干涉，常需採用變位齒輪、修整齒形或增加小齒輪齒數。
  • 齒根附近的接觸與滑動較大，齒根強度及磨耗需特別注意。

二、擺線齒形

1. 擺線的形成

擺線是由一個圓沿另一固定圓作純滾動時，滾動圓圓周上的一點所形成的軌跡。

 P
 *
 .-' '-.
 .' C '. 滾動圓
 / \
 | |
 '. /
 '-._____.-'
 |
 ______________________
 / \
 | O | 固定圓
 \________________________/
 ← 滾動圓沿固定圓周滾動 →

擺線齒輪的齒面由兩種曲線組成：

  • 齒頂曲線：由滾動圓在節圓外側滾動形成的外擺線（Epicycloid）。
  • 齒根曲線：由滾動圓在節圓內側滾動形成的內擺線（Hypocycloid）。

齒形示意如下：

 齒頂
 /\
 ____/ \____
 __/ \__
 _/ \_
 |--------- 節圓 ---------|
 \_ _/
 \__ __/
 \____ ____/
 \__/
 齒根

因此，擺線齒輪的完整齒形可概括為：

齒面=外擺線\text{齒面}= \text{外擺線} 齒根=內擺線\text{齒根}= \text{內擺線}
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第 七 題20 分

有一對互相嚙合模數（Module）為 44 的外接正齒輪，主動輪的齒數為 2020，從動輪的轉速為 300 rpm300\text{ rpm}，兩轉軸的中心距為 200 mm200\text{ mm}，試求主動輪的轉速、從動輪的齒數及轉速比。

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這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查外接正齒輪的模數、齒數、中心距與轉速比之間的關係。

  • 模數定義為 m=dzm=\frac{d}{z} 其中 dd 為節圓直徑，zz 為齒數。
  • 外接齒輪的中心距等於兩齒輪節圓半徑之和： a=d1+d22a=\frac{d_1+d_2}{2}
  • 理想齒輪嚙合時，兩齒輪的節圓周速度相同，因此 n1d1=n2d2n_1d_1=n_2d_2 又因為同模數齒輪具有 d=mzd=mz，所以 n1z1=n2z2n_1z_1=n_2z_2
  • 齒輪轉速比通常定義為主動輪轉速與從動輪轉速之比： i=n1n2=z2z1i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1}

其中下標 11 代表主動輪，下標 22 代表從動輪。

解題方法

已知：

m=4,z1=20,n2=300 rpm,a=200 mmm=4,\qquad z_1=20,\qquad n_2=300\ \text{rpm},\qquad a=200\ \text{mm}

一、求從動輪齒數

主動輪節圓直徑為

d1=mz1=4×20=80 mmd_1=mz_1=4\times20=80\ \text{mm}

外接齒輪的中心距為

a=d1+d22a=\frac{d_1+d_2}{2}

代入已知數值：

200=80+d22200=\frac{80+d_2}{2}

因此

400=80+d2400=80+d_2

d2=320 mmd_2=320\ \text{mm}

從動輪齒數為

z2=d2m=3204=80z_2=\frac{d_2}{m}=\frac{320}{4}=80

二、求主動輪轉速

由齒輪嚙合的轉速關係：

n1z1=n2z2n_1z_1=n_2z_2

所以

n1=n2z2z1n_1=n_2\frac{z_2}{z_1}

代入：

n1=300×8020=1200 rpmn_1=300\times\frac{80}{20}=1200\ \text{rpm}

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第 八 題20 分

如圖所示之一滑塊四連桿，曲柄桿 22 及柄桿 33 分別長度為 r2r_2 及 r3r_3，若曲柄桿 22 之角速度為 ω2 CCW\omega_2\text{ CCW}，試求滑塊速度為何？

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核心觀念

本題考查偏置滑塊四連桿的速度分析，使用：

  1. 曲柄端點的幾何位置關係。
  2. 連桿長度不變的約束。
  3. 滑塊僅能沿 XX 軸方向運動，因此 vby=0v_{by}=0。

依圖定義：

  • a0a_0 為原點。
  • 滑塊 bb 的位置為 (xb,−e)(x_b,-e)。
  • θ2\theta_2 為曲柄與 YY 軸的夾角。
  • θ3\theta_3 為連桿與水平線的夾角。
  • 曲柄角速度為逆時針 ω2\omega_2。

由於 θ2\theta_2 是從 YY 軸順時針量測，曲柄逆時針轉動時：

θ˙2=−ω2\dot{\theta}_2=-\omega_2

解題方法

曲柄端點 aa 的座標為

xa=r2sin⁡θ2,ya=r2cos⁡θ2x_a=r_2\sin\theta_2,\qquad y_a=r_2\cos\theta_2

連桿由 aa 連接至滑塊 bb，因此

xb=r2sin⁡θ2+r3cos⁡θ3x_b=r_2\sin\theta_2+r_3\cos\theta_3 −e=r2cos⁡θ2−r3sin⁡θ3-e=r_2\cos\theta_2-r_3\sin\theta_3

其中 ee 為滑塊軌道與 XX 軸間的偏置距離。

對 xbx_b 式微分：

vb=x˙b=r2cos⁡θ2θ˙2−r3sin⁡θ3θ˙3v_b=\dot{x}_b =r_2\cos\theta_2\dot{\theta}_2 -r_3\sin\theta_3\dot{\theta}_3

對垂直方向位置式微分。因滑塊無垂直速度，故：

0=−r2sin⁡θ2θ˙2−r3cos⁡θ3θ˙30=-r_2\sin\theta_2\dot{\theta}_2 -r_3\cos\theta_3\dot{\theta}_3

代入 θ˙2=−ω2\dot{\theta}_2=-\omega_2：

0=r2ω2sin⁡θ2−r3cos⁡θ3θ˙30=r_2\omega_2\sin\theta_2 -r_3\cos\theta_3\dot{\theta}_3

因此

θ˙3=r2ω2sin⁡θ2r3cos⁡θ3\dot{\theta}_3 =\frac{r_2\omega_2\sin\theta_2} {r_3\cos\theta_3}

再代回滑塊水平方向速度式：

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