111 地方特考四等 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查**延性材料的靜力破壞理論（Static Failure Theories for Ductile Materials）**在平面應力狀態下的應用與比較，主要包含以下核心原理：

1. 主應力轉換（Principal Stresses）： 在平面應力狀態（$\sigma_z = 0$）下，由二維應力狀態 $(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy})$ 求解主應力 $\sigma_A$ 與 $\sigma_B$，並依代數大小將三軸主應力排序為 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$。

2. 最大剪應力理論（Maximum Shear Stress Theory, MSST / Tresca 準則）： 認為材料開始產生降伏的條件為最大剪應力達到單軸拉伸降伏時的剪應力值（$\tau_{\max} \ge \frac{S_y}{2}$）。

• 最大剪應力：$\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$
• 等效應力：$\sigma_e = \sigma_1 - \sigma_3$
• 安全係數：$n_{\text{MSST}} = \frac{S_y}{\sigma_1 - \sigma_3} = \frac{S_y}{2\tau_{\max}}$

3. 畸變能理論（Distortion Energy Theory, DET / von Mises 準則）： 認為單位體積內儲存的畸變應變能（剪切變形能量）達到單軸拉伸降伏時的臨界值即發生降伏。

• von Mises 等效應力（von Mises Stress）： $\sigma' = \sqrt{\frac{1}{2}\left[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2\right]}$ 在平面應力（$\sigma_z = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$）下，亦可由應力分量直接表示為： $\sigma' = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2}$
• 安全係數：$n_{\text{DET}} = \frac{S_y}{\sigma'}$

---

解題方法

步驟一：計算主應力（Principal Stresses）

給定平面應力狀態：$\sigma_x = 100\ \text{MPa}$、$\sigma_y = 20\ \text{MPa}$、$\tau_{xy} = 30\ \text{MPa}$，且 $\sigma_z = 0$。

平均正應力（莫爾圓圓心）： $\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{100 + 20}{2} = 60\ \text{MPa}$

平面內最大剪應力（莫爾圓半徑）： $R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{100 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50\ \text{MPa}$

求解面內主應力： $\sigma_A = \sigma_{\text{avg}} + R = 60 + 50 = 110\ \text{MPa}$ $\sigma_B = \sigma_{\text{avg}} - R = 60 - 50 = 10\ \text{MPa}$

考慮三維空間中自由表面的垂直應力 $\sigma_z = 0$，將三個主應力由大至小排列： $\sigma_1 = 110\ \text{MPa}, \quad \sigma_2 = 10\ \text{MPa}, \quad \sigma_3 = 0\ \text{MPa}$

---

步驟二：最大剪應力理論（MSST）之安全係數

材料三維最大剪應力為： $\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{110 - 0}{2} = 55\ \text{MPa}$

核心觀念

本題考查滾珠軸承之動額定負荷－壽命關係（Load-Life Relationship）、壽命與可靠度之韋伯分配（Weibull Distribution），以及旋轉壽命與運轉小時數之換算。

1. 負荷與壽命關係式： 在固定可靠度下，軸承徑向負荷 $F$ 與壽命 $L$ 的關係為： $L \propto \left( \frac{1}{F} \right)^a$ 其中壽命指數 $a$ 的取值依軸承種類而定：

• 滾珠軸承（Ball Bearing）：$a = 3$
• 滾子軸承（Roller Bearing）：$a = \frac{10}{3}$

2. 韋伯分配與可靠度關係式（Shigley 模型）： 軸承之無因次壽命比值 $x = L / L_{10}$（其中 $L_{10}$ 為可靠度 $90\%$ 時之額定壽命）與可靠度 $R$ 遵循三參數韋伯分配： $R = \exp\left[ - \left( \frac{x - x_0}{\theta - x_0} \right)^b \right]$ 反求無因次壽命 $x$ 與可靠度 $R$ 的關係為： $x = x_0 + (\theta - x_0) \left[ \ln\left( \frac{1}{R} \right) \right]^{1/b}$

• $x_0$：保證最小壽命參數（Guaranteed minimum value）
• $\theta$：特徵壽命參數（Characteristic parameter）
• $b$：形狀參數（Weibull slope）

3. 綜合負載、壽命與可靠度之整合公式： 對於同一個軸承，不同操作條件 $(F_1, L_1, R_1)$ 與 $(F_2, L_2, R_2)$ 滿足： $\frac{F_1^a \cdot L_1}{x(R_1)} = \frac{F_2^a \cdot L_2}{x(R_2)}$
4. 旋轉壽命換算運轉時數： $H = \frac{L}{60 \cdot n}$ 其中 $L$ 為總旋轉轉數（$\text{rev}$），$n$ 為運轉轉速（$\text{rpm}$），$H$ 為運轉小時數（$\text{hr}$）。

---

解題方法

步驟一：整理題目已知條件

• 基準條件（狀態 1）：
• 徑向負載 $F_1 = 30\ \text{kN}$
• 額定壽命 $L_1 = 10^7\ \text{rev}$（一千萬轉）
• 可靠度 $R_1 = 90\% = 0.90$
• 工作要求條件（狀態 2）：
• 徑向負載 $F_2 = 40\ \text{kN}$
• 轉速 $n = 30\ \text{rpm}$
• 可靠度 $R_2 = 95\% = 0.95$
• 欲求運轉時數 $H_2$
• 材料與機構參數：
• 滾珠軸承壽命指數 $a = 3$
• Weibull 參數：$x_0 = 0.02$、$\theta = 4.439$、$b = 1.483$

---

步驟二：計算可靠度對應之無因次壽命比值 $x$

利用公式 $x = x_0 + (\theta - x_0) \left[ \ln\left( \frac{1}{R} \right) \right]^{1/b}$：

1. 狀態 1（可靠度 $R_1 = 0.90$）： $\ln\left( \frac{1}{R_1} \right) = \ln\left( \frac{1}{0.90} \right) \approx 0.10536$ $\left[ \ln\left( \frac{1}{0.90} \right) \right]^{1/b} = (0.10536)^{1 / 1.483} = (0.10536)^{0.67431} \approx 0.21927$ 代入 Weibull 參數（以型錄給定之尺度項 $(\theta - x_0) = 4.439$ 計算）： $x_1 = 0.02 + 4.439 \times 0.21927 \approx 0.02 + 0.97334 = 0.99334 \approx 1.0$ （註：若依定義取 $x_1 \equiv 1.000$ 亦同）。

2. 狀態 2（可靠度 $R_2 = 0.95$）： $\ln\left( \frac{1}{R_2} \right) = \ln\left( \frac{1}{0.95} \right) \approx 0.05129$ $\left[ \ln\left( \frac{1}{0.95} \right) \right]^{1/b} = (0.05129)^{1 / 1.483} = (0.05129)^{0.67431} \approx 0.13495$

核心觀念

本題評量重點為「動力螺桿（Power Screw）在螺旋千斤頂（Screw Jack）中的力學與元件設計」。千斤頂以螺桿為主要傳動與受力構件時，螺桿同時承受龐大的軸向壓縮載重與旋轉驅動扭矩。完整的工程設計必須涵蓋以下核心力學理論與設計規範：

1. 螺紋幾何與傳動靜力學：導程角（Lead angle, $\lambda$）、摩擦角（Friction angle, $\phi$）、升起／下降力矩與傳動效率。
2. 安全自鎖條件（Self-locking Condition）：防止外力載重作用下逆轉下滑的安全性機制。
3. 複合應力破壞理論（Combined Stress Failure Criteria）：軸向壓縮應力與扭轉剪應力組合下的最大剪應力理論（Tresca）或最大畸變能理論（von Mises）。
4. 受壓構件穩定性（Buckling Stability）：細長比檢核與歐拉（Euler）／強生（Johnson）挫曲準則。
5. 螺牙承壓與剪切強度（Bearing & Shear Stress of Threads）：決定螺牙與螺帽的嚙合牙數及磨耗壽命。

---

解題方法

設計以螺桿為主要受力元件的千斤頂時，需採取「功能與幾何選定 $\rightarrow$ 驅動力學與自鎖分析 $\rightarrow$ 螺桿本體應力與挫曲計算 $\rightarrow$ 螺牙局部破壞檢核 $\rightarrow$ 人因操作設計」之系統性步驟進行全面評估：

一、 螺紋型式與材料選用考量

1. 牙型選定：

• 梯形螺紋（Acme Thread / Metric Trapezoidal Thread）：強度高、定心性佳、加工製造容易，且磨耗後利於補償，為千斤頂最常採用的牙型（牙角 $2\alpha = 29^\circ$ 或 $30^\circ$）。
• 方螺紋（Square Thread）：效率最高（無面角造成的楔作用分解力），但強度較梯形螺紋差且加工困難。
• 鋸齒螺紋（Buttress Thread）：若千斤頂僅承受單向單向極大軸向推力，可選用鋸齒螺紋以兼顧高傳動效率與螺牙剪切強度。

2. 材料選擇：

• 螺桿多採用中碳鋼（如 AISI 1045 / JIS S45C）或合金鋼（如 4140 / SCM440），經調質或表面硬化處理，以兼顧抗壓抗扭強度與表面耐磨耗能力。

二、 驅動力矩、傳動效率與自鎖性考量

1. 升起載重所需力矩（Torque to Raise Load, $T_R$）： 總力矩由「螺紋摩擦力矩 $T_t$」與「承座／軸環推力摩擦力矩 $T_c$」構成： $T_R = T_t + T_c = \frac{W d_m}{2} \left( \frac{\tan\lambda + f \sec\alpha_n}{1 - f \tan\lambda \sec\alpha_n} \right) + \frac{W f_c d_c}{2}$ 其中：

• $W$：軸向舉升載重。
• $d_m$：螺紋節徑（Mean diameter）。
• $\lambda$：導程角（$\tan\lambda = \frac{L}{\pi d_m}$，$L$ 為導程）。
• $f$：螺紋間摩擦係數；$\alpha_n$：法向牙形半角。
• $f_c$、$d_c$：推力軸承或承座軸環之摩擦係數與平均直徑。

2. 自鎖性（Self-locking）安全考量：

• 為防止千斤頂在舉升後，撤去手柄外力時載重自動下滑倒轉（Overhauling），必須確保自鎖條件成立： $\tan\lambda \le f \sec\alpha_n \quad \text{或近似寫作} \quad \lambda \le \phi$ （其中 $\phi = \tan^{-1} f$ 為摩擦角）。
• 設計時通常要求螺紋效率 $\eta < 50\%$，以此保證千斤頂具備絕對的被動安全性。

三、 螺桿本體之複合應力強度考量

螺桿在負載運轉時，同時承受軸向壓力與驅動扭轉，處於多軸應力狀態，應以螺桿小徑（Root diameter, $d_r$）處進行檢核：

1. 軸向壓應力： $\sigma = \frac{W}{A_r} = \frac{4W}{\pi d_r^2}$
2. 扭轉剪應力（採用克服螺紋阻力矩 $T_t$）： $\tau = \frac{16 T_t}{\pi d_r^3}$
3. 相當應力檢核（von Mises 準則）： $\sigma_{eq} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} \le \sigma_{all} = \frac{S_y}{N_s}$ 其中 $S_y$ 為材料降伏強度，$N_s$ 為設計安全係數（通常取 $2.0 \sim 3.0$）。

四、 螺桿之挫曲（Buckling）穩定性考量

千斤頂頂升至最大行程時，螺桿伸出長度達到最大值，易引發受壓長柱挫曲破壞：

1. 端點拘束條件：千斤頂基座螺帽處視為固定端，頂端承座負載接觸處依結構形式視為鉸接端或自由端，計算其有效長度 $L_e$。
2. 細長比檢核：計算迴轉半徑 $k = \frac{d_r}{4}$ 與細長比 $SR = \frac{L_e}{k}$。

核心觀念

本題評量軸向往復負載桿件之靜態破壞與**疲勞破壞（變動負載）**的整合設計分析能力，涵蓋以下核心理論與公式：

1. 應力狀態分解：

• 平均應力（Mean stress）：$\sigma_m = \dfrac{\sigma_{\max} + \sigma_{\min}}{2}$
• 應力振幅（Alternating stress）：$\sigma_a = \dfrac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2}$

2. 靜態降伏破壞理論：

• 採用最大正應力準則（朗肯準則，適用於單軸拉伸之初始降伏檢核）： $n_s = \frac{S_y}{\sigma_{\max}}$

3. 變動負載破壞理論：

• 採用工程界與國考最通用之修正古德曼準則（Modified Goodman Criterion）： $\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_{ut}} = \frac{1}{n_f}$

4. 有限疲勞壽命分析（S-N 曲線與 Basquin 公式）：

• 當疲勞安全係數 $n_f < 1$ 時，構件無法承受無限壽命（$N < 10^6$ 轉），需由古德曼關係將應力轉換為等效完全反向應力（Completely reversed equivalent stress, $\sigma_{ar}$）： $\sigma_{ar} = \frac{\sigma_a}{1 - \dfrac{\sigma_m}{S_{ut}}}$
• 利用 $10^3$ 轉至 $10^6$ 轉間之高週疲勞冪次關係式（$S_f = a N^b$）： $a = \frac{(f S_{ut})^2}{S_e}, \quad b = -\frac{1}{3} \log_{10}\left(\frac{f S_{ut}}{S_e}\right)$ $N = \left(\frac{\sigma_{ar}}{a}\right)^{1/b}$

---

解題方法

步驟一：計算基本應力成分

給定最大拉伸應力 $\sigma_{\max} = 400\ \text{MPa}$，最大壓應力 $\sigma_{\min} = -140\ \text{MPa}$（壓應力以負號表示）：

• 平均應力： $\sigma_m = \frac{400 + (-140)}{2} = 130\ \text{MPa}$
• 應力振幅： $\sigma_a = \frac{400 - (-140)}{2} = 270\ \text{MPa}$

步驟二：計算靜態負載下的安全係數

• 破壞理論說明：採用**最大正應力準則（降伏準則）**評估首循環是否產生塑性變形。
• 靜態安全係數 $n_s$ 為材料降伏強度 $S_y$ 與最大工作正應力 $\sigma_{\max}$ 之比值： $n_s = \frac{S_y}{\sigma_{\max}} = \frac{460}{400} = 1.15$ （因 $n_s > 1$，桿件在初次載重時不會產生塑性降伏破壞。）

步驟三：計算變動負載下的安全係數

• 破壞理論說明：採用修正古德曼準則（Modified Goodman Criterion）。
• 代入材料疲勞極限 $S_e = 275\ \text{MPa}$ 與極限拉伸強度 $S_{ut} = 550\ \text{MPa}$： $\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_{ut}} = \frac{1}{n_f}$ $\frac{270}{275} + \frac{130}{550} = \frac{1}{n_f}$ $\frac{54}{55} + \frac{13}{55} = \frac{67}{55} = \frac{1}{n_f}$ $n_f = \frac{55}{67} \approx 0.821$ （因 $n_f < 1$，表示桿件無法達到無限壽命 $10^6$ 轉，必於有限次循環內發生疲勞破壞。）

步驟四：計算桿件疲勞壽命

1. 求等效完全反向應力 $\sigma_{ar}$： 根據古德曼理論，將具有平均應力之應力狀態轉換為等效壽命之純對稱往復應力：