108 地方特考四等 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

核心觀念

1. 平面應力轉換與主應力（Principal Stresses）： 在平面應力狀態下（$\sigma_z = 0,\ \tau_{yz} = 0,\ \tau_{zx} = 0$），平面內的兩個主應力公式為： $\sigma_{A,B} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$

2. 三維主應力排序： 三維主應力必須按大小排列為 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$。平面應力問題中，未受力的垂直方向主應力 $\sigma_z = 0$ 必須一併納入排序。

3. 最大剪應力理論（Maximum Shear Stress Theory, MSS / Tresca 破壞準則）： 材料發生降伏的條件為最大剪應力達到單軸拉伸試驗降伏時的最大剪應力： $\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \le \frac{S_y}{2n}$ 亦即： $n = \frac{S_y}{\sigma_1 - \sigma_3}$ 式中：

• $S_y$ 為材料的拉伸降伏強度（Yield Strength）
• $n$ 為設計安全係數（Factor of Safety）

解題方法

步驟一：計算平面主應力 $\sigma_A$ 與 $\sigma_B$

已知應力狀態為 $\sigma_x = 100\ \mathrm{MPa}$、$\sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}$、$\tau_{xy} = 75\ \mathrm{MPa}$。

1. 平均正應力（莫爾圓圓心坐標）： $\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{100 + 20}{2} = 60\ \mathrm{MPa}$

2. 莫爾圓半徑（最大平面剪應力）： $R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{100 - 20}{2}\right)^2 + 75^2} = \sqrt{40^2 + 75^2}$ $R = \sqrt{1600 + 5625} = \sqrt{7225} = 85\ \mathrm{MPa}$

3. 計算平面主應力： $\sigma_A = \sigma_{\text{avg}} + R = 60 + 85 = 145\ \mathrm{MPa}$ $\sigma_B = \sigma_{\text{avg}} - R = 60 - 85 = -25\ \mathrm{MPa}$

核心觀念

理想滑輪不計摩擦時，同一條繩上的張力相同。求拉力可對各個可動滑輪或滑輪組分別列垂直方向的力平衡；固定滑輪只改變施力方向，不改變繩張力。

解題方法

（a）複合滑輪組

先看與拉力 $F$ 相連的中間可動滑輪。它由兩段張力皆為 $F$ 的繩子支承，因此中間滑輪軸所受拉力為

這個力傳至承載重物的可動滑輪組。重物滑輪又由兩段張力皆為 $T_2$ 的繩子支承，因此

代入 $W=3000\ \mathrm{N}$：

（b）滑輪組

核心觀念

本題評量重點為「圓柱螺旋壓縮彈簧之剛度公式」與「彈簧並聯系統之合成受力特性」：

1. 圓形截面螺旋彈簧之彈簧常數（剛性率）公式： 單一螺旋彈簧之變形量 $y$ 與承受外力 $F$ 之關係為： $y = \frac{8 F D^3 N}{G d^4}$ 由此可得彈簧常數（剛度）$k$ 的計算公式為： $k = \frac{F}{y} = \frac{G d^4}{8 D^3 N}$ 其中：

• $G$：材料之剛性模數（剪切模數，$\mathrm{GPa}$ 或 $\mathrm{N/mm^2}$）
• $d$：彈簧線徑（$\mathrm{mm}$）
• $D$：彈簧平均圈徑（$\mathrm{mm}$）
• $N$：有效圈數（無因次）

2. 彈簧並聯（Parallel Connection）之特性：

• 各彈簧承受相同的壓縮變形量：$y_1 = y_2 = y$
• 系統所需的總壓縮力等於各彈簧產生抗力之代數和： $F = F_1 + F_2 = k_1 y + k_2 y = (k_1 + k_2) y$
• 系統等效彈簧常數為兩者相加：$k_{eq} = k_1 + k_2$

解題方法

步驟一：單位統一與已知參數整理

為便於計算，應力與剛性模數單位統一換算為 $\mathrm{N/mm^2}$（$\mathrm{MPa}$），長度單位一律採用 $\mathrm{mm}$：

• 剛性模數：$G = 80\ \mathrm{GPa} = 80 \times 10^3\ \mathrm{MPa} = 80,000\ \mathrm{N/mm^2}$
• 彈簧 1：
• 線徑 $d_1 = 6\ \mathrm{mm}$
• 平均圈徑 $D_1 = 60\ \mathrm{mm}$
• 有效圈數 $N_1 = 12$
• 彈簧 2：
• 線徑 $d_2 = 5\ \mathrm{mm}$
• 平均圈徑 $D_2 = 40\ \mathrm{mm}$
• 有效圈數 $N_2 = 10$
• 壓縮量：$y = 12\ \mathrm{mm}$

步驟二：計算各彈簧之彈簧常數

1. 第 1 根彈簧常數 $k_1$： $k_1 = \frac{G d_1^4}{8 D_1^3 N_1} = \frac{80,000 \times 6^4}{8 \times 60^3 \times 12}$ 代入數值化簡： $k_1 = \frac{80,000 \times 1,296}{8 \times 216,000 \times 12} = \frac{103,680,000}{20,736,000} = 5\ \mathrm{N/mm}$

2. 第 2 根彈簧常數 $k_2$： $k_2 = \frac{G d_2^4}{8 D_2^3 N_2} = \frac{80,000 \times 5^4}{8 \times 40^3 \times 10}$ 代入數值化簡：

核心觀念

本題主要測驗 CNS / ISO 標準公差與配合制度（Limits and Fits）中「基孔制配合分類」與「過盈量計算」之基本定義與應用：

1. 基孔制（Hole-basis System）配合代號：

• 基準孔代號為大寫英文字母 $\mathrm{H}$，其基本偏差為下偏差（$EI$），且規定： $EI = 0$ 孔之上偏差 $ES$ 則由公差等級決定： $ES = EI + T_h = 0 + T_h = T_h$ （其中 $T_h$ 為孔公差帶大小）。

2. 軸之基本偏差位置與配合性質：

• 軸之公差位置以小寫英文字母表示，相對於基準孔 $\mathrm{H}$ 的配合類型如下：
• $\mathrm{a} \sim \mathrm{h}$：餘隙配合（Clearance fit，鬆配）。軸之上偏差 $es \le 0$。
• $\mathrm{j} \sim \mathrm{n}$（或 $\mathrm{js}, \mathrm{k}, \mathrm{m}, \mathrm{n}$）：過渡配合（Transition fit，靜配）。可能產生餘隙或過盈。
• $\mathrm{p} \sim \mathrm{zc}$（常見如 $\mathrm{p, r, s, t, u, v, x}$ 等）：過盈配合（Interference fit，緊配）。軸之公差帶完全位於孔之上方，恆產生過盈。

3. 過盈軸的基本偏差定義：

• 軸代號在 $\mathrm{a} \sim \mathrm{h}$ 時，基本偏差為上偏差 $es$（負值或零）。
• 軸代號在 $\mathrm{k} \sim \mathrm{zc}$（含 $\mathrm{s}$）時，基本偏差為下偏差 $ei$（正值），即軸的最小尺寸界限高於基本尺寸。
• 軸之上偏差為： $es = ei + T_s$ （其中 $T_s$ 為軸公差帶大小）。

4. 過盈量（Interference）計算公式：

• 最大過盈量（$I_{\max}$）：最大軸徑與最小孔徑之差： $I_{\max} = d_{\max} - D_{\min} = es - EI$
• 最小過盈量（$I_{\min}$）：最小軸徑與最大孔徑之差： $I_{\min} = d_{\min} - D_{\max} = ei - ES$

選項分析

題目給定三種配合形式，均為基孔制（孔代號 $\mathrm{H7}$）：

1. $75\mathrm{H7}/\mathrm{c6}$：

• 性質：大餘隙配合（鬆配）。
• 原因：軸代號為 $\mathrm{c}$，遠在字母 $\mathrm{h}$ 之前，軸徑遠小於孔徑，裝配後具大量餘隙，常用於高溫膨脹或轉速極高的鬆配合，非過盈配合，故不適用。

2. $75\mathrm{H7}/\mathrm{g6}$：

• 性質：滑動配合（微小餘隙配合，鬆配）。
• 原因：軸代號為 $\mathrm{g}$，位於 $\mathrm{h}$ 之前，其上偏差略小於零，裝配後必存在微小間隙，可用於精密滑動或需自由移動之機件，非過盈配合，故不適用。

3. $75\mathrm{H7}/\mathrm{s6}$：

• 性質：過盈配合（緊配）。
• 原因：軸代號為 $\mathrm{s}$，屬於過盈配合代號區間（$\mathrm{p} \sim \mathrm{z}$），其軸的下偏差 $ei$ 恆大於孔之上偏差 $ES$，裝配後軸徑恆大於孔徑，必須藉由冷縮、熱膨脹或壓入法裝配，適用於傳遞扭矩或固定配合，故為本題適用者。

解題方法

核心觀念

本題考查定軸齒輪系的轉速比，以及手排變速箱中惰輪與直接檔的作用。外啮合齒輪的轉速比為：

負號代表兩齒輪轉向相反。複合齒輪系則沿傳動路徑逐對相乘；惰輪會改變轉向，但不影響傳動比的大小。

以下以「輸出軸轉速／輸入軸轉速」表示轉速比；比值小於 $1$ 代表減速。

解題方法

輸入齒輪 $2$ 帶動副軸齒輪 $3$，所以：

圖中齒輪 $4、5、6$ 固定在副軸上；齒輪 $8、9$ 可在輸出軸上滑移。前進檔由齒輪 $8$ 分別與齒輪 $5$、齒輪 $4$ 嚙合，第三檔則由離合器直接連接輸入軸與輸出軸。

第一檔

齒輪 $8$ 與副軸齒輪 $5$ 嚙合：

若以常見的「輸入轉速／輸出轉速」表示，第一檔為 $20/9 \approx 2.22:1$。

第二檔

齒輪 $8$ 與副軸齒輪 $4$ 嚙合：