107 地方特考四等 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

1. 第 (一) 子題：考查機械元件中「彈簧（Spring）」的基本機能與工程應用分類。彈簧為高彈性構件，藉由受載產生顯著彈性變形，並在卸載後恢復原狀，具備能量轉換、運動約束與外力感知等核心機能。
2. 第 (二) 子題：考查「組合彈簧」之等效彈簧常數（Equivalent Spring Constant, $K_{eq}$）分析：

• 彈簧並聯（Parallel）：各彈簧變形量相同（$\delta_2 = \delta_3 = \delta_p$），總外力為各彈簧受力之和（$W = W_2 + W_3$），等效彈簧常數為各彈簧常數之代數和： $K_p = K_2 + K_3$
• 彈簧串聯（Series）：各彈簧所受負載相同（$W_1 = W_p = W$），總變形量為各段變形量之和（$\delta_{total} = \delta_1 + \delta_p$），等效彈簧常數之倒數等於各段彈簧常數倒數之和： $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_p} \implies K_{eq} = \frac{K_1 K_p}{K_1 + K_p}$

解題方法

(一) 彈簧在機械應用上的三種主要功用

在機械工程設計中，彈簧主要具備以下三種功用：

1. 緩衝與吸震（吸收振動與衝擊能量）

• 原理：利用彈簧受衝擊時產生的大位移彈性變形，將機械動能轉化為應變能暫存或透過阻尼耗散，減低衝擊力峰值。
• 工程實例：汽機車懸吊系統之避震彈簧、鐵路列車車廂之聯結器緩衝彈簧、重型機座防震腳墊。

2. 儲存與釋放能量（作為動力源）

• 原理：藉由外力預先作功使彈簧蓄積彈性位變能，在需要時受控釋放，以驅動機械構件運轉。
• 工程實例：機械鐘錶發條、玩具發條機構、單眼相機快門復歸機構、槍械擊錘彈簧。

3. 控制運動與施加預壓力（維持構件接觸或機構復位）

• 原理：提供持續之偏壓（Preload），使機構從動件與主動件緊密貼合、防止分離，或於外力撤除後將構件拉回原位。
• 工程實例：內燃機進排氣門彈簧（維持汽門隨凸輪輪廓運動並密閉氣門）、離合器壓緊彈簧、機械開關與按鈕之回位彈簧。

(補充：另一重要功用為「測量力的大小」，如彈簧秤、扭力板手與鍋爐安全閥的壓力設定。)

(二) 彈簧組合常數之計算推導

圖示系統由上方彈簧 $K_1$ 與下方並聯彈簧組（$K_2$ 與 $K_3$）串聯而成，底端承載負載 $W$。

步驟一：求下方並聯組合之等效彈簧常數 $K_p$ 下方彈簧 $K_2$ 與 $K_3$ 兩端固接於剛性構件上，受力時產生相同之伸長量 $\delta_p$： $\delta_2 = \delta_3 = \delta_p$ 下方承載之總載荷 $W$ 由 $K_2$ 與 $K_3$ 共同分擔：

核心觀念

1. 漸開線齒輪中心距可分性（Center Distance Invariance）： 漸開線齒形最具代表性的幾何特性，在於兩齒輪安裝時之中心距即使產生微小變動，嚙合作用線仍為兩基圓之內公切線，齒輪嚙合接觸點之法線方向恆通過節點，因此角速度比（轉速比）維持常數不變，仍嚴格等於齒數的反比。
2. 標準中心距與實際工作中心距：

• 標準中心距：$C = \frac{m(N_1 + N_2)}{2}$
• 實際工作中心距：$C' = C + \Delta C$

3. 標準節圓（分度圓）與工作節圓（作用節圓）：

• 標準節圓半徑（$R$）：齒輪加工完成後即固定的標準幾何尺寸，$R = \frac{mN}{2}$。
• 工作節圓半徑（$R'$）：兩齒輪實際安裝嚙合時，兩輪純滾動接觸所對應的圓。兩輪工作節圓半徑比等於齒數比（$\frac{R'_1}{R'_2} = \frac{N_1}{N_2}$），且兩工作節圓半徑和等於實際工作中心距（$R'_1 + R'_2 = C'$）。

4. 基圓半徑（$R_b$）的不可變性： 基圓是生成漸開線齒形的幾何基準，齒輪一旦成型，其基圓尺寸即完全固定，不受中心距安裝誤差影響： $R_b = R \cos\phi$ 其中 $\phi$ 為齒輪之標準壓力角。

解題方法

已知條件：

• 標準壓力角 $\phi = 20^\circ$
• 大齒輪齒數 $N_1 = 72$，小齒輪齒數 $N_2 = 24$
• 模數 $m = 3\ \mathrm{mm}$
• 中心距增大量 $\Delta C = 8\ \mathrm{mm}$

(一) 求該對齒輪的轉速比

漸開線齒輪之轉速比由齒數比唯一決定，不受中心距改變之影響： $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{24}{72} = \frac{1}{3}$

大齒輪與小齒輪之轉速比為 $1 : 3$（小齒輪轉速為大齒輪之 $3$ 倍）。

(二) 求大齒輪的節圓半徑與基圓半徑

1. 計算標準中心距與工作中心距

• 標準中心距： $C = \frac{m(N_1 + N_2)}{2} = \frac{3 \times (72 + 24)}{2} = 144\ \mathrm{mm}$
• 組裝後實際工作中心距： $C' = C + \Delta C = 144 + 8 = 152\ \mathrm{mm}$

2. 大齒輪的節圓半徑 國考題目中「節圓半徑」在中心距變動時，通常指實際運轉嚙合時的「工作節圓半徑 $R'_1$」；為求解答完備，分列「工作節圓半徑」與「標準節圓半徑」：

• 工作節圓半徑（作用節圓半徑 $R'_1$）： 嚙合時兩輪工作節圓半徑比等於齒數比：

核心觀念

本題旨在評量平面四連桿機構之格拉索夫準則（Grashof's Law）​及其機構反轉（Kinematic Inversion）之運動型態判別。

1. 格拉索夫準則（Grashof's Law）： 在平面四連桿機構中，若想使至少有一桿件能相對於其他桿件進行 $360^\circ$ 的完全旋轉（即存在曲柄），則最長桿長度 $l$ 與最短桿長度 $s$ 之和大於其餘兩桿長度 $p$ 與 $q$ 之和不能成立，即必須滿足： $s + l \le p + q$
2. 連桿運動型態分類（當 $s + l < p + q$ 時）：

• 固定最短桿（以 $s$ 為機架）：與機架相鄰的兩連桿皆可作 $360^\circ$ 旋轉，形成雙曲柄機構（Double-crank mechanism / Drag-link mechanism）。
• 固定最短桿的相鄰桿（以 $p$ 或 $q$ 為機架）：與最短桿相連的桿可繞機架完全迴轉成為曲柄，另一固定桿端之連桿只能擺動，形成曲柄搖桿機構（Crank-rocker mechanism）。
• 固定最短桿的對邊桿（以對向桿 $l$ 為機架）：最短桿作為浮桿（連接桿）作整周旋轉，但兩端連接在機架上的連桿皆只能有限角度擺動，形成雙搖桿機構（Double-rocker mechanism）。

解題方法

步驟一：連桿長度分級與排列

已知四連桿鏈之頂點連接順序為封閉環路 $A-B-C-D-A$：

• $AB = 80\ \mathrm{mm}$
• $BC = 50\ \mathrm{mm}$
• $CD = 30\ \mathrm{mm}$
• $AD = 70\ \mathrm{mm}$

確認各桿長度數值：

• 最短桿 $s = CD = 30\ \mathrm{mm}$
• 最長桿 $l = AB = 80\ \mathrm{mm}$
• 其餘兩桿分別為 $p = BC = 50\ \mathrm{mm}$、$q = AD = 70\ \mathrm{mm}$

步驟二：檢驗組合條件與格拉索夫準則

1. 連桿組成可行性（閉合條件）： 最長桿長度必須小於其餘三桿長度之和： $l < s + p + q \implies 80 < 30 + 50 + 70 = 150\ \mathrm{mm} \quad \text{（可構成四連桿機構）}$
2. 格拉索夫準則判別式： $s + l = 30 + 80 = 110\ \mathrm{mm}$ $p + q = 50 + 70 = 120\ \mathrm{mm}$ 因 $s + l < p + q$（$110 < 120$），此四連桿機構符合格拉索夫準則第一類連桿機構（Grashof linkage），其中最短桿 $CD$ 具備完全迴轉之能力。

步驟三：確認各連桿相對拓撲關係

由環路 $A-B-C-D-A$ 可知：

• $CD$：最短桿（$s$）
• $AB$：為 $CD$ 之對邊桿（對向桿）

核心觀念

本題旨在評量機械機構學中撓性聯軸器（Flexible Coupling）​與特殊機構反轉（Inversion of Mechanisms）​之基本概念與工程應用。核心觀念包含：

1. 傳動軸之幾何對心關係：

• 相交軸（Intersecting Shafts）：兩軸心在同一平面內相交成一定夾角 $\theta$，運轉時夾角常隨負載或懸吊起伏動態變動。
• 平行偏心軸（Parallel Offset Shafts）：兩軸心互相平行，但軸心線未對齊，存在微小的徑向偏移量（偏心距 $e$）。

2. 機構運動學分類與反轉（Mechanism Inversions）：

• 球面機構（Spherical Mechanism）：所有旋轉副（Revolute pairs）之軸線均交於同一球心。
• 雙滑塊機構（Double Slider-Crank Mechanism）之反轉：具有兩個轉動副與兩個移動副（$R\text{-}P\text{-}R\text{-}P$）的平面運動鏈，藉由固定不同構件所產生之衍生機構。

解題方法

本題為申論與簡答題，應針對兩小題的「組成構件」、「所屬機構」及「主要用途」採取條列式剖析，切中閱卷評分要點。

(一) 萬向接頭（Universal Joint / Hooke's Joint）

1. 所屬機構：

• 萬向接頭屬於空間機構中的球面四連桿機構（Spherical Four-Bar Mechanism）。
• 機構本質具有 4 個迴轉對（Revolute pairs），4 個迴轉對的幾何軸線均精確交於同一個球心點。

2. 組成構件：

• 兩叉形接頭（Yokes / Forks）：分別緊固於主動軸與被動軸的軸端。
• 中間十字銷軸（Cross / Spider）：位於中心，具有四個互相垂直成十字對稱的銷軸頸（Trunnions），分別樞接於兩側的叉形夾孔中，並通常襯有滾針軸承。

3. 主要用途：

• 傳遞相交軸之旋轉運動與扭矩：專門用於連接兩軸線相交成一定夾角 $\theta$（通常在 $0^\circ \sim 30^\circ$ 以內，實務建議 $\theta \le 15^\circ$ 以降低磨損與振動）之兩旋轉軸。
• 容許夾角動態變動：在機器運轉過程中，兩軸之交角可動態變化而不中斷動力傳輸。
• 工程實例：汽車後輪驅動系統之傳動軸（連接變速箱與後差速器）、轉向柱機構、工具機傳動連桿等。

(二) 歐丹聯軸器（Oldham Coupling）

1. 組成構件：

• 兩外側凸緣盤（Flanges）：分別以鍵固定在主動軸與被動軸端部，兩盤之端面各開有一道沿直徑貫穿的矩形滑槽（榫槽）。
• 中間浮動圓盤（Floating Center Disc / Slider）：圓盤兩側端面各鑄造或銑削出一條互成 $90^\circ$（互相垂直）的凸榫（突緣滑塊），分別滑配嵌合於兩側凸緣盤的滑槽中。

2. 所屬機構：

• 屬於平面雙滑塊機構（Double Slider-Crank Chain）的反轉機構（以固定機架連結兩滑塊，形成雙移動對與雙轉動對之運動鏈）。
• 中間盤的質心在運轉過程中會以兩軸偏心距 $e$ 為直徑，以 $2\omega$ 的角速度繞圓心旋轉。

3. 主要用途：

• 傳遞平行偏心軸之等速動力：專門用於聯接軸線互相平行但具有微小徑向偏差（中心線不重合，徑向偏心距為 $e$）​的兩傳動軸。

核心觀念

1. 迴歸齒輪系（Reverted Gear Train）的定義與特性： 迴歸齒輪系屬於複式齒輪系（Compound Gear Train）的一種，其最大特徵為第一傳動軸（輸入軸）與最後傳動軸（輸出軸）的中心線重合（共線／同心），但兩軸彼此分開獨立旋轉。兩軸之間藉由一根平行的中間軸（副軸）安裝兩只剛性相連的齒輪進行傳動。
2. 正齒輪幾何關係式：

• 節圓直徑：$d = m \cdot N$（$m$ 為模數，$N$ 為齒數）。
• 兩外嚙合齒輪的中心距（Center Distance）： $C = \frac{d_A + d_B}{2} = \frac{m(N_A + N_B)}{2}$

3. 迴歸齒輪系的等中心距條件： 由於輸入／輸出軸共線，第一對嚙合齒輪（齒輪 1 與 2）的中心距 $C_1$ 必須等於第二對嚙合齒輪（齒輪 3 與 4）的中心距 $C_2$： $C_1 = C_2 = C = \frac{m_1(N_1 + N_2)}{2} = \frac{m_2'(N_3 + N_4)}{2}$ （其中 $m_1$ 為第一對齒輪之模數，$m_2'$ 為第二對齒輪之模數）
4. 齒輪系傳動比與減速比： 減速比 $e$ 定義為輸入轉速與輸出轉速之比值。若為雙級減速： $e = \frac{\omega_{\text{in}}}{\omega_{\text{out}}} = \frac{N_2}{N_1} \times \frac{N_4}{N_3}$

機構簡圖

迴歸齒輪系由兩對外嚙合齒輪組成：輸入軸帶動齒輪 1，齒輪 1 帶動固定於中間軸上的齒輪 2；齒輪 3 與齒輪 2 同軸固連，並帶動輸出軸上的齒輪 4。

 固定機架 (軸承) 固定機架 (軸承)
 ┌───┐ ┌───┐
 │///│ │///│
 └──┬┘ └──┬┘
 輸入軸 │ ┌──────┐ │
 ─────======──────┤齒輪 1├ │ 輸出軸 (與輸入軸同心)
 └──────┘ │ ────────======────────
 ││ (嚙合) │ ┌──────┐
 ││ │ │齒輪 4│
 ┌──┬┐ ││ │ └──────┘
 │///│ ┌──────┐ ┌──────┐ │ ││ (嚙合)
 中間軸 └──┼┘ │齒輪 2├──────────┤齒輪 3├──┼────────││
 ──────────┴──────┴──────┴──────────┴──────┴──┴────────┘
 
 |<───────────────────── 軸距 C = 300 mm ─────────────────────>|

解題方法

步驟一：定義齒輪編號與已知條件

• 齒輪 1（輸入齒輪）：$N_1 = 30$，$m_1 = 5\ \mathrm{mm}$。
• 齒輪 2（中間軸大齒輪）：與齒輪 1 嚙合，模數相同，即 $m_2 = m_1 = 5\ \mathrm{mm}$。
• 齒輪 3（中間軸小齒輪）：與齒輪 4 嚙合，模數相同，即 $m_3 = m_4 = 4\ \mathrm{mm}$。
• 齒輪 4（輸出齒輪）：$m_4 = 4\ \mathrm{mm}$。
• 軸心距：$C = 300\ \mathrm{mm}$。
• 總減速比：$e = 15$。