109 地方特考四等 電力工程 輸配電學概要 考古題詳解

核心觀念

1. 中程輸電線路模型： 長度在 $80\ \mathrm{km} \sim 250\ \mathrm{km}$ 之間的輸電線路屬於中程輸電線，分析時採用集中參數法（Lumped-parameter model）。工程上常使用標稱 $\pi$ 型電路（Nominal $\pi$ circuit），將總串聯阻抗 $Z$ 集中於中央，總並聯導納 $Y$ 均分於兩端（各為 $\frac{Y}{2}$）。
2. 標稱 $\pi$ 型之廣義傳輸參數（$ABCD$ 參數）： $A = D = 1 + \frac{ZY}{2}$ $B = Z$ $C = Y\left(1 + \frac{ZY}{4}\right)$ 滿足對稱網路性質（$A = D$）與可逆被動雙埠網路特性（$AD - BC = 1$）。
3. 三相傳輸方程式（單相反抗分析）： 以受電端相電壓為參考相量： $V_S = A V_R + B I_R$ 其中 $V_S$、$V_R$ 為相電壓，$I_R$ 為受電端相電流（等於線電流）。
4. 超前功因（Leading Power Factor）的相量定義： 超前功因代表負載電流相角超前電壓，計算相角時 $\theta > 0$，即 $\angle I_R = +\arccos(\text{pf})$。

解題方法

（一）求 $A$、$B$、$C$、$D$ 參數

步驟 1：計算線路總串聯阻抗 $Z$ 與總並聯導納 $Y$

• 線路長度 $l = 120\ \mathrm{km}$
• 總串聯阻抗 $Z$： $Z = z \cdot l = (0.08 + j0.48) \times 120 = 9.6 + j57.6\ \Omega = 58.39\angle 80.54^\circ\ \Omega$
• 總並聯導納 $Y$： $Y = y \cdot l = (j3\times 10^{-6}) \times 120 = j3.6\times 10^{-4}\ \mathrm{S} = 3.6\times 10^{-4}\angle 90^\circ\ \mathrm{S}$

步驟 2：計算無因次乘積 $ZY$ 及其各階項 $ZY = (9.6 + j57.6)(j3.6\times 10^{-4}) = -0.020736 + j0.003456$ $\frac{ZY}{2} = -0.010368 + j0.001728$ $\frac{ZY}{4} = -0.005184 + j0.000864$

步驟 3：計算各參數

• $A$ 與 $D$ 參數： $A = D = 1 + \frac{ZY}{2} = 1 + (-0.010368 + j0.001728) = 0.989632 + j0.001728 = 0.9896\angle 0.10^\circ$
• $B$ 參數： $B = Z = 9.6 + j57.6\ \Omega = 58.39\angle 80.54^\circ\ \Omega$
• $C$ 參數： $C = Y\left(1 + \frac{ZY}{4}\right) = (j3.6\times 10^{-4})(0.994816 + j0.000864)$ $C = -3.11\times 10^{-7} + j3.581\times 10^{-4}\ \mathrm{S} = 3.581\times 10^{-4}\angle 90.05^\circ\ \mathrm{S}$

（二）求送電端線電壓 $V_S$ 之大小

步驟 1：建立受電端基準值（單相）

• 受電端線電壓為 $155\ \mathrm{kV}$，以受電端相電壓為零度參考相量： $V_R = \frac{155\ \mathrm{kV}}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ \approx 89.489\angle 0^\circ\ \mathrm{kV} = 89,489\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$
• 負載三相有效功率 $P_R = 200\ \mathrm{MW}$，功因 $\cos\theta = 0.9$ 超前：

核心觀念

本題考三相短路的次暫態電流計算，以及各電源對故障點的電流貢獻。先將同步發電機、變壓器與電動機的次暫態電抗換算到共同標麼基準，再依故障點與斷路器 A 的位置分別計算。

以故障側 $6.9\ \mathrm{kV}$ 作為電壓基準，三相短路時假設各電源的次暫態內電勢為 $1\ \mathrm{pu}$，忽略故障前負載電流。

解題方法

共同基準為 $50\ \mathrm{MVA}$，變壓器變比為 $13.8/6.9\ \mathrm{kV}$，因此發電機側與故障側的電壓基準符合變比，發電機與變壓器的標麼電抗可直接串聯：

每台電動機的電抗從 $5\ \mathrm{MVA}$ 基準換算至 $50\ \mathrm{MVA}$ 基準：

四台電動機各自經過 $2.0\ \mathrm{pu}$ 電抗，並聯後的等效電抗為：

發電機與變壓器支路、四台電動機支路都會向 $P$ 點故障供電，因此總次暫態故障電流為：

核心觀念

本題旨在評量單相交流配電線路之穩態相量分析、線路壓降及傳輸效率之基本計算能力。核心公式與觀念包含：

1. 單相交流功率與負載電流： $P_R = V_R I \cos\theta_R \implies I = \frac{P_R}{V_R \cos\theta_R}$ 以負載端電壓為參考相量（$\mathbf{V}_R = V_R \angle 0^\circ$），落後（滯後）功率因數之負載電流相角為負值： $\mathbf{I} = I \angle (-\theta_R) = I(\cos\theta_R - j\sin\theta_R)$

2. 短程線路之基爾霍夫電壓定律（KVL）： 單相兩線式線路中，給定之線路阻抗 $Z = R + jX$ 代表傳輸迴路之等效串聯總阻抗。送電端電壓相量為負載端電壓與線路電壓降之和： $\mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R + \mathbf{I} Z$

3. 線路損失與配電效率：

• 線路僅電阻成分會消耗有功功率，線路功率損失（銅損）為： $P_{\text{loss}} = I^2 R$
• 送電端輸入之有功功率： $P_S = P_R + P_{\text{loss}}$
• 配電傳輸效率定義為負載端接收之有功功率與送電端發出之有功功率之百分比： $\eta = \frac{P_R}{P_S} \times 100\% = \frac{P_R}{P_R + P_{\text{loss}}} \times 100\%$

解題方法

（一）求送電端電壓 $\mathbf{V}_S$

1. 設定參考相量與求解負載電流： 選取負載端電壓為參考相量： $\mathbf{V}_R = 210 \angle 0^\circ\ \mathrm{V}$ 已知負載功率 $P_R = 5{,}000\ \mathrm{W}$，功率因數 $\cos\theta_R = 0.8$（滯後），則： $\sin\theta_R = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$ 負載電流大小為： $I = \frac{P_R}{V_R \cos\theta_R} = \frac{5000}{210 \times 0.8} = \frac{5000}{168} = \frac{625}{21} \approx 29.7619\ \mathrm{A}$ 因功因為滯後，電流相量落後電壓 $\theta_R = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$： $\mathbf{I} = 29.7619 \angle (-36.87^\circ)\ \mathrm{A} = \frac{625}{21} (0.8 - j0.6) = \left(\frac{500}{21} - j\frac{375}{21}\right) \approx 23.8095 - j17.8571\ \mathrm{A}$

2. 計算線路電壓降 $\Delta \mathbf{V}$： 線路總阻抗 $Z = 0.4 + j0.6\ \Omega$，線路壓降為： $\Delta \mathbf{V} = \mathbf{I} Z = (23.8095 - j17.8571)(0.4 + j0.6)$ 實部與虛部分別計算： $\mathrm{Re}(\Delta \mathbf{V}) = 23.8095 \times 0.4 - (-17.8571 \times 0.6) = 9.5238 + 10.7143 = 20.2381\ \mathrm{V}$ $\mathrm{Im}(\Delta \mathbf{V}) = 23.8095 \times 0.6 + (-17.8571 \times 0.4) = 14.2857 - 7.1428 = 7.1429\ \mathrm{V}$ 即： $\Delta \mathbf{V} = 20.2381 + j7.1429\ \mathrm{V}$

3. 計算送電端電壓相量與大小： $\mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R + \Delta \mathbf{V} = 210 + (20.2381 + j7.1429) = 230.2381 + j7.1429\ \mathrm{V}$ 送電端電壓有效值（大小）為： $V_S = |\mathbf{V}_S| = \sqrt{(230.2381)^2 + (7.1429)^2} = \sqrt{53009.58 + 51.02} = \sqrt{53060.60} \approx 230.35\ \mathrm{V}$ 相角為：

核心觀念

1. 輸電線路 ABCD 參數與功率方程式： 長距離輸電線路以二埠網路（雙埠網路）模型表示時，送電端與受電端之相量關係式為： $V_S = A V_R + B I_R$ 其中 $V_S$ 與 $V_R$ 分別為送、受電端電壓，$I_R$ 為受電端電流，$A = |A|\angle\theta_A$、$B = |B|\angle\theta_B$ 為線路之四端常數。

三相受電端複數功率方程式為 $S_R = P_R + j Q_R = 3 V_{R,\mathrm{ph}} I_R^*$，推導後之三相實功率公式為： $P_R = \frac{|V_S||V_R|}{|B|}\cos(\theta_B - \delta) - \frac{|A||V_R|^2}{|B|}\cos(\theta_B - \theta_A)$ 若式中 $|V_S|$ 與 $|V_R|$ 代入線對線電壓（單位 $\mathrm{kV}$），$|B|$ 單位為歐姆（$\Omega$），則所計算出的三相實功率 $P_R$ 單位直接為兆瓦（$\mathrm{MW}$）。

2. 實際負載能力（Practical Line Loadability）： 輸電線路的輸送容量在長距離（如本題 $300\ \mathrm{km}$）時，受限於穩態穩定度限制（通常要求功角差 $\delta \le 30^\circ \sim 35^\circ$）以及電壓降限制（受電端維持 $V_R \ge 0.95\ \mathrm{pu}$）。在此安全運轉邊界條件下所能輸送的最大實功率，即為實際負載能力。

3. 三相實功率與負載電流關係： 三相負載電流與實功率之關係為： $P_R = \sqrt{3} |V_R| |I_R| \cos\theta \implies |I_R| = \frac{P_R}{\sqrt{3} |V_R| \cos\theta}$ 其中 $\cos\theta$ 為負載功率因數。超前功因代表電流相量超前電壓相量。

解題方法

（一）求輸電線路之實際負載能力 $P_R$

1. 參數數值整理與單位換算：

• 基準線電壓：$V_{\mathrm{base}} = 345\ \mathrm{kV}$
• 送電端線電壓大小：$|V_S| = 1.0\ \mathrm{pu} = 1.0 \times 345\ \mathrm{kV} = 345\ \mathrm{kV}$
• 受電端線電壓大小：$|V_R| = 0.95\ \mathrm{pu} = 0.95 \times 345\ \mathrm{kV} = 327.75\ \mathrm{kV}$
• 傳輸參數：
• $A = 0.93\angle 0.2^\circ \implies |A| = 0.93,\ \theta_A = 0.2^\circ$
• $B = 97\angle 87^\circ\ \Omega \implies |B| = 97\ \Omega,\ \theta_B = 87^\circ$
• 兩端電壓相角差：$\delta = 30^\circ$

2. 代入三相受電端實功率公式： $P_R = \frac{|V_S||V_R|}{|B|}\cos(\theta_B - \delta) - \frac{|A||V_R|^2}{|B|}\cos(\theta_B - \theta_A)$

• 第一項： $\frac{|V_S||V_R|}{|B|}\cos(\theta_B - \delta) = \frac{345 \times 327.75}{97}\cos(87^\circ - 30^\circ)$