110 地方特考五等 電子工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查串聯電路的電流特性，以及電阻消耗功率公式：

• 串聯電路中，各電阻通過的電流相同。
• 電阻消耗功率為 $P=I^2R$

因為 $R_1$ 與 $R_2$ 串聯，兩者電流皆為 $I$，所以功率比等於電阻值比：

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{I^2R_2}{I^2R_1}=\frac{R_2}{R_1}$

解題方法

已知：

$R_1:R_2=1:3$

因此：

$\frac{R_2}{R_1}=3$

又已知 $R_1$ 的消耗功率為：

$P_1=20\text{ W}$

故：

$P_2=3P_1=3\times20=60\text{ W}$

因此正確答案為 (C) $60\text{ W}$。

選項分析

• (A) $20/3\text{ W}$：錯誤。 這是將功率誤認為與電阻值成反比。串聯電路中電流相同，依 $P=I^2R$ 可知功率與電阻值成正比。

核心觀念

本題考查半導體材料的電阻率與溫度之關係。

材料電阻率可表示為：

其中：

• $\rho$：電阻率
• $\sigma$：電導率

對半導體而言，溫度升高時，價電子獲得更多熱能，容易脫離共價鍵形成自由電子與電洞，使載子濃度增加。載子數量增加會使電導率 $\sigma$ 上升，因此電阻率 $\rho$ 下降。

解題方法

矽屬於半導體材料。溫度升高時，其熱激發作用增強，產生較多自由電子與電洞，導電載子濃度增加。

半導體的電導率可概念性表示為：

其中：

• $q$：基本電荷量
• $n$：自由電子濃度
• $p$：電洞濃度
• $\mu_n$、$\mu_p$：電子與電洞的遷移率

雖然溫度升高會使載子遷移率因晶格振動增強而降低，但在一般基本電學的判斷中，載子濃度增加所造成的導電能力提升占主要作用。因此：

核心觀念

本題考查電壓差的定義。電壓差表示單位電荷移動時所涉及的能量變化，其關係式為

其中：

• $V$：電壓差，單位為伏特（V）
• $W$：能量或功，單位為焦耳（J）
• $q$：電荷量，單位為庫侖（C）

由於題目給的是「需要的能量」及電荷量，因此求的是兩點間電壓差的大小。

解題方法

題目給定：

代入公式：

因此，A、B 兩點間的電壓差為 $5$ 伏特。

選項分析

• (A) $4$ 伏特：錯誤。 將電荷量 $4\text{ C}$直接當成電壓數值，未使用電壓差公式。正確計算為 $20\div4=5\text{ V}$。

• (B) $5$ 伏特：正確。 由

核心觀念

本題考查電位差、電荷與電能的基本關係：

其中：

• $W$：電荷通過電壓降所消耗的能量，單位為焦耳（J）
• $Q$：電荷量，單位為庫侖（C）
• $V$：電壓降，單位為伏特（V）

由此可得：

解題方法

已知：

代入公式：

因為：

所以：

因此電壓降為 $800$ 伏特。

選項分析

• (A) $500$ V：錯誤。 若電壓為 $500$ V，消耗能量為

並非題目所給的 $4$ J。

核心觀念

本題考查串聯、並聯電阻的等效電阻，以及歐姆定律：

• 兩個相同的 $18\Omega$ 電阻並聯：

$R_p=\frac{18\times18}{18+18}=9\Omega$

• 串聯電路中，總電阻為各部分電阻相加。
• 利用歐姆定律：

$V=IR$

並聯電阻兩端的電壓相同，因此求出並聯部分的跨壓，即為每個 $18\Omega$ 電阻的跨壓。

解題方法

圖中電路可視為 $5\Omega$ 電阻與兩個並聯的 $18\Omega$ 電阻串聯。

首先，兩個 $18\Omega$ 電阻並聯後的等效電阻為：

$R_p=\frac{18\times18}{18+18}=9\Omega$

因此全電路總電阻：

$R_{\text{total}}=5+9=14\Omega$

電源電壓為 $28\text{ V}$，所以電路總電流：

$I=\frac{28}{14}=2\text{ A}$

並聯部分的等效電阻為 $9\Omega$，其兩端電壓為：

$V_p=IR_p=2\times9=18\text{ V}$

由於並聯電路各支路兩端電壓相同，所以每個 $18\Omega$ 電阻的跨壓皆為：

$V_{18\Omega}=18\text{ V}$

選項分析

• (A) $12\text{ V}$：錯誤。 $12\text{ V}$ 是將電路錯誤分壓，或未正確計算兩個 $18\Omega$ 電阻並聯等效值所得到的結果。

核心觀念

本題考查能量與功率的單位定義及換算：

• 能量單位：焦耳（J）、電子伏特（eV）、卡（cal）、千瓦小時（kWh）。
• 功率定義為單位時間所消耗或傳遞的能量： $P=\frac{W}{t}$
• 電功率與電能的關係為： $E=Pt$

其中，$1\text{ W}=1\text{ J/s}$，表示每秒傳遞或消耗 $1$ 焦耳的能量。

解題方法

逐一檢查各選項的單位定義與換算關係。題目問「錯誤」的敘述，只要找出不符合定義者即可。

選項分析

(A) $1\text{ 瓦特}$等於 $1\text{ 焦耳}$乘以 $1\text{ 秒}$

錯誤。

瓦特是功率單位，依功率定義：

因此：

而不是：

題目敘述中的「焦耳乘以秒」單位為 $\text{J}\cdot\text{s}$，並非功率單位 $\text{J}/\text{s}$，故此選項錯誤。

(B) 電子伏特為能量單位

正確。

核心觀念

四環式電阻色碼依序表示：

1. 第一環：第一位有效數字
2. 第二環：第二位有效數字
3. 第三環：倍率
4. 第四環：誤差值

常用顏色對應如下：

本題電阻標示為 $82\ \Omega\pm 5\%$，因此：

• 前兩環應為數字 $8、2$
• 倍率應為 $10^0$
• 誤差環應為金色，表示 $\pm 5\%$

解題方法

電阻值可寫成：

題目要求：

因此：

• $8$ 對應灰色
• $2$ 對應紅色
• $10^0$ 對應黑色
• $\pm 5\%$ 對應金色

故四環色碼為：

選項分析

• (A) 灰紅黑金：正確

灰色代表 $8$，紅色代表 $2$，黑色代表倍率 $10^0$，金色代表誤差 $\pm 5\%$：

• (B) 灰黑紅金：錯誤

核心觀念

本題考查串聯、並聯電阻的等效化簡：

• 串聯：$R_{\text{eq}}=R_1+R_2+\cdots$
• 並聯：$\displaystyle \frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots$

圖中所有電阻均以 $k\Omega$ 為單位。

解題方法

1. 右側兩個 $2\,k\Omega$ 電阻並聯：

2. 節點上方的 $3\,k\Omega$ 與右側等效的 $1\,k\Omega$ 串聯：

3. 從中間節點到底部的兩個 $8\,k\Omega$ 電阻並聯：

4. 中間節點到底部有兩條 $4\,k\Omega$ 支路並聯，因此：

5. 最左側的 $3\,k\Omega$ 與中間部分串聯：

核心觀念

本題考查金屬材料的電導係數（electrical conductivity）比較。

電導係數以 $\sigma$ 表示，與電阻率 $\rho$ 互為倒數：

因此，電阻率越小，電導係數越大，導電能力越佳。

在室溫、金屬純度相近的標準比較下，常見金屬的電導係數約為：

銀的電阻率最低，因此電導係數最高。

解題方法

直接比較各金屬在室溫下的電導係數即可。典型數值如下：

由於銀的 $\sigma$ 最大，所以選擇銀。

金屬的導電能力主要與自由電子數量及電子在晶格中的移動阻礙有關。銀具有很低的電阻率，故在常溫下的導電性優於銅、鋁及鐵。

選項分析

核心觀念

本題考查串聯、並聯電路的等效電阻，以及歐姆定律：

$I=\frac{V}{R_{\text{total}}}$

判斷電路時，必須先確認導線連接的節點。圖中左側導線直接連接到下方中間節點，因此下方中間節點與電源正端為同一節點。

解題方法

1. 中間垂直的 $2\,\text{k}\Omega$ 電阻，與上方左側的 $2\,\text{k}\Omega$ 電阻接在相同兩個節點之間，因此兩者並聯：

2. 此 $1\,\text{k}\Omega$ 電阻再與上方右側的 $1\,\text{k}\Omega$ 電阻串聯：

3. 下方的 $2\,\text{k}\Omega$ 電阻，與上述 $2\,\text{k}\Omega$ 支路並聯：

4. 最右側垂直的 $2\,\text{k}\Omega$ 電阻與 $R_3$ 串聯，所以總電阻為：

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）：

任一節點的電流代數和為零，亦即流入節點的總電流必等於流出節點的總電流。

電流表 $\text{A}_1$、$\text{A}_2$ 分別量測上方兩段導線中的電流。

解題方法

先觀察下方中央節點。由圖可知：

• 上方有 $2\text{ A}$ 向下流入；
• 下方有 $5\text{ A}$ 向上流入；
• 左方電流 $\text{I}_2$ 向左流出；
• 右方有 $1\text{ A}$ 向右流出。

依 KCL：

因此：

在左下方節點，$3\text{ A}$ 流入，$\text{I}_2$ 流入，$4\text{ A}$ 與 $\text{I}_1$ 流出：

代入 $\text{I}_2=6$：

再觀察左上方節點。由圖可知，左側有 $2\text{ A}$ 流入，$\text{I}_1$ 由下方流入，$1\text{ A}$ 向上流出，剩餘電流流經 $\text{A}_1$ 向右：

代入 $\text{I}_1=5$：

核心觀念

本題考查電阻橋式電路的等效電阻，以及歐姆定律：

電壓源內外串聯電阻時，總電阻為各電阻相加。圖中 $5\Omega$ 電阻與菱形橋式網路串聯，因此須先求出橋式網路在 $a、d$ 兩端的等效電阻。

解題方法

菱形網路的四個電阻為：

• $a-b：100\Omega$
• $b-d：40\Omega$
• $a-c：125\Omega$
• $c-d：37.5\Omega$
• $b-c：25\Omega$

此橋式並非平衡電橋，因為：

因此不能直接將中間的 $25\Omega$ 電阻視為無電流通過，必須利用節點電壓法求等效電阻。

在 $a、d$ 兩端施加測試電壓 $1\text{ V}$，令：

設中間兩節點電壓分別為 $V_b$、$V_c$。

於節點 $b$ 寫 KCL：

整理得：

於節點 $c$ 寫 KCL：

整理得：

聯立可得：

由節點 $a$ 流入橋式網路的測試電流為：

核心觀念

本題考查開關閉合後的短路效應，以及電阻兩端電位相同時的電流判斷。

電阻電流遵守歐姆定律：

其中 $V_R$ 為電阻兩端電壓。若電阻兩端被理想導線短接，則兩端電位相同，故：

解題方法

當開關 $A$、$B$、$C$ 均閉合時：

1. 開關 $A$ 閉合後，左側上方節點直接以導線接到底部節點。
2. 開關 $B$ 閉合後，中央上方節點與左側上方節點相連，因此中央上方節點也與底部節點等電位。
3. 題目所問的垂直 $3\text{-}\Omega$ 電阻，其上端接中央上方節點，下端接底部節點。

因此，該 $3\text{-}\Omega$ 電阻的兩端皆接在同一節點上：

依歐姆定律：

核心觀念

本題考查電阻梯形網路的等效電阻化簡，以及分壓定則。化簡時由最右端開始，將「串聯」與「並聯」逐段向左合併。

公式：

• 串聯：$R_{\text{eq}}=R_1+R_2$
• 並聯：$R_{\text{eq}}=R_1\parallel R_2=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
• 分壓：$V_x=V_{\text{in}}\dfrac{R_x}{R_{\text{series}}+R_x}$

解題方法

由右向左化簡。

最右端的 $6\Omega$ 與上方的 $6\Omega$ 串聯：

此 $12\Omega$ 與第三節點的垂直 $6\Omega$ 並聯：

再往左，第二節點看到的右側等效電阻為：

與該節點的垂直 $10\Omega$ 並聯：

再往左：

與第一節點的垂直 $12\Omega$ 並聯：

因此整個電路可化為電源 $120\text{ V}$ 串聯兩個 $6\Omega$：

第一節點電壓為：

第二節點由 $7\Omega$ 與 $5\Omega$ 分壓：

第三節點由 $6\Omega$ 與 $4\Omega$ 分壓：

核心觀念

本題考查節點電壓法與克希荷夫電流定律（KCL）。

左側電壓源使左側節點電壓固定為 $8\text{ V}$。電流源箭頭向上，表示有 $8\text{ A}$ 電流注入節點 $b$。

解題方法

設節點電壓為 $V_a$、$V_b$，接地端電壓為 $0\text{ V}$。

對節點 $a$ 使用 KCL：

乘以 $6$ 整理：

對節點 $b$ 使用 KCL。由於 $8\text{ A}$ 電流注入節點 $b$，可寫為：

乘以 $12$：

整理得：

由式 $(1)$：

核心觀念

本題考查節點電壓法與基爾霍夫電流定律（KCL）。

• 左側電壓源使左側節點電壓為 $40\text{ V}$。
• 下方導線為接地，電壓為 $0\text{ V}$。
• 設中間節點電壓為 $V_x$，右側輸出節點電壓為 $V_o$。
• 電流源箭頭方向代表電流流入或流出節點，必須正確列入 KCL。

解題方法

以中間節點 $V_x$ 及輸出節點 $V_o$ 分別列 KCL。

在中間節點 $V_x$：

$1\text{ A}$ 電流源向上注入節點，因此

整理得

在輸出節點 $V_o$：

經由 $12\Omega$、$4\Omega$、$6\Omega$ 流出的電流，以及向左流出的 $2\text{ A}$ 電流源，滿足

乘以 $12$ 並整理：

由式 $(1)$：

代入式 $(2)$：

核心觀念

本題考查多電源電路的戴維寧等效電路：

• 開路電壓 $V_{\text{oc}}$：將負載端 $a$–$b$ 開路後，求端電壓。
• 等效電阻 $R$：將獨立電壓源短路、獨立電流源開路後，由端點 $a$–$b$ 看入的等效電阻。

圖中右側的 $6\Omega$ 電阻與 $18\text{ V}$ 電壓源為負載，因此求左側網路的戴維寧等效。

解題方法

先將端點 $a$–$b$ 開路。此時右側的 $6\Omega$ 與 $18\text{ V}$ 支路被移除，端點 $a$ 沒有電流流出，因此左上方的 $6\Omega$ 電阻中也沒有電流，故其壓降為零：

其中 $V_x$ 為左側上方節點電壓。

該節點受到 $12\text{ A}$ 電流源、$24\Omega$ 串聯 $72\text{ V}$ 電壓源，以及 $12\Omega$ 電阻的作用。

由節點電壓法：

乘以 $24$：

因此：

為驗算等效電阻，將獨立源失效：

• $72\text{ V}$ 電壓源短路；
• $12\text{ A}$ 電流源開路。

由端點 $a$–$b$ 看入：

核心觀念

本題考查惠斯登電橋的平衡條件，以及串聯、並聯等效電阻的計算。

若橋路兩側中點電位相同，連接兩中點的電阻不流過電流，該電阻即可視為不影響電路。

圖中三組上下電阻比為：

因此左、中、右三個中點電位相同，$4\ \Omega$ 與 $10\ \Omega$ 的橫向電阻均無電流通過。

解題方法

橋路平衡後，電路可化為上下兩組並聯電阻，再彼此串聯。

上方三個電阻並聯：

因此：

下方三個電阻並聯：

因此：

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理：

$R_L=R_{\mathrm{th}}$

負載獲得的最大功率為：

$P_{L,\max}=\frac{V_{\mathrm{th}}^2}{4R_{\mathrm{th}}}$

其中 $V_{\mathrm{th}}$ 為負載端開路時的戴維寧電壓，$R_{\mathrm{th}}$ 為獨立電壓源失效後，從負載端看入的等效電阻。

解題方法

先將負載電阻 $R_L$ 移除，求其開路端電壓。

右側支路由 $12\Omega$ 與 $6\Omega$ 串聯接在 $24\text{ V}$ 電源上，因此：

圖中的 $9\Omega$ 電阻直接並聯於理想 $24\text{ V}$ 電壓源兩端，不會影響右側分壓電壓。

接著求 $R_{\mathrm{th}}$。將理想電壓源短路後，從 $R_L$ 端看入，可見 $12\Omega$ 與 $6\Omega$ 並聯：

依最大功率傳輸定理：

$R_L=R_{\mathrm{th}}=4\Omega$

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理。

對負載電阻 $R$ 而言，當

時，負載可獲得最大功率，最大功率為

其中 $V_{\text{th}}$ 為端點 $A$、$B$ 的戴維寧等效電壓，$R_{\text{th}}$ 為關閉獨立源後由 $A$、$B$ 看入的等效電阻。

解題方法

令中央上方節點電壓為 $V$，下方節點 $B$ 作為接地。

先求戴維寧電壓 $V_{\text{th}}$。將負載 $R$ 開路後，右側 $2\Omega$ 電阻沒有電流，因此

對中央節點套用 KCL：

整理得

接著求 $R_{\text{th}}$：

• $15\text{ V}$ 電壓源關閉，視為短路。
• $1\text{ A}$ 電流源關閉，視為開路。

由 $A$ 端看入，右側 $2\Omega$ 與中央節點至地的等效電阻串聯，而中央節點至地為

因此

最大功率為

核心觀念

本題考查變壓器的磁通與負載關係。

左側線圈接交流電壓源時，鐵心中的最大磁通由下式決定：

因此：

其中 $V_1$ 為一次側電壓、$f$ 為交流頻率、$N_1$ 為一次側匝數。題目中移除的是右側線圈所接的電阻，並未改變左側電壓源、頻率或一次側匝數。

解題方法

右側線圈接有電阻時，二次側有感應電壓並產生負載電流。負載電流所形成的磁動勢會抵抗原本的磁通變化，使一次側額外吸收電流，以維持鐵心中的主要磁通。

當右側線圈所接電阻移除而成為開路時：

• 二次側電流變為 $0$；
• 二次側不再有負載磁動勢；
• 一次側仍接在相同的交流電壓源；
• $V_1$、$f$、$N_1$ 均未改變。

由

核心觀念

本題考查互感定律。當線圈 $\text{N1}$ 的電流隨時間變化時，會在線圈 $\text{N2}$ 產生互感應電動勢，其大小為

其中：

• $M$：兩線圈的互感，單位為亨利（H）
• $i_1$：線圈 $\text{N1}$ 的電流
• $\dfrac{di_1}{dt}$：電流變化率
• $e_2$：線圈 $\text{N2}$ 的互感應電動勢

若考慮楞次定律，完整表示式為

負號代表感應電動勢的方向會抵抗原本的磁通量變化；本題選項均以電壓大小表示。

解題方法

題目給定

且線圈 $\text{N1}$ 的電流為

對時間 $t$ 微分：

代入互感應電動勢公式：

因此線圈 $\text{N2}$ 產生的互感應電動勢大小為 $5\text{ V}$。

核心觀念

本題考查克希荷夫電流定律（KCL）：

任一節點的電流代數和為零，亦即流入節點的總電流等於流出節點的總電流。

圖中各支路電流方向依箭頭設定：

• $A$：$1\text{ A}$ 向上
• $B$：$5\text{ A}$ 向右
• $C$：$2\text{ A}$ 向下
• $D$：$3\text{ A}$ 由左上流向右下
• $F$：設為 $I_F$ 向右

解題方法

先對左下節點套用 KCL。$1\text{ A}$ 流入，$5\text{ A}$ 經由 $B$ 流出，因此經由 $E$ 向上的電流為

負號表示實際電流方向與圖示箭頭相反，即實際有 $4\text{ A}$ 經由 $E$ 向下流動。

再對左上節點套用 KCL。依圖示方向，$E$ 的電流流入左上節點，$D$ 與 $F$ 的電流流出，因此

代入 $I_E=-4\text{ A}$：

核心觀念

本題考查：

• 電容器並聯：兩端接在相同兩個節點時，等效電容量相加 $C_{\parallel}=C_1+C_2+\cdots$
• 電容器串聯：各電容器依序連接，中間節點沒有其他外接分支時，使用 $\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots$

圖中的斜線外框皆為導線，因此左側上端、左側頂點與端點 $a$ 等電位；右側上端、右側頂點與端點 $b$ 等電位。

解題方法

先將電路依節點整理。

左側三個電容器 $15\ \mu\text{F}$、$20\ \mu\text{F}$、$25\ \mu\text{F}$ 的兩端，分別都接在端點 $a$ 與左側中間節點之間，因此三者並聯：

右側三個電容器 $15\ \mu\text{F}$、$10\ \mu\text{F}$、$5\ \mu\text{F}$ 的兩端，分別都接在右側中間節點與端點 $b$ 之間，因此三者並聯：

中間尚有一個 $20\ \mu\text{F}$ 電容器，故由 $a$ 到 $b$ 的內部支路為 $60\ \mu\text{F}$、$20\ \mu\text{F}$、$30\ \mu\text{F}$ 三者串聯：

通分得：

因此：