111 地方特考五等 電子工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查熱量與電能的換算。水的比熱約為 $1\ \mathrm{cal/(g\cdot^\circ C)}$，且 $1\ \mathrm{cal}\approx 4.2\ \mathrm{J}$。純水密度約為 $1\ \mathrm{g/mL}$，所以 $1$ 公升水的質量約為 $1000$ 公克。

解題方法

水升高溫度所需的熱量為

其中 $m=1000\ \mathrm{g}$、$c=1\ \mathrm{cal/(g\cdot^\circ C)}$、$\Delta T=1^\circ\mathrm{C}$，因此

換算成焦耳：

題目所稱「電能」是指提供這份熱量所需的能量；假設電能完全轉換為水的熱量，所需電能即為 $4.2\times10^3\ \mathrm{J}$。

選項分析

核心觀念

本題考查燈泡的額定值與電功率公式。依題目所採的標準解題假設，燈泡電阻在不同電壓下視為不變，並使用電阻性負載的功率關係：

$P=\frac{V^2}{R}$

解題方法

先由額定電壓與額定功率求出燈泡電阻：

外加電壓為 $110\ \mathrm{V}$ 時，消耗功率為：

也可直接比較電壓：$110\ \mathrm{V}$ 是額定電壓 $220\ \mathrm{V}$ 的一半；電阻不變時，功率與電壓平方成正比，因此功率是額定功率的 $\left(\frac{1}{2}\right)^2$：

$P=80\left(\frac{110}{220}\right)^2=20\ \mathrm{W}$

選項分析

核心觀念

圖中 $R_1$ 與 $R_2$ 並聯，因此兩端電壓相同。總電流依克希荷夫電流定律分流：

$I_T=I_1+I_2$

再用歐姆定律 $V=IR$ 求出並聯支路的共同電壓，即可計算 $R_2$。

解題方法

已知總電流 $I_T=60\,\text{mA}$，流經 $R_2$ 的電流 $I_2=20\,\text{mA}$，所以流經 $R_1$ 的電流為：

$I_1=I_T-I_2=60-20=40\,\text{mA}$

$R_1=20\,\Omega$，因此並聯電路兩端的電壓為：

$V=I_1R_1=(40\,\text{mA})(20\,\Omega)=0.8\,\text{V}$

此電壓也加在 $R_2$ 兩端，所以：

$R_2=\frac{V}{I_2}=\frac{0.8\,\text{V}}{20\,\text{mA}}=40\,\Omega$

選項分析

核心觀念

電流是電荷對時間的變化率。當電荷 $q$ 隨時間 $t$ 變化時，瞬時電流為

題目給定電荷單位為庫倫、時間單位為秒，因此電流單位為庫倫／秒，也就是安培。

解題方法

已知

對時間 $t$ 微分，得到瞬時電流：

代入 $t=3$ 秒：

因此，$t=3$ 秒時通過元件的瞬時電流為 $18$ 安培。

選項分析

核心觀念

本題考電阻色碼的環數。色環依序表示有效數字、倍率與誤差；常用標示法最多為五環。

解題方法

五環電阻通常以前三環表示有效數字，第四環表示倍率，第五環表示誤差。因此，題目問「目前常用」色碼標示法的最多環數，答案為五環。

選項分析

核心觀念

本題考查平均功率的定義：單位時間內所做的功。平均功率 $P$、作功 $W$ 與時間 $t$ 的關係為

功的單位是焦耳（J），時間的單位是秒（s），因此功率單位為焦耳／秒，即瓦特（W）。

解題方法

題目給定馬達運轉 $20$ 秒總做功 $4800$ 焦耳，直接代入平均功率公式：

題目另提供的 $120$ 伏特電壓，求平均功率時不必使用；已有作功與時間即可計算。

選項分析

核心觀念

圖中 $4\ \Omega$、$12\ \Omega$、$6\ \Omega$ 電阻並聯，因此三個電阻兩端電壓相同。總電流等於各支路電流總和；並聯支路的電流分配與電導成正比，電阻愈大，分得的電流愈小。

解題方法

先計算三個並聯電阻的總電導：

已知總電流為 $6\ \mathrm{A}$，依歐姆定律，並聯電路兩端電壓為：

因此，流經 $12\ \Omega$ 電阻的電流為：

選項分析

核心觀念

本題考查節點電流定律（KCL）與歐姆定律。依圖中電池極性，左側電源上端比下端高 $20\text{ V}$；電流源的 $10\text{ A}$ 電流向上流入上方節點，$I_X=5\text{ A}$ 則由上方節點向下流過 $R_X$。

解題方法

先對 $R_X$ 上端的節點套用 KCL。流入節點的電流為 $10\text{ A}$，流出節點的電流包括 $5\text{ A}$ 的 $I_X$，以及經過 $3\,\Omega$ 電阻流向左側電源的電流 $I_3$：

因此，

$3\,\Omega$ 電阻上的電壓降為：

電流由 $R_X$ 上端流向左側電源，因此 $R_X$ 上端電位比電源上端高 $15\text{ V}$。相對於下方共用節點，$R_X$ 上端電位為：

核心觀念

金屬導線的電阻會隨溫度升高而增加。已知銅的絕對溫度為 $234.5^\circ\mathrm{C}$，可用下式比較同一線圈在兩個溫度下的電阻：

其中 $R_1、R_2$ 分別為溫度 $t_1、t_2$ 時的電阻。

解題方法

題目給定初溫 $t_1=25.5^\circ\mathrm{C}$、初始電阻 $R_1=15\ \Omega$，運轉後電阻 $R_2=20\ \Omega$。代入公式求運轉後溫度 $t_2$：

因為 $234.5+25.5=260$，所以：

依選項取近似值為 $112.1^\circ\mathrm{C}$，故選 (B)。

選項分析

核心觀念

電能等於電壓、電流與通電時間的乘積：

其中 $W$ 為能量，$V$ 為電壓，$I$ 為電流，$t$ 為時間。使用此公式時，單位須一致；若電壓用伏特、電流用安培、時間用秒，能量單位為焦耳。

解題方法

已知 $V=2\ \mathrm{V}$、$I=10\ \mathrm{mA}=0.01\ \mathrm{A}$、$t=10\ \mathrm{s}$，代入公式：

又因 $1\ \mathrm{J}=1000\ \mathrm{mJ}$，所以

因此選擇 (D)。

選項分析

核心觀念

均勻導線的電阻與長度成正比。將總電阻為 $R$ 的導線按長度 $2:3$ 分成兩段，兩段電阻也按相同比例分配，分別為 $\frac{2}{5}R$ 與 $\frac{3}{5}R$。兩段並聯時，等效電阻符合並聯公式。

解題方法

設兩段電阻為 $R_1$、$R_2$，則

並聯等效電阻為

因此，並聯後的電阻為原電阻的 $\frac{6}{25}$ 倍。

選項分析

核心觀念

戴維寧定理可將電阻兩端的線性電路，等效為一個戴維寧電壓源串聯戴維寧電阻。本題以 $5\,\Omega$ 電阻為負載，分別求出其左右兩側電路的等效電壓與等效電阻，再計算負載電流。

解題方法

先將 $5\,\Omega$ 電阻移除，分別求節點 $a$、$b$ 對下方公共端的開路電壓。

左側為 $16\,\text{V}$ 電源串聯上方 $4\,\Omega$，並由節點 $a$ 接一個 $4\,\Omega$ 電阻至公共端，因此：

右側為 $2\,\text{A}$ 電流源與 $3\,\Omega$ 電阻並聯，電流源方向向上，故：

因此，$5\,\Omega$ 電阻兩端的戴維寧電壓為：

接著將獨立電壓源短路、獨立電流源開路，求兩側的戴維寧電阻：

總串聯電阻為：

核心觀念

本題考查電阻串、並聯化簡，以及並聯支路的分流。圖中要求的 $I$ 是流經中間 $10\,\Omega$ 電阻、方向向下的電流。

解題方法

先將右側的 $20\,\Omega$ 與 $10\,\Omega$ 電阻並聯：

此等效電阻再與上方的 $5\,\Omega$ 串聯，形成從中間節點通往地端的另一支路：

這支路與中間的 $10\,\Omega$ 電阻並聯：

電源與上方 $1\,\Omega$ 電阻串聯，因此全電路電流為：

$1\,\Omega$ 電阻上的壓降為 $I_{\text{總}}\times1\,\Omega$，所以並聯負載兩端電壓為：

核心觀念

本題考三端對稱電阻網路的等效電阻與歐姆定律。電路以 $A、B$ 兩端接上 $24\text{ V}$ 電源；外側三邊各為 $R=6\ \Omega$，中心到 $A、B、C$ 的三支電阻各為 $r=2\ \Omega$。

由於電路以 $A、B$ 對稱，且兩端電壓差為 $24\text{ V}$，中間的 $C$ 點與中心節點電位都在兩端電位的中間。因此可把三條從 $A$ 到 $B$ 的支路分別看成：

• 外側 $A\!-\!B$ 支路：$R$
• 經過 $C$ 點的支路：$R+R=2R$
• 經過中心節點的支路：$r+r=2r$

三條支路並聯，總電流再以 $I=V/R_{\text{eq}}$ 求得。

解題方法

代入 $R=6\ \Omega$、$r=2\ \Omega$，三條並聯支路分別為 $6\ \Omega$、$12\ \Omega$、$4\ \Omega$：

所以：

電源電壓為 $24\text{ V}$，故電流為：

核心觀念

本題考查惠斯登電橋的平衡條件，以及電阻消耗功率的計算。當電橋平衡時，中間的橋接電阻兩端等電位，因此流過該電阻的電流為 $0$，可先將它視為開路。

解題方法

比較電橋左右兩側的上下電阻比：

兩側電阻比相同，電橋平衡，所以中間的 $5\,\mathrm{k}\Omega$ 電阻沒有電流通過。電源所見的電路化為兩個串聯支路並聯，再與 $750\,\Omega$ 串聯：

總電阻為 $11.25\,\mathrm{k}\Omega+0.75\,\mathrm{k}\Omega=12\,\mathrm{k}\Omega$，因此電源總電流為

核心觀念

本題考電流源方向與節點電流定律（KCL），並依電壓標示的極性判斷正負。開關 A 閉合後，兩個電流源的上端相連；3 A 電流源向下，1 A 電流源向上，方向相反，合成後為 2 A 向下。開關 B 打開，因此 B 支路不導通。

解題方法

取下方共用導線為 $0\text{ V}$。合成電流源由上方節點向下送出 $2\text{ A}$，電流必須由下方經兩個 $1\,\Omega$ 電阻串聯後流回上方節點。

兩電阻的總電阻為

依歐姆定律，從下方流向上方的電流為 $2\text{ A}$，所以各電阻上的電壓降大小都是

右側 $1\,\Omega$ 電阻的電流實際由下往上流，與圖示「上正、下負」的電壓參考方向相反，因此

核心觀念

本題考節點分析法與克希荷夫電流定律（KCL）。以電路下方導線為參考節點，左側電源上端電位為 $16\text{ V}$，且已知 $V_A=9\text{ V}$。在 $B$ 點套用 KCL，流入與流出的電流代數和為零。

解題方法

$B$ 點分別透過 $4\,\Omega$ 電阻連到 $16\text{ V}$ 節點、透過 $6\,\Omega$ 電阻連到 $A$ 點，並透過 $12\,\Omega$ 電阻連到參考節點。因此：

兩邊乘以 $12$：

核心觀念

本題考查節點電流定律、歐姆定律與電阻消耗功率公式：

$P=I^2R=\frac{V^2}{R}$

電流源提供的 $3\text{ A}$ 向上流入上方節點；$R_1$ 與 $R_2$ 的電流依節點電壓和電壓源 $E$ 決定。

解題方法

以下方導線為 $0\text{ V}$，令上方節點電壓為 $V$，並定義 $i_1$ 為由電壓源正端經 $R_1$ 流向上方節點的電流。因 $R_1=1\,\Omega$、$R_2=2\,\Omega$：

$P_{R_1}=i_1^2(1)=i_1^2,\qquad P_{R_2}=\frac{V^2}{2}$

題目給定 $R_2$ 的功率是 $R_1$ 的兩倍，因此：

對上方節點套用電流定律，流入節點的電流等於流出節點的電流：

$i_1+3=\frac{V}{2}$

聯立兩式，可得 $V=3\text{ V}$、$i_1=-1.5\text{ A}$。負號表示 $R_1$ 的實際電流方向與原先定義相反。

核心觀念

求負載電阻 $R$ 的最大功率，可先將 $R$ 左側電路化為戴維寧等效電路。最大功率傳輸條件為

此時負載最大功率為

其中 $V_{\mathrm{th}}$ 是 $R$ 端點開路時的電壓，$R_{\mathrm{th}}$ 是將獨立電源關閉後，從 $R$ 端點看入的等效電阻。

解題方法

先將 $R$ 開路。此時串聯的 $2\,\Omega$ 電阻沒有電流，因此沒有電壓降；$R$ 端點電壓就是左側上方節點電壓，記為 $V$。依節點電流定律：

其中 $2\,\mathrm{A}$ 電流源向上注入電流，$5\,\mathrm{V}$ 電壓源的上端為正。整理得

接著求 $R_{\mathrm{th}}$：將 $2\,\mathrm{A}$ 電流源開路、$5\,\mathrm{V}$ 電壓源短路。從 $R$ 端點看入，先經過串聯的 $2\,\Omega$，再接上 $20\,\Omega$ 與 $5\,\Omega$ 的並聯組合：

核心觀念

此電路的五個電阻並聯，因此各電阻兩端電壓相同。圖中的 $I_1=3\ \mathrm{A}$ 位於 $8\ \Omega$ 與 $16\ \Omega$ 支路之後，代表流向 $16\ \Omega$ 電阻的電流，也就是 $16\ \Omega$ 支路電流。

電流源提供的總電流 $I_0$，依據克希荷夫電流定律，等於各並聯支路電流總和。

解題方法

先用 $16\ \Omega$ 支路求出並聯電路的共同電壓：

各電阻支路電流為：

因此電流源總電流為：

選項分析

核心觀念

本題考查法拉第電磁感應定律（Faraday's Law of Electromagnetic Induction）與磁通密度的基本定義：

1. 法拉第電磁感應定律：線圈兩端的感應電動勢大小與線圈匝數及磁通量隨時間的變化率成正比，即： $e = N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$
2. 磁通密度與磁通量之關係：均勻磁場下，穿過截面積 $A$ 的磁通量 $\Phi = B \times A$，因此磁通量變化量與磁通密度變化量之關係為： $\Delta \Phi = \Delta B \times A \implies \Delta B = \frac{\Delta \Phi}{A}$

解題方法

1. 列出已知條件：

• 線圈匝數 $N = 1$（單匝）
• 線圈截面積 $A = 5\ \mathrm{m^2}$
• 施加端電壓 $v = 100\ \mathrm{V}$
• 維持時間 $\Delta t = 4\ \mathrm{s}$

2. 計算磁通量之增加量 $\Delta \Phi$： 依據法拉第定律： $v = N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ 移項可得磁通量的增加量： $\Delta \Phi = \frac{v \cdot \Delta t}{N} = \frac{100 \times 4}{1} = 400\ \mathrm{Wb}$

3. 求出磁通密度之增加量 $\Delta B$： $\Delta B = \frac{\Delta \Phi}{A} = \frac{400}{5} = 80\ \mathrm{Wb/m^2}$

核心觀念

載流導體置於磁場中會受到磁力，方向由向量叉積決定：

$\vec F=I\vec L\times\vec B$

其中 $\vec L$ 的方向與傳統電流方向相同。圖中磁場 $B$ 向右，電流符號 $\otimes$ 表示電流流入紙面。

解題方法

以紙面右方為 $+x$、上方為 $+y$，流入紙面為 $-z$。因此：

$(-\hat z)\times(+\hat x)=-\hat y$

磁力方向為向下，故選 (B)。

選項分析

核心觀念

本題考安培右手定則在螺旋線圈中的應用：以右手握住線圈，讓四指沿著線圈中的傳統電流方向彎曲，大拇指所指的方向就是線圈內部磁場的方向，也代表線圈的北極方向。

解題方法

題目已說明四指指向電流方向，依螺旋線圈的安培右手定則，直接判斷大拇指所指為磁場方向。因此選擇「磁場」。

選項分析

核心觀念

電流是電荷對時間的變化率：

因此，電容器的電荷變化量等於電流波形對時間的代數面積。正電流使電荷增加，負電流使電荷減少；$1\ \mathrm{mA}\cdot1\ \mathrm{s}=1\ \mathrm{mC}$。

解題方法

依題目給定的三段電流，分別計算電荷變化：

以題目慣例假設電容器起初未儲存電荷，最後儲存的電荷量為 $10\ \mathrm{mC}$。題目給的 $100\ \mu\mathrm{F}$ 電容量不影響這項電荷積分計算；

核心觀念

電容器標示通常以三位數表示電容量，單位為 pF：前兩位是有效數字，第三位是乘數；其後的英文字母表示誤差，數字則可標示耐壓。

解題方法

標示為 $104K\ 450\ \mathrm{V}$：

• $104$ 表示 $10\times10^4\ \mathrm{pF}=100{,}000\ \mathrm{pF}$。由於 $1\ \mu\mathrm{F}=1{,}000{,}000\ \mathrm{pF}$，所以電容量為 $0.1\ \mu\mathrm{F}$。
• $K$ 表示誤差 $\pm10\%$。
• $450\ \mathrm{V}$ 表示耐壓為 $450\ \mathrm{V}$。

因此，正確敘述為電容量 $0.1\ \mu\mathrm{F}$、誤差 $10\%$。

選項分析

核心觀念

電容充電的時間常數為

其中 $R_{\mathrm{th}}$ 是從電容端點看入、將獨立電壓源設為零後的等效電阻；理想電壓源設為零時以短路取代。圖中兩個 $100\,\mu\mathrm{F}$ 電容並聯，因此等效電容為

解題方法

將 $10\,\mathrm{V}$ 理想電壓源短路後，電容端點到地有兩個 $20\,\mathrm{k}\Omega$ 電阻並聯：

因此

選項分析

核心觀念

磁通密度 $B$、磁場強度 $H$ 與導磁係數 $\mu$ 的關係為：

$B=\mu H$

因此，導磁係數可由磁通密度除以磁場強度求得：

$\mu=\frac{B}{H}$

解題方法

題目給定 $B=8\ \text{Wb/m}^2$、$H=100\ \text{A/Wb}$，代入公式：

$\mu=\frac{8}{100}=0.08\ \text{H/m}$

單位也可由 $\left(\text{Wb/m}^2\right)\div\left(\text{A/Wb}\right)$ 化簡為 $\text{H/m}$，與題目所求一致。

選項分析

核心觀念

電感量 $L$ 定義為磁通鏈結數與電流的比值：

其中 $N$ 為線圈匝數、$\Phi$ 為每匝所鏈結的磁通量、$I$ 為電流。磁通鏈結數為 $N\Phi$，單位是韋伯匝；換算後電感量的單位為亨利。

解題方法

代入題目數據 $N=1000$ 匝、$\Phi=8\times10^{-3}\ \text{Wb}$、$I=5\ \text{A}$：

因此選項 (C) 符合計算結果。

選項分析

核心觀念

理想電感器儲存的磁場能量為

其中 $W$ 為能量（焦耳）、$L$ 為電感（亨利）、$I$ 為電流（安培）。同一個電感器的 $L$ 不變，因此能量與電流的平方成正比。

解題方法

已知電流 $I_1=2\text{ A}$ 時，能量 $W_1=0.2\text{ J}$；電流增加至 $I_2=5\text{ A}$。利用能量比值消去電感值：

因此選項 (C) 正確。

選項分析

核心觀念

直流穩態時，電感電流不再變化，因此 $\frac{di}{dt}=0$。由電感關係式

可知電感兩端電壓為 $0$，理想電感等效為短路。此時電路電流由電源電壓與串聯電阻決定。

解題方法

電感等效為短路後，圖中的兩個 $20\,\Omega$ 電阻仍串聯，總電阻為

依歐姆定律，穩態電流為

因此選 (B)。電感的 $10\,\text{H}$ 會影響暫態過程，但不影響直流穩態電流。

選項分析

核心觀念

電容的電流與電壓變化率關係為

$i=C\frac{\Delta v}{\Delta t}$

因此，通以定值電流時，電容電壓會隨時間線性上升，電壓變化量為 $\Delta v=\frac{i\Delta t}{C}$。

解題方法

已知電容量 $C=10\ \mathrm{mF}=0.01\ \mathrm{F}$、電流 $i=1\ \mathrm{mA}=0.001\ \mathrm{A}$，通電時間 $\Delta t=10\ \mathrm{s}$。先算電壓上升量：