113 地方特考離島三等 測量製圖 誤差理論及實務 考古題詳解

113 年・地方特考・離島三等・測量製圖
試題代碼 誤差理論及實務

第 一 題25 分

假設某一部全測站儀器，其測距精度為 ±(2 mm+3 ppm)\pm(2\ \mathrm{mm}+3\ \mathrm{ppm})，測角精度為 ±10′′\pm10^{\prime\prime}。若將該儀器運用於二維導線測量，則該導線之網形應以具備何條件為最佳（例如角度範圍或邊長範圍）？

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核心觀念

本題考查全測站儀器的測距、測角精度，如何影響二維導線網形的設計。導線測量的平面位置精度取決於距離與方向誤差；網形宜避免狹長、折角過小或過大的配置，並讓觀測邊長與儀器精度相配。

測距標稱精度為

σs=±(2 mm+3 ppm×s)\sigma_s=\pm(2\ \mathrm{mm}+3\ \mathrm{ppm}\times s)

其中 ss 為測距長度。測角標稱精度為 σθ=±10′′\sigma_\theta=\pm10^{\prime\prime}。角度誤差轉為橫向位置誤差時，可用小角近似：

σ⊥≈s σθ\sigma_\perp \approx s\,\sigma_\theta

式中 σθ\sigma_\theta 須以弧度表示。因此，距離愈長，測角誤差造成的橫向偏差愈大；邊長過短時，固定的 2 mm2\ \mathrm{mm} 測距誤差則相對較顯著。

解題方法

為比較測距與測角對單一邊位置的影響，令測距誤差與角度引起的橫向誤差大致相當：

2 mm+3×10−6s≈s(10′′×π180×3600)2\ \mathrm{mm}+3\times10^{-6}s \approx s\left(10^{\prime\prime}\times\frac{\pi}{180\times3600}\right)

10′′10^{\prime\prime} 約為 48.5×10−648.5\times10^{-6} 弧度，因此

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第 二 題25 分

某人欲觀測下圖中 AA、BB、CC、DD 等四個方向之夾角，已知觀測量為 L1L_1 至 L6L_6，請說明本次測量之多餘觀測數，並列出相對應的觀測方程式。

圖示方向及觀測量配置如下：AA 位於上方，BB 位於右上方，CC 位於右下方，DD 位於 CC 下方；圖中標示六個觀測量 L1L_1、L2L_2、L3L_3、L4L_4、L5L_5、L6L_6。

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核心觀念

本題考查「多餘觀測數」與「觀測方程式」：

r=n−ur=n-u

其中：

  • nn：觀測量總數；
  • uu：獨立未知參數數目；
  • rr：多餘觀測數。

圖中有四個方向 A、B、C、DA、B、C、D，其方向角受到整體旋轉基準的影響，因此四個方向角只有三個獨立差值。六個夾角觀測量中，僅需三個基本夾角即可決定其餘角度。

解題方法

依圖中方向順序 A→B→C→DA\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D，各觀測量代表：

  • L1L_1：AA 至 BB；
  • L2L_2：BB 至 CC；
  • L3L_3：CC 至 DD；
  • L4L_4：AA 至 CC；
  • L5L_5：BB 至 DD；
  • L6L_6：AA 至 DD。

因此可取 L1、L2、L3L_1、L_2、L_3 為三個基本觀測量，其餘三個為基本角之組合。

觀測方程式

設四個方向的未知方向參數為 θA,θB,θC,θD\theta_A,\theta_B,\theta_C,\theta_D，觀測誤差分別為 v1,…,v6v_1,\ldots,v_6，則：

L1+v1=θB−θAL_1+v_1=\theta_B-\theta_A L2+v2=θC−θBL_2+v_2=\theta_C-\theta_B L3+v3=θD−θCL_3+v_3=\theta_D-\theta_C L4+v4=θC−θAL_4+v_4=\theta_C-\theta_A L5+v5=θD−θBL_5+v_5=\theta_D-\theta_B L6+v6=θD−θAL_6+v_6=\theta_D-\theta_A

消去未知方向參數後，可得到三個獨立條件方程式：

L1+L2−L4+v1+v2−v4=0L_1+L_2-L_4+v_1+v_2-v_4=0 L2+L3−L5+v2+v3−v5=0L_2+L_3-L_5+v_2+v_3-v_5=0 L1+L2+L3−L6+v1+v2+v3−v6=0L_1+L_2+L_3-L_6+v_1+v_2+v_3-v_6=0
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第 三 題25 分

請計算下圖水準網之自由度（假設高程差觀測測線如圖中所示），並列式說明如何計算出 AA、BB 兩點之高程值。

圖中標示之高程點為 HAH_A、HBH_B、HCH_C、HDH_D、HEH_E 及已知高程點 H0H_0；圖中另有高程差觀測測線。

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核心觀念

本題考查水準網的：

  1. 觀測數、未知數與自由度之關係。
  2. 水準網的閉合條件與網形自由度。
  3. 以最小二乘法平差高程差觀測，求得未知點 AA、BB 之高程。

圖中高程點共有 H0,HA,HB,HC,HD,HEH_0,H_A,H_B,H_C,H_D,H_E 六點，其中 H0H_0 為已知高程點，因此未知高程數為：

u=5u=5

由圖中高程差觀測測線可數得：

n=10n=10

這 10 條觀測線可視為 10 個高程差觀測量。

水準網自由度

水準網平差之自由度為：

f=n−uf=n-u

因此：

f=10−5=5f=10-5=5

亦可由水準網之獨立閉合條件計算：

f=n−p+1f=n-p+1

其中：

  • n=10n=10：觀測測線數；
  • p=6p=6：高程點總數；
  • 11：單一已知基準點所提供之基準約束。

故：

f=10−6+1=5f=10-6+1=5

所以本水準網具有 55 個獨立多餘觀測數，亦即可形成 55 個獨立閉合條件。

高程差觀測方程式

令各測線之觀測高程差為 Δhij\Delta h_{ij}，並採用下列方向表示：

Δh0A=HA−H0+v1Δh0E=HE−H0+v2Δh0D=HD−H0+v3ΔhAB=HB−HA+v4ΔhAC=HC−HA+v5ΔhAE=HE−HA+v6ΔhBC=HC−HB+v7ΔhCE=HE−HC+v8ΔhCD=HD−HC+v9ΔhDE=HE−HD+v10\begin{aligned} \Delta h_{0A}&=H_A-H_0+v_1\\ \Delta h_{0E}&=H_E-H_0+v_2\\ \Delta h_{0D}&=H_D-H_0+v_3\\ \Delta h_{AB}&=H_B-H_A+v_4\\ \Delta h_{AC}&=H_C-H_A+v_5\\ \Delta h_{AE}&=H_E-H_A+v_6\\ \Delta h_{BC}&=H_C-H_B+v_7\\ \Delta h_{CE}&=H_E-H_C+v_8\\ \Delta h_{CD}&=H_D-H_C+v_9\\ \Delta h_{DE}&=H_E-H_D+v_{10} \end{aligned}

其中 viv_i 為各高程差觀測之殘差。

將已知高程 H0H_0 移至觀測量右側，未知數向量令為：

x=[HAHBHCHDHE]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} H_A\\H_B\\H_C\\H_D\\H_E \end{bmatrix}

則可寫成觀測方程：

l+v=Ax\mathbf{l}+\mathbf{v}=\mathbf{A}\mathbf{x}

其中：

l=[Δh0A+H0Δh0E+H0Δh0D+H0ΔhABΔhACΔhAEΔhBCΔhCEΔhCDΔhDE]\mathbf{l} = \begin{bmatrix} \Delta h_{0A}+H_0\\ \Delta h_{0E}+H_0\\ \Delta h_{0D}+H_0\\ \Delta h_{AB}\\ \Delta h_{AC}\\ \Delta h_{AE}\\ \Delta h_{BC}\\ \Delta h_{CE}\\ \Delta h_{CD}\\ \Delta h_{DE} \end{bmatrix}

設未知數排列為 (HA,HB,HC,HD,HE)(H_A,H_B,H_C,H_D,H_E)，設計矩陣為：

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第 四 題25 分

請由線性化觀測方程式出發，推導間接觀測平差未知參數之估計公式，需列出完整推導過程與假設條件。

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核心觀念

間接觀測平差是以未知參數表示觀測量，透過最小平方法，求得使觀測殘差加權平方和最小的參數改正數。本題須從線性化觀測方程式出發，建立法方程式並推導未知參數估計公式。

設有 nn 個觀測量、uu 個未知參數，且 n≥un\geq u。令：

  • l\boldsymbol{l}：觀測值向量；
  • x\boldsymbol{x}：未知參數向量；
  • x0\boldsymbol{x}_0：未知參數近似值；
  • Δx=x−x0\boldsymbol{\Delta x}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0：參數改正數；
  • v\boldsymbol{v}：觀測殘差向量；
  • P\boldsymbol{P}：觀測權矩陣。

原觀測模型可寫成 l+v=f(x)\boldsymbol{l}+\boldsymbol{v}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})。在近似值 x0\boldsymbol{x}_0 處作一階泰勒展開，忽略二階以上項，得到線性化觀測方程式：

l+v≈f(x0)+AΔx,\boldsymbol{l}+\boldsymbol{v} \approx \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) + \boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x},

其中設

w=f(x0)−l,A=∂f∂x∣x0,\boldsymbol{w} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)-\boldsymbol{l}, \qquad \boldsymbol{A} = \left. \frac{\partial\boldsymbol{f}}{\partial\boldsymbol{x}} \right|_{\boldsymbol{x}_0},

則可整理為

v=AΔx+w.\boldsymbol{v} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x} + \boldsymbol{w}.

A\boldsymbol{A} 為設計矩陣，w\boldsymbol{w} 為閉合差向量。若觀測模型原本就是線性的，以上方程式不需泰勒近似，且 A\boldsymbol{A} 為常數矩陣。

解題方法與完整推導

最小平方法要求殘差的加權平方和最小。定義目標函數

Φ=vTPv.\Phi = \boldsymbol{v}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{v}.

將 v=AΔx+w\boldsymbol{v}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x}+\boldsymbol{w} 代入：

Φ=(AΔx+w)TP(AΔx+w).\Phi = (\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x}+\boldsymbol{w})^{T} \boldsymbol{P} (\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x}+\boldsymbol{w}).

對 Δx\boldsymbol{\Delta x} 微分並令一階導數為零。若 P\boldsymbol{P} 對稱，則

∂Φ∂Δx=2ATP(AΔx+w)=0.\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{\Delta x}} = 2\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P} (\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x}+\boldsymbol{w}) = \boldsymbol{0}.

因此得到法方程式：

ATPA Δx^=−ATPw.\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\, \widehat{\boldsymbol{\Delta x}} = -\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{w}.

令法矩陣 N=ATPA\boldsymbol{N}=\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}，且右端向量 b=−ATPw\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{w}。當 N\boldsymbol{N} 可逆時，參數改正數的估計值為

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