115 警察特考三等 交通警察人員類別交通組 交通統計與分析 考古題詳解

115 年・警察特考・三等・交通警察人員類別交通組
試題代碼 交通統計與分析

第 一 題20 分

某市針對高風險路口交通事故進行抽樣調查。過去資料顯示，每一處高風險路口每月平均發生 0.60.6 件交通事故。假設各路口事故發生相互獨立，且在觀察期間內平均事故率固定，每月事故件數可近似服從 Poisson 分配。市府欲自 120120 處高風險路口中抽取 3030 處進行追蹤。

（一）若某一高風險路口每月平均事故數 λ=0.6\lambda=0.6，請計算該路口一個月內沒有事故的機率。（5 分）

（二）請計算該路口一個月內發生 22 件以上事故的機率。（5 分）

（三）若 120120 處路口包含幹道、商圈、學校周邊三類，請說明應採何種抽樣方法較能確保代表性。（10 分）

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核心觀念

本題考查卜瓦松（Poisson）分配的機率計算，以及分層抽樣的適用情境。

若固定觀察期間內事件平均發生率為 λ\lambda，且事件發生相互獨立，則期間內事件數 XX 可用卜瓦松分配表示：

P(X=x)=e−λλxx!,x=0,1,2,…P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!},\qquad x=0,1,2,\ldots

本題每處路口每月平均事故數為 λ=0.6\lambda=0.6。

解題方法

（一）一個月內沒有事故的機率

令 XX 為該路口一個月內的事故件數。「沒有事故」即 X=0X=0：

P(X=0)=e−0.6(0.6)00!=e−0.6≈0.5488P(X=0)=\frac{e^{-0.6}(0.6)^0}{0!}=e^{-0.6}\approx 0.5488

因此，該路口一個月內沒有事故的機率約為 0.5488（54.88%）。

（二）一個月內發生 22 件以上事故的機率

「22 件以上」即 X≥2X\geq 2。利用補事件計算：

P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)=1−e−0.6−e−0.6(0.6)11!=1−e−0.6(1+0.6)≈1−(0.5488)(1.6)≈0.1219\begin{aligned} P(X\geq 2) &=1-P(X=0)-P(X=1)\\ &=1-e^{-0.6}-\frac{e^{-0.6}(0.6)^1}{1!}\\ &=1-e^{-0.6}(1+0.6)\\ &\approx 1-(0.5488)(1.6)\\ &\approx 0.1219 \end{aligned}
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第 二 題30 分

某市欲利用公共自行車即時資料進行捷運站周邊缺車風險管理。下表為某一時點 88 個站點之簡化資料。

站點總車格可借車輛數可還空位數距捷運站距離（公尺）資料更新延遲（分鐘）
A40238802
B3218141201
C28028608
D504553003
E366309015
F4422222002
G304261106
H403192501

（一）請計算各站「可借率 == 可借車輛數／總車格」。請以可借率低於 20%20\% 作為高度缺車風險門檻，判斷高度缺車風險站點。（5 分）

（二）請計算 88 站可借率之平均數、中位數與樣本標準差，並說明資料分散情形。（5 分）

（三）請從資料量、速度、多樣性、真實性與價值等面向，說明此類資料作為交通大數據之意義。（10 分）

（四）請說明資料更新延遲、異常值或缺漏值對即時調度決策可能造成的影響。（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 可借率的計算與缺車風險判定。
  2. 平均數、中位數、樣本標準差的統計量計算。
  3. 交通大數據的「5V」特性：資料量、速度、多樣性、真實性、價值。
  4. 即時資料品質對交通調度決策的影響。

可借率公式為：

可借率=可借車輛數總車格\text{可借率}=\frac{\text{可借車輛數}}{\text{總車格}}

樣本標準差公式為：

s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}

本題共有 n=8n=8 個站點，因此樣本標準差分母為 8−1=78-1=7。

（一）各站可借率與高度缺車風險判定

站點計算可借率判定
A2/402/400.05=5%0.05=5\%高度缺車風險
B18/3218/320.5625=56.25%0.5625=56.25\%否
C0/280/280=0%0=0\%高度缺車風險
D45/5045/500.90=90%0.90=90\%否
E6/366/360.1667≈16.67%0.1667\approx16.67\%高度缺車風險
F22/4422/440.50=50%0.50=50\%否
G4/304/300.1333≈13.33%0.1333\approx13.33\%高度缺車風險
H31/4031/400.775=77.5%0.775=77.5\%否

題目規定可借率**低於 20%20\%**才屬於高度缺車風險，因此高度缺車風險站點為：

A、C、E、G\boxed{\text{A、C、E、G}}

（二）平均數、中位數與樣本標準差

1. 可借率資料

0.05, 0.5625, 0, 0.90, 0.1667, 0.50, 0.1333, 0.7750.05,\ 0.5625,\ 0,\ 0.90,\ 0.1667,\ 0.50,\ 0.1333,\ 0.775

由小到大排列：

0, 0.05, 0.1333, 0.1667, 0.50, 0.5625, 0.775, 0.900,\ 0.05,\ 0.1333,\ 0.1667,\ 0.50,\ 0.5625,\ 0.775,\ 0.90

2. 平均數

可借率總和為：

0.05+0.5625+0+0.90+0.1667+0.50+0.1333+0.775=3.08750.05+0.5625+0+0.90+0.1667+0.50+0.1333+0.775=3.0875

因此平均數為：

xˉ=3.08758=0.3859375\bar{x}=\frac{3.0875}{8}=0.3859375

所以：

xˉ≈38.59%\boxed{\bar{x}\approx38.59\%}

3. 中位數

共有 88 筆資料，中位數為第 44 與第 55 筆的平均：

中位數=0.1667+0.502=0.33335\text{中位數}=\frac{0.1667+0.50}{2}=0.33335

因此：

中位數≈33.33%\boxed{\text{中位數}\approx33.33\%}

4. 樣本標準差

先計算平方和：

∑xi2≈2.0250868\sum x_i^2\approx2.0250868

樣本變異數為：

s2=∑xi2−nxˉ2n−1=2.0250868−8(0.3859375)27≈0.1190721s^2= \frac{\sum x_i^2-n\bar{x}^2}{n-1} = \frac{2.0250868-8(0.3859375)^2}{7} \approx0.1190721

因此樣本標準差為：

s=0.1190721≈0.3451s=\sqrt{0.1190721}\approx0.3451

所以：

s≈0.3451=34.51 個百分點\boxed{s\approx0.3451=34.51\text{ 個百分點}}

5. 資料分散情形

平均可借率約為 38.59%38.59\%，中位數約為 33.33%33.33\%，平均數高於中位數，表示高可借率站點 D、H 拉高整體平均值。樣本標準差約為 34.5134.51 個百分點，相對於平均數相當大，顯示各站可借率差異明顯，站點間存在嚴重不均衡現象。

（三）此類資料作為交通大數據的意義

1. 資料量

公共自行車系統會持續蒐集各站總車格、可借車輛、可還空位、租借紀錄、站點位置及時間等資料。

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第 三 題25 分

某都會區欲評估 TPASS 通勤月票是否提高公共運輸使用。調查 1,2001{,}200 位已使用或曾使用 TPASS 通勤月票之通勤者，其中 684684 人表示使用 TPASS 後每週公共運輸搭乘次數增加。該都會區符合 TPASS 使用條件之通勤人口估計為 250250 萬人。

（一）請計算「使用 TPASS 後公共運輸搭乘次數增加」之樣本比例點估計。（5 分）

（二）請計算該比例之 95%95\% 信賴區間。（5 分）

（三）若欲在顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 下，檢定母體比例是否大於 0.50.5，請建立虛無假設與對立假設，並完成檢定。（5 分）

（四）請說明此調查在抽樣與政策解釋上可能的限制。（10 分）

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核心觀念

本題考查單一母體比例的點估計、信賴區間與假設檢定。令 pp 表示符合 TPASS 使用條件之通勤人口中，使用 TPASS 後每週公共運輸搭乘次數增加者的母體比例。樣本比例為

p^=xn,\hat p=\frac{x}{n},

其中 xx 是樣本中搭乘次數增加的人數，nn 是樣本數。使用常態近似時，母體比例的 95%95\% 信賴區間為

p^±z0.975p^(1−p^)n,\hat p\pm z_{0.975}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},

其中 z0.975=1.96z_{0.975}=1.96。

解題方法與計算

（一）樣本比例點估計

已知 x=684x=684、n=1,200n=1{,}200，因此

p^=6841,200=0.57.\hat p=\frac{684}{1{,}200}=0.57.

故樣本比例點估計為 0.570.57，即 57%57\%。

（二）95%95\% 信賴區間

先計算標準誤：

SE(p^)=0.57(1−0.57)1,200=0.24511,200≈0.01429.SE(\hat p)=\sqrt{\frac{0.57(1-0.57)}{1{,}200}} =\sqrt{\frac{0.2451}{1{,}200}} \approx 0.01429.

誤差範圍為

E=1.96(0.01429)≈0.0280.E=1.96(0.01429)\approx 0.0280.

因此信賴區間為

0.57±0.0280=(0.542, 0.598).0.57\pm 0.0280=(0.542,\ 0.598).

故母體比例的 95%95\% 信賴區間約為 54.2% 至 59.8%54.2\%\ 至\ 59.8\%。在抽樣假設成立下，此區間估計符合條件的通勤人口中，搭乘次數增加者比例。

（三）單一母體比例檢定

題目要檢定母體比例是否大於 0.50.5，採右尾檢定：

H0:p≤0.5,H1:p>0.5.H_0:p\leq 0.5,\qquad H_1:p>0.5.

計算檢定統計量時以虛無假設邊界值 p0=0.5p_0=0.5 計算標準誤：

z=p^−p0p0(1−p0)n=0.57−0.50.5(0.5)1,200≈4.85.z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} =\frac{0.57-0.5}{\sqrt{\frac{0.5(0.5)}{1{,}200}}} \approx 4.85.

顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 的右尾臨界值為 z0.95=1.645z_{0.95}=1.645。因為 4.85>1.6454.85>1.645，故拒絕 H0H_0。

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第 四 題25 分

某市分析天氣是否影響公共自行車每日租借量。研究人員整理 9090 日資料如下，並取得一段 AI 輸出：

「三種天氣平均數不同，應直接做三次 tt 檢定；且平均氣溫與租借量之相關為 0.680.68，所以氣溫必然造成租借量上升，建議只要溫度升高即全面增加各站車輛。」

天氣日數平均每日租借量標準差
晴天40185004200
陰天32158003900
雨天1898005100

（一）請說明三組平均數比較應優先使用何種統計方法，並指出 AI 輸出中「直接做三次 tt 檢定」的問題。（5 分）

（二）請建立單因子 ANOVA 之虛無假設與對立假設。（5 分）

（三）若另以平均氣溫 XX 預測租借量 YY，得到簡單迴歸式

Y=3200+520XY=3200+520X

且 R2=0.46R^2=0.46，請解釋斜率與 R2R^2。（5 分）

（四）請修正 AI 結論，說明相關與迴歸不等於因果，並提出較謹慎的營運建議。（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 三組以上平均數比較：應優先使用單因子變異數分析（one-way ANOVA）。
  2. ANOVA 的虛無假設與對立假設。
  3. 簡單線性迴歸式之斜率與決定係數 R2R^2。
  4. 相關與迴歸只能說明變數間的關聯，不能直接推論因果關係。
  5. 統計結果轉化為公共自行車營運決策時，必須考量其他影響因素與不確定性。

（一）三組平均數比較與三次 tt 檢定的問題

1. 優先使用單因子 ANOVA

本題有三組獨立樣本：

  • 晴天
  • 陰天
  • 雨天

研究目的為比較三種天氣下的平均每日租借量是否相同，因此應優先使用單因子 ANOVA。

單因子 ANOVA 將總變異分解為：

總變異=組間變異+組內變異\text{總變異}=\text{組間變異}+\text{組內變異}

其基本檢定統計量為：

F=組間均方組內均方F=\frac{\text{組間均方}}{\text{組內均方}}

若 FF 值顯著，表示三組平均數並非全部相同；此時再進行事後多重比較，例如 Tukey 法，以判斷哪些天氣組別之間存在差異。

ANOVA 的主要假設包括：

  1. 各觀察值彼此獨立。
  2. 各組母體近似常態分配。
  3. 各組母體變異數相等。

若變異數同質性不成立，可考慮 Welch ANOVA；若常態性與尺度條件嚴重不符，可考慮 Kruskal-Wallis 檢定。

2. 直接做三次 tt 檢定的問題

三組平均數共有三個兩兩比較：

  • 晴天與陰天
  • 晴天與雨天
  • 陰天與雨天

若每次檢定均使用顯著水準 α=0.05\alpha=0.05，整體型一錯誤率會高於 0.050.05。

若三次檢定彼此獨立，至少發生一次型一錯誤的機率為：

1−(1−0.05)3=1−0.953≈0.14261-(1-0.05)^3 =1-0.95^3 \approx 0.1426

也就是約 14.26%14.26\%，並非原先設定的 5%5\%。

因此，不能直接進行三次未調整的 tt 檢定。正確做法是先以 ANOVA 檢驗整體平均數是否有差異，再使用具有多重比較校正的方法，例如 Tukey 法、Bonferroni 法或 Holm 法。

（二）單因子 ANOVA 的假設

令：

  • μ晴\mu_{\text{晴}}：晴天平均每日租借量
  • μ陰\mu_{\text{陰}}：陰天平均每日租借量
  • μ雨\mu_{\text{雨}}：雨天平均每日租借量

虛無假設 H0H_0

三種天氣的母體平均每日租借量相同：

H0:μ晴=μ陰=μ雨H_0:\mu_{\text{晴}}=\mu_{\text{陰}}=\mu_{\text{雨}}

對立假設 H1H_1

三種天氣的母體平均每日租借量不全相同：

H1:至少有一組母體平均數不同H_1:\text{至少有一組母體平均數不同}

注意，對立假設並非表示三組平均數全部彼此不同，只要存在至少一組平均數與其他組不同即可。

依題目資料，樣本平均數為：

18500>15800>980018500>15800>9800

這只能表示樣本中晴天、陰天、雨天的租借量呈現不同程度，是否達到統計顯著，仍須透過 ANOVA 的 FF 檢定判斷。

（三）迴歸式斜率與 R2R^2 的解釋

已知簡單線性迴歸式為：

Y=3200+520XY=3200+520X

其中：

  • XX：平均氣溫
  • YY：每日租借量

1. 斜率 520520 的意義

斜率為：

β^1=520\hat{\beta}_1=520

表示在模型其他條件與資料範圍下，平均氣溫每增加 11 個溫度單位，預測的每日租借量平均增加 520520 次。

因此，520520 是「預測上的平均變化量」，不能直接解釋成氣溫每升高 11 度，就必然造成租借量增加 520520 次。

截距 32003200 表示當平均氣溫 X=0X=0 時，模型預測每日租借量為 32003200 次。不過若資料中沒有觀察到接近 00 度的氣溫，截距未必具有實際營運意義。

2. R2=0.46R^2=0.46 的意義

決定係數為：

R2=0.46R^2=0.46

表示在此簡單迴歸模型中，平均氣溫可以解釋每日租借量樣本變異的 46%46\%。

其餘約：

1−0.46=0.541-0.46=0.54

即 54%54\% 的租借量變異，仍由其他因素、隨機誤差或模型未納入的變數所造成。

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