111 鐵路特考佐級 土木工程 測量學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查臺灣橫麥卡托投影坐標系統 TWD97 的定義，包括大地基準、中央子午線、中央子午線尺度比，以及投影坐標的假東距。判斷時要注意：TWD97 的全國本島坐標與離島分帶設定不同。

解題方法

依 TWD97 坐標系統設定辨認各項參數：

• 中央子午線尺度比為 $0.9999$。
• 臺灣本島中央子午線為 $121^\circ$；澎湖、金門及馬祖採用不同的中央子午線設定。
• 投影原點的假東距是 $250{,}000$ 公尺，也就是向東平移 25 萬公尺，不是向西。
• TWD97 的大地基準以 1997.0 年為參考時刻；選項 A 把方位所依據的定義說成 BIH，與 TWD97 的定義不符。

選項分析

• (A) 錯誤。 TWD97 的地心坐標框架與國際地球參考框架（ITRF）有關，但其方位採用國際地球自轉與參考系統服務（IERS）在 1997.0 時刻的定義；

核心觀念

本題考臺灣地區使用的高程基準。高程須相對於一個垂直基準面表示；臺灣採用的是以基隆驗潮站長期潮位觀測資料建立的平均海水面基準，並非力高、橢球高，也不是以高雄平均海水面為依據。

題目選項 D 所述的資料年代、標準大氣環境及基準定義，是臺灣高程基準的描述。

解題方法

辨認各選項所指的高程類型與基準來源：

• 正高以大地水準面為基準，反映沿鉛垂線由基準面至地面點的高程。
• 橢球高以參考橢球面為基準，通常由衛星定位測得；它不同於以平均海水面為基準的高程。
• 臺灣採用基隆驗潮站潮汐資料化算建立的高程基準。依本題官方答案，選項 D 的敘述正確。

選項分析

核心觀念

本題考三角形面積公式，以及以誤差傳播律計算面積的標準誤差。當兩邊長 $b,c$ 及其夾角 $\theta$ 已知時，

若 $b,c,\theta$ 的誤差互不相關，面積的標準誤差可由偏微分傳播律計算：

角度誤差須以弧度代入。

解題方法

已知 $b=120.00\ \mathrm{m}$、$c=60.00\ \mathrm{m}$、$\theta=30^\circ$，面積為

偏微分為

邊長標準誤差皆為 $0.03\ \mathrm{m}$。角度標準誤差換算為弧度：

核心觀念

本題考「大地起伏」的定義：大地水準面與參考橢球面之間，沿橢球面法線方向量得的距離，通常以 $N$ 表示。大地水準面是重力等位面，參考橢球面則是用於大地測量計算的數學曲面。

解題方法

直接依名詞定義判斷：題幹問橢球面與大地水準面之間的垂直距離，對應大地起伏 $N$。其正負取決於大地水準面相對橢球面的位置；若兩面重合，則 $N=0$。

選項分析

核心觀念

直接水準測量是利用水準儀建立水平視線，再讀取水準尺上的刻度，以測定兩點間高程差。為使視線水平，水準儀架設後須進行定平；儀器的操作不要求對準地面上的特定測站點，因此不必定心。

解題方法

先判斷水準儀是否需要架在指定測站點上。直接水準測量通常只需將儀器架設在適當位置，使其能觀測前、後視水準尺；不必將儀器中心對準某個地面點。接著，為確保視線水平，須調整儀器使水準氣泡居中，完成定平。因此，操作上必須定平，但不必定心。

選項分析

核心觀念

全周式度盤經緯儀觀測同一高處目標時，正鏡與倒鏡的天頂距理論上互為補角，合計應為 $360^\circ$。兩讀數合計與 $360^\circ$ 的差值，包含正倒鏡各自的指標差，因此單一讀數的指標差為該差值的一半：

解題方法

代入題目讀數：

兩讀數合計比 $360^\circ$ 多 $8''$，故指標差為：

因此指標差為 $4''$。

核心觀念

本題考查平面直角坐標中，依已知距離與方位角計算坐標增量。台灣測量學的方位角通常由北方向起算，順時針量至目標方向，因此：

• 東坐標增量：$\Delta E = S\sin\alpha$
• 北坐標增量：$\Delta N = S\cos\alpha$

其中 $S$ 為距離，$\alpha$ 為方位角。

解題方法

已知 $S_{AB}=260.00\ \mathrm{m}$、$\alpha_{AB}=125^\circ33'20''$。此方位角介於 $90^\circ$ 與 $180^\circ$，方向位於東南象限，因此 $\Delta E>0$、$\Delta N<0$。

先換算角度：

計算坐標增量：

由 $B$ 點坐標等於 $A$ 點坐標加上坐標增量：

核心觀念

本題考「最或是值」與其「中誤差」的計算。各次觀測精度相同、彼此獨立時，最或是值取算術平均；平均值的中誤差為單次觀測中誤差除以觀測次數的平方根。

設觀測值為 $x_i$，觀測次數為 $n$，則：

其中 $v_i=x_i-\bar{x}$。

解題方法

先計算算術平均：

各次觀測的殘差為：

因此：

代入最或是值中誤差公式：

故最或是值及其中誤差為 $20.25\ \mathrm{cm}\pm0.01\ \mathrm{cm}$。

選項分析

核心觀念

本題考查卷尺的尺長改正。卷尺刻畫長為 $30\ \mathrm{m}$，但實際長度為 $29.99\ \mathrm{m}$，表示卷尺每一段標示長度都比實長多 $0.01\ \mathrm{m}$。因此，用這把尺量得的距離會偏大，必須按實際尺長比例改正。

解題方法

實際距離等於量得距離乘以「實際尺長／名義尺長」：

代入題目數值：

因此，該地實際距離約為 $138.20\ \mathrm{m}$。

選項分析

核心觀念

本題考水平角的方向讀數計算，以及正鏡、倒鏡觀測的讀數換算。水平角是由後視方向 $OA$ 轉向前視方向 $OB$ 的讀數差；若相減結果為負，須加 $360^\circ$ 化為正角。

倒鏡讀數與正鏡讀數相差約 $180^\circ$。先將倒鏡讀數換算到與正鏡相同的方向基準，再依同一測回的觀測順序求角度。

解題方法

第一組讀數中，$A$ 為正鏡，$B$ 為倒鏡。將 $B$ 的倒鏡讀數減去 $180^\circ$：

$179^\circ59'55''-180^\circ=-0^\circ00'05''=359^\circ59'55''.$

因此第一組角度為：

$359^\circ59'55''-0^\circ00'01''=359^\circ59'54''.$

第二組讀數中，$A$ 為正鏡，$B$ 為倒鏡。倒鏡讀數換算為：

$35^\circ27'18''+180^\circ=215^\circ27'18''.$

再減去 $A$ 的正鏡讀數：

$215^\circ27'18''-215^\circ27'04''=0^\circ00'14''.$

核心觀念

本題考水準儀的視準軸誤差校正，採用兩樁測試的原理：儀器架在兩標尺中間時，A、B 兩尺的視距相等，視準軸誤差對兩次讀數造成的影響相同，因此兩讀數之差可用來求 A、B 兩點的高程差，且不受視準軸誤差影響。

第二次觀測時，儀器位於 B 點右側 $5\ \mathrm{m}$，因此至 A 尺與 B 尺的視距分別為 $55\ \mathrm{m}$ 與 $5\ \mathrm{m}$。兩視距相差 $50\ \mathrm{m}$，視準軸誤差造成的讀數差須依此視距差修正。

解題方法

第一次在中間位置觀測：

這表示 A 點比 B 點高 $0.114\ \mathrm{m}$，亦即在同一水平視線下，A 尺讀數比 B 尺大 $0.114\ \mathrm{m}$。

第二次觀測的原始讀數差為：

若視準軸水平，讀數差應與第一次相同，為 $0.114\ \mathrm{m}$。因此第二次 A 尺的正確讀數為：

但此值不在選項中。依題目指定的官方答案 D，題目所要求的「校正好誤差」在選項中對應 $1.675\ \mathrm{m}$；

核心觀念

水準測量以水準儀視線作為水平基準，讀取水準尺上的數值。水準尺讀數越大，表示該點距離水平視線越遠、地面高程越低。因此，兩點高程差可由讀數相減求得：

其中 $H_A、H_B$ 為 A、B 點高程，$r_A、r_B$ 為相應的水準尺讀數。

解題方法

已知：

代入高程差公式：

結果為正，表示 A 點高於 B 點 $0.200\ \mathrm{m}$。

選項分析

核心觀念

逐差水準測量以各測站的後視（BS）與前視（FS）計算高程變化。從起點到終點的高程差，等於後視總和減去前視總和：

若結果為正，表示終點高於起點；若為負，則表示終點較低。

解題方法

依表中資料加總：

因此：

已知 $H_A=99.730\ \mathrm{m}$，故：

選項分析

核心觀念

閉合水準測量沿測線繞行一周後回到起點，理論上的高程差總和應為 $0$。實測高程差總和與 $0$ 的差值稱為閉合差：

水準測量精度常以每公里均方根誤差表示，使用關係式：

其中 $K$ 為水準路線總長度（公里），$m$ 的單位為 $\mathrm{mm}/\sqrt{\mathrm{km}}$；題目選項以 $\mathrm{mm}\sqrt{k}$ 表示此精度。

解題方法

先加總四段高程差：

因此閉合差為：

路線總長度為：

代入精度公式：

核心觀念

本題考「跨河水準測量」。儀器分別設在河流兩岸觀測 A、B，利用兩次觀測的高差平均，以削弱視準軸誤差與地球曲率等對高差的影響。

同一次架站中，A、B 兩點的高程差為：

這是因為水準視線下，尺讀數越大，該點高程越低。

解題方法

儀器設於河流左側時：

儀器設於河流右側時：

取兩次高差的平均：

已知 $H_A=17.320\ \mathrm{m}$，因此：

選項分析

核心觀念

本題考查觀測值的權數加權平均。同一水平角由不同精度的經緯儀觀測時，精度較高的觀測值應有較大權數。若題目給的是中誤差 $\pm m$，則權數與中誤差平方成反比：

因此，最或是值為各觀測值依權數加權後的平均值：

解題方法

甲、乙的觀測值分別為 $43^\circ12'20''$、$43^\circ12'40''$，中誤差分別為 $10''$、$20''$。先依中誤差計算權數：

權數比為：

以秒數部分加權平均，度與分相同，保持不變：

核心觀念

本題考查經緯儀以垂直角觀測直立標桿時，如何由標桿長度與頂、底兩端的垂直角求水平距離。標桿直立，頂部為仰角、底部為俯角；兩條視線在標桿方向的垂直高差合計為標桿長度 $2\ \mathrm{m}$。

解題方法

設 A、B 兩點間的水平距離為 $D$，經緯儀水平軸與標桿底部的高差為 $h$。令頂部仰角為 $\alpha=3^\circ13'20''$，底部俯角的大小為 $\beta=1^\circ37'40''$。

由直角三角形的正切定義：

兩式相減，消去未知的儀器高差 $h$：

因此：

所以依題目所列數據，計算結果為選項 (C)。

選項分析

核心觀念

方位角以北方向為起算方向，順時針量至目標邊，範圍為 $0^\circ$ 至 $360^\circ$。三角形依逆時鐘方向編號時，從 $AB$ 邊轉至 $BC$ 邊的轉角為頂點 $B$ 的外角，因此：

若計算結果超過 $360^\circ$，再減去 $360^\circ$。

解題方法

已知 $B$ 點內角為 $62^\circ18'15''$，所以由 $AB$ 轉向 $BC$ 的外角為：

將此轉角加到 $AB$ 方位角：

這與題目所列官方答案 A 的 $12^\circ40'04''$ 不符。按題目給定的逆時鐘編號、$AB$ 方位角及 $B$ 點內角，$BC$ 方位角應為 $248^\circ03'37''$；

核心觀念

本題考三角高程測量的高程計算。天頂距從鉛直向上方向起算：天頂距小於 $90^\circ$ 表示目標在儀器水平線上方，大於 $90^\circ$ 則表示目標低於水平線。本題 $92^\circ45'20''>90^\circ$，因此斜距的鉛直分量為向下。

解題方法

先求全測站儀器中心的高程，再加上斜距的鉛直分量，最後扣除稜鏡高：

其中 $H_A=35.478\ \mathrm{m}$ 為 A 點高程，$i=1.650\ \mathrm{m}$ 為儀器高，$S=37.842\ \mathrm{m}$ 為斜距，$Z=92^\circ45'20''$ 為天頂距，$r=1.570\ \mathrm{m}$ 為稜鏡高。

因為 $\cos Z<0$，鉛直分量為負：

核心觀念

本題考查平面直角坐標中的距離、方位角與坐標增量。坐標順序為 $(E,N)$，其中 $E$ 為東坐標、$N$ 為北坐標；方位角以北方向為起算方向，順時針量取。

已知 $\angle BAP$ 為從 $AB$ 方向右旋至 $AP$ 方向的角，因此先求 $AB$ 的方位角，再加上右旋角，得到 $AP$ 的方位角。若距離為 $S$、方位角為 $\alpha$，坐標增量為：

解題方法

由 A、B 坐標求 $AB$ 的坐標增量：

因 $AB$ 位於東北象限，其方位角為：

由題意右旋 $73^\circ42'30''$，故：

將 $AP=317.2\ \mathrm{m}$ 分解為東、北坐標增量：

因此：

核心觀念

本題考平面坐標計算多邊形面積，可用坐標法（鞋帶公式）。頂點須依多邊形邊界順序排列，將相鄰頂點的東坐標與北坐標交叉相乘，再取兩組乘積和之差的絕對值一半：

其中最後一點之後接回第一點。坐標的單位為公尺，因此面積單位為平方公尺。

解題方法

依題目給定順序列出四個頂點，並將第一點接回末點：

計算兩組交叉乘積和：

核心觀念

正方形板片的面積為「邊長平方」；若以板片數估算長、寬，空間面積就是前後方向與左右方向的板片數，分別乘上單片邊長後再相乘。坪與平方公尺的換算採 $1$ 坪 $\approx 3.3\ \mathrm{m}^2$。

解題方法

單片板邊長為 $60\ \mathrm{cm}=0.6\ \mathrm{m}$。依題意，前後約 $18$ 塊、左右約 $15$ 塊，因此空間長、寬約為：

空間面積約為：

換算為坪：

選項分析

核心觀念

GNSS 載波相位觀測會受到衛星端與接收儀端的時鐘誤差影響。對同一顆衛星、同一時刻，以兩台接收儀進行觀測並作一次差分，可消除兩接收儀共同觀測到的衛星時鐘誤差。

解題方法

設接收儀 $r_1$、$r_2$ 同時觀測衛星 $s$，以距離為單位表示的載波相位觀測方程可簡化寫成：

其中，$\rho_r^s$ 為幾何距離，$\delta t_r$ 為接收儀時鐘誤差，$\delta t^s$ 為衛星時鐘誤差，$I$、$T$ 分別為電離層與對流層延遲，$N$ 為整數週波未定值，$\varepsilon$ 代表其他觀測誤差。

對同一顆衛星作兩接收儀的一次差分：

核心觀念

圓弧曲線長 $L$、半徑 $R$ 與圓心角 $\theta$ 的關係為

此公式中的 $\theta$ 必須以弧度表示。若要換成度、分、秒，使用 $180^\circ=\pi\ \mathrm{rad}$。

解題方法

已知 $R=400.00\ \mathrm{m}$、$L=20.00\ \mathrm{m}$，先求圓心角弧度：

換算成度：

將小數度換成度、分、秒：

因此圓心角約為 $2^\circ51'53''$，選項 (C)。

選項分析

核心觀念

比例尺 $1:500$ 表示圖上 $1$ 單位長度相當於實地 $500$ 個相同單位。長度放大 $500$ 倍時，面積須放大 $500^2$ 倍。長方形面積公式為「長 $\times$ 寬」。

解題方法

先計算圖上面積，再依比例尺換算為實地面積：

實地面積為：

因 $1\ \mathrm{公頃}=10{,}000\ \mathrm{m^2}=100{,}000{,}000\ \mathrm{cm^2}$，所以：

選項分析

核心觀念

角度誤差會使視線方向產生偏移；在距離 $D$ 處，橫向距離誤差為

本題角度很小，可用小角近似 $\tan\theta\approx\theta$，但角度必須以弧度表示，因此 $e\approx D\theta$。

解題方法

先將 $20''$ 換算成弧度。因為 $1^\circ=3600''$，且 $1^\circ=\frac{\pi}{180}$ 弧度：

距離為 $D=100\ \mathrm{m}$，所以

誤差約為 $1\ \mathrm{cm}$，因此選 (B)。

選項分析

核心觀念

經緯儀觀測水平角時，正鏡與倒鏡是將望遠鏡分別置於正位與倒位觀測同一目標。取兩次水平角讀數的平均，可消除或抵銷部分與望遠鏡視準軸、水平軸不垂直有關的儀器誤差。本題所稱的水平軸誤差，是指水平軸（橫軸）與直立軸不垂直所造成的水平角觀測誤差。

解題方法

判斷誤差能否由正、倒鏡平均消除，重點在於誤差在倒鏡觀測時是否改變符號。水平軸誤差對正鏡與倒鏡水平角的影響方向相反，因此兩次觀測取平均時，該誤差項相互抵銷，故選 (A)。

選項分析

• (A) 水平軸誤差：正確。 水平軸與直立軸不垂直會影響水平角觀測；正、倒鏡觀測所得的此項誤差符號相反，取平均可予以消除。
• **(B) 度盤刻畫誤差：錯誤。

核心觀念

電子測距儀（EDM）透過發射與接收電磁波，測得儀器至反射目標間的距離。使用 EDM 量距時，應以與測距儀相容、能穩定反射訊號的稜鏡作為照準目標，才能取得可靠的距離讀數。

解題方法

判斷照準目標是否具備 EDM 反射訊號所需的條件。標桿的上端、下端與支架都不是專供 EDM 反射訊號的目標；稜鏡則能將測距儀發出的訊號反射回儀器，因此應照準稜鏡。

選項分析

核心觀念

視距測量在視線水平時，距離由視距公式計算：

$D=Ks+C$

其中 $K$ 為視距乘常數，$C$ 為加常數；$s$ 是標尺上、下絲讀數之差，稱為視距截距。題目給定 $K=100$、$C=0.00$。

解題方法

上絲讀數為 $1.85\ \mathrm{m}$，下絲讀數為 $1.45\ \mathrm{m}$，因此視距截距為：