111 鐵路特考佐級 電子工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

均勻電熱線的電阻與長度成正比。先由額定電壓、額定功率求出原電熱線的電阻，再依切割後的長度比例求各段電阻。並聯時各段兩端電壓相同，總功率可由總電阻計算：

解題方法

原電熱線的電阻為

平均剪成 $5$ 段後，每段長度是原來的 $\frac{1}{5}$，因此每段電阻為

五段相同電阻並聯，等效電阻為

接上 $12\text{ V}$ 電源後，總消耗功率為

選項分析

核心觀念

本題考查三環色碼電阻的讀值，以及歐姆定律 $V=IR$。

三環色碼中，前兩環代表有效數字，第三環代表倍率。棕色代表 $1$，紅色代表 $2$，黃色代表倍率 $10^4$。

解題方法

依序讀取色碼「棕、紅、黃」：

電流為 $0.1\ \text{mA}=0.0001\ \text{A}$。代入歐姆定律：

因此，電阻兩端的電壓為 $12\ \text{V}$。

選項分析

核心觀念

本題考查歐姆定律與串聯電路的等效電阻。歐姆定律為 $V=IR$；串聯電路的總電阻等於各電阻相加，且流經各電阻的電流相同。

解題方法

電池電壓為 $6\text{ V}$，單獨接上電阻器 A 時，電流為 $2\text{ A}$，因此：

再將電阻器 B 與 A 串聯，電流降為 $0.5\text{ A}$，此時總電阻為：

所以：

選項分析

核心觀念

本題考查基爾霍夫電壓定律及歐姆定律。兩個電壓源的負端共同接地，因此可直接判斷電阻兩端電位：

• 左端電位：$+9\text{ V}$
• 右端電位：$+3\text{ V}$

電阻電流方向由高電位流向低電位，故實際電流由左向右，與圖示電流 $I$ 方向相同。

解題方法

$2\Omega$ 電阻兩端的電壓為

依歐姆定律：

因此電流方向為圖示的左向右，電流 $I$ 為正值。

選項分析

• (A) $3$ 安培：正確。 電阻兩端電壓為 $6\text{ V}$，除以 $2\Omega$ 得 $I=3\text{ A}$，方向與箭頭相同。

核心觀念

本題考查串聯、並聯電路的等效電阻，以及電阻功率公式：

• 兩個相同的 $18\Omega$ 電阻並聯：

$R_p=\frac{18\times18}{18+18}=9\Omega$

• 電阻消耗功率：

$P=I^2R=\frac{V^2}{R}$

解題方法

圖中電路為 $5\Omega$ 電阻與兩個並聯的 $18\Omega$ 電阻串聯。

兩個 $18\Omega$ 電阻的等效電阻為：

$R_p=9\Omega$

全電路總電阻：

$R_{\text{total}}=5+9=14\Omega$

電源電壓為 $28\text{ V}$，所以總電流：

$I=\frac{28}{14}=2\text{ A}$

並聯部分的電壓為：

$V_p=I R_p=2\times9=18\text{ V}$

核心觀念

電阻器消耗的電功率可由功率公式 $P=VI$ 計算。搭配歐姆定律 $I=\dfrac{V}{R}$，可改寫成：

本題已知電阻兩端電壓與電阻值，直接套用此式即可。

解題方法

代入 $V=100\text{ V}$、$R=1250\ \Omega$：

因此電阻器消耗的電功率為 $8\text{ W}$。

選項分析

核心觀念

本題考查電壓源的等效電路，以及端電壓、負載電流與內電阻的關係。

將直流網路等效為戴維寧電路：

• 開路端電壓：$V_{\text{th}}=V_{ab}=24\text{ V}$
• 負載電阻：$R_L=4\Omega$
• 開關閉合時負載電流：$I=4\text{ A}$

解題方法

開關閉合時，負載端電壓為

電壓源的內電阻所分得的電壓為

因此等效內電阻為

當 $a$、$c$ 短路時，直流網路端點電壓為零，負載 $4\Omega$ 被短路旁路，電流主要流經短路路徑。因此短路電流為

核心觀念

本題考查無源串聯 $RL$ 電路的自然響應。電感初始儲存的能量會經由電阻消耗，因此電流會按照指數形式衰減：

其中時間常數為：

解題方法

無源 $RL$ 電路依據克希荷夫電壓定律：

其電流響應為：

題目給定：

計算指數項係數：

因此：

其中 $t$ 的單位為秒。

選項分析

• (A) $i(t)=0.5e^{-5000t}\text{ A}$

指數衰減係數 $5000$ 正確，但初始電流為 $0.5\text{ A}$，與題目給定的 $i(0)=5\text{ A}$ 不符，因此錯誤。

核心觀念

本題考查電位與電位能的關係：

將電荷 $q$ 由 C 點移至 D 點，外力所需做功為電位能增加量：

其中：

• 正方形邊長為 $5\text{ m}$
• $A$ 點電荷為 $+200\mu\text{ C}$
• $B$ 點電荷為 $-200\mu\text{ C}$
• 移動電荷為 $q=+5\mu\text{ C}$
• $k=9\times10^9$

解題方法

由圖可知，A、B 位於下方，D、C 位於上方，因此：

• $AC=BD=5\sqrt{2}\text{ m}$
• $BC=AD=5\text{ m}$

先求 C 點電位：

再求 D 點電位：

因此：

核心觀念

電阻與溫度呈線性關係時，以 $20^\circ\text{C}$ 為基準，電阻可表示為

其中 $\alpha_{20}$ 為 $20^\circ\text{C}$ 時的電阻溫度係數，表示溫度每升高 $1^\circ\text{C}$，電阻相對於 $R_{20}$ 的變化率。

解題方法

已知 $R_{20}=0.3\ \Omega$、$R_{100}=0.288\ \Omega$，代入線性電阻溫度公式：

整理得：

電阻由 $0.3\ \Omega$ 降至 $0.288\ \Omega$，因此溫度係數為負，與計算結果相符。

選項分析

核心觀念

本題考查：

• 歐姆定律：$V=IR$
• 節點電流定律（KCL）：流入節點的電流總和等於流出電流總和
• 電壓源極性判讀

以下端點電壓以電路下方公共節點為參考點，令其電位為 $0\text{ V}$。

解題方法

已知 $10\Omega$ 電阻中的電流 $I=5\text{ A}$，方向由上往下，因此右側節點電壓為

右側節點有兩股電流流出：

• 經 $10\Omega$ 電阻向下：$5\text{ A}$
• 經右側 $5\text{ A}$ 電流源向下：$5\text{ A}$

因此右側節點總流出電流為

由圖可知，左至右的 $25\text{ A}$ 電流源流入右側節點。設左側與右側節點間 $5\Omega$ 電阻的電流方向由左向右，則依 KCL：

代入 $V_R=50\text{ V}$：

電壓源 $V_S$ 的極性標示為上端負、下端正，故

下端為參考點 $0\text{ V}$，所以

選項分析

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理。

負載 $R_L$ 消耗最大功率的條件為：

此時最大功率為：

其中 $V_{\mathrm{TH}}$ 是 $a-b$ 端的開路電壓，$R_{\mathrm{TH}}$ 是由 $a-b$ 端看入的戴維寧等效電阻。

解題方法

先將 $R_L$ 開路，求 $a-b$ 端的開路電壓。

$R_L$ 開路時，$8\Omega$ 電阻沒有電流，因此其兩端沒有電壓降。電路中的 $6\Omega$ 與 $3\Omega$ 串聯接於 $18\text{ V}$ 電源兩端，故：

$a-b$ 端電壓等於 $3\Omega$ 電阻兩端電壓：

接著求 $R_{\mathrm{TH}}$。將理想電壓源 $18\text{ V}$ 短路，從 $a-b$ 端看入：

其中：

所以：

最大功率為：

核心觀念

本題考查：

• Kirchhoff 電流定律（KCL）
• 歐姆定律 $V=IR$
• 迴路電流方向與實際電流方向的正負判定

圖中右側 $5\text{ A}$ 電流源向上，右上節點只有一條路經 $3\Omega$ 電阻連接中央節點，因此流經 $3\Omega$ 的電流必為 $5\text{ A}$，方向由右向左。

解題方法

取下方導線為接地，設中央節點電壓為 $V$。

左側 $20\text{ V}$ 電壓源上端電位為 $20\text{ V}$。由於 $5\text{ A}$ 電流經由 $3\Omega$ 電阻由右向左流動，中央節點到右側節點的電壓差為

因此，從中央節點流向右側的電流為 $-5\text{ A}$。

對中央節點套用 KCL：

兩邊乘以 $12$：

核心觀念

本題考查克希荷夫電流定律（Kirchhoff’s Current Law, KCL）：

任一節點的電流代數和為零，也就是「流入節點的總電流＝流出節點的總電流」。

圖中左下節點有 $3\text{ A}$ 流入，並有 $2\text{ A}$ 沿左斜支路流出；右下節點則有 $1\text{ A}$ 自右斜支路流入，且電流 $I$ 向右流出。

解題方法

先對左下節點套用 KCL。設由左下節點流向右下節點的底部電流為 $I_x$：

因此：

再對右下節點套用 KCL。流入右下節點的電流為 $I_x$ 與 $1\text{ A}$，流出的電流為 $I$：

代入 $I_x=1\text{ A}$：

所以正確答案為：

選項分析

核心觀念

戴維寧等效電壓 $V_{TH}$ 定義為負載 $R_L$ 移除後，從端點 $a$、$b$ 看入之開路電壓：

圖 A 中，$R_L$ 移除後，左右兩側各形成一個獨立的分壓電路。

解題方法

電源為 $12\text{ V}$，以下端點為參考電位 $0\text{ V}$。

左側分壓電路：

右側分壓電路：

因此端點 $a$、$b$ 間的戴維寧等效電壓為：

所以選擇 (B)。

選項分析

核心觀念

本題考查諾頓等效電阻 $R_N$ 的求法：

1. 將獨立電壓源設為零，理想 $5\text{ V}$ 電壓源以短路取代。
2. 受控電流源不可關閉，仍須保留。
3. 求端點 $a$-$b$ 所見的等效電阻。

圖中 $i_x$ 為流過 $2\Omega$ 電阻、由上往下的電流，受控電流源大小為 $3i_x$。

解題方法

將 $5\text{ V}$ 電壓源關閉後，以短路取代，因此原本電壓源上方節點與端點 $b$ 等電位。

此時 $2\Omega$ 電阻的兩端均接在端點 $b$，其電壓為

所以

受控電流源的電流為

因此受控電流源中沒有電流，對端點 $a$-$b$ 的等效作用為零。端點 $a$ 與 $b$ 之間只剩下 $3\Omega$ 電阻，故

選項分析

核心觀念

諾頓等效電流 $I_N$ 定義為端點 $a\text{-}b$ 短路時，流過短路線的電流：

本題要求由端點 $a\text{-}b$ 所視之諾頓等效電流，因此將 $a$、$b$ 短路，再求短路電流。

解題方法

端點 $a$、$b$ 短路後，右側的 $3\,\Omega$ 電阻直接接在中央節點與 $b$ 端之間。

由圖中 $6\text{ V}$ 電壓源上正下負，且下端接在 $b$ 端，因此中央節點電壓為：

流經右側 $3\,\Omega$ 電阻的電流為：

此電流由中央節點經右側 $3\,\Omega$ 電阻流向 $a$，再經短路線流至 $b$，所以短路電流即為：

左側的 $2\text{ A}$ 電流源及 $3\,\Omega$ 電阻，並不會改變中央節點由理想 $6\text{ V}$ 電壓源所固定的電壓，因此不影響端點短路電流。

核心觀念

本題考查電阻網路的對稱性、平衡電橋與並聯等效電阻。

由圖可辨識：

• $a$ 與 $b$ 間為 $6\Omega$
• $b$ 與 $c$ 間為 $6\Omega$
• $a$ 與 $c$ 外側直接連接一個 $6\Omega$
• $a$ 與中央節點間為 $2\Omega$
• 中央節點與 $b$ 間為 $2\Omega$
• 中央節點與 $c$ 間為 $2\Omega$

解題方法

以 $a,c$ 兩端加測試電壓。觀察 $b$ 與中央節點：

• 從 $a$ 到 $b$、再到 $c$ 的兩側電阻皆為 $6\Omega$
• 從 $a$ 到中央節點、再到 $c$ 的兩側電阻皆為 $2\Omega$

兩個節點對 $a,c$ 具有完全對稱的連接，因此兩節點電位相同：

所以連接 $b$ 與中央節點的 $2\Omega$ 電阻兩端電位差為零，通過該電阻的電流為零，可視為無電流支路。

剩下三條由 $a$ 通往 $c$ 的並聯支路：

1. 外側直接支路：

2. 經過 $b$ 的支路：

3. 經過中央節點的支路：

因此：

核心觀念

本題考查串聯、並聯電阻的等效化簡，以及功率公式：

• 串聯電路：各元件電流相同。
• 並聯電路：各支路電壓相同。
• 電阻功率： $P=I^2R=\frac{V^2}{R}$

圖中 $6\ \Omega$ 與 $3\ \Omega$ 電阻並聯，其餘電阻均與此並聯組合串聯。

解題方法

先化簡並聯部分：

全電路等效電阻為：

因此電源 $10\text{ V}$ 所產生的總電流為：

並聯組合兩端的電壓為：

由於並聯支路電壓相同，$6\ \Omega$ 電阻兩端電壓也是 $2\text{ V}$。其消耗功率為：

也可先求 $6\ \Omega$ 支路電流：

再利用：

核心觀念

本題考查：

1. 開路狀態下，電路電流為 $0$。
2. 由歐姆定律 $V_R=IR$，可知各電阻上的電壓降皆為 $0$。
3. 利用電池極性判斷各節點電位，再計算 $V_{ab}=V_a-V_b.$

圖中 $a$、$b$ 為開路端點，因此 $R_1$、$R_2$、$R_3$ 中均無電流，三個電阻可視為等電位導線。

解題方法

令左下節點電位為 $0$ V。

依圖中電池極性：

• $15$ V 電池上端為正，因此 $R_2$ 下端上方節點電位為 $15\text{ V}.$
• $10$ V 電池左端為正，故右端的 $a$ 點電位比左端低 $10$ V： $V_a=15-10=5\text{ V}.$
• $12$ V 電池左端為正，故右端的 $b$ 點電位比左端低 $12$ V： $V_b=-12\text{ V}.$

因此

也可直接沿著電位差相加：

核心觀念

本題考查一階 $RL$ 電路的穩態電流與時間常數：

• $t\to\infty$ 時，電感視為短路。
• 時間常數為 $\tau=\frac{L}{R_{\text{th}}}$ 其中 $R_{\text{th}}$ 是由電感端看入的戴維寧等效電阻。
• 電流源求 $R_{\text{th}}$ 時，須將獨立電流源開路。

解題方法

開關閉合後，電路上方與下方節點相連，$12\text{ A}$ 電流源供應三個並聯支路：

• $30\Omega$ 電阻
• $6\Omega$ 電阻
• $5\Omega$ 與 $L$ 串聯支路

1. 求時間常數 $\tau$

將 $12\text{ A}$ 電流源開路，由電感端看入：

因此

已知 $L=2\text{ H}$，所以

2. 求穩態電流 $i(\infty)$

在直流穩態時，電感短路，因此右側支路只剩 $5\Omega$。

依圖中電路，閉合後 $30\Omega$、$6\Omega$ 及 $5\Omega$ 三支路並聯。其並聯等效電阻為

電路兩端電壓：

流過 $5\Omega$—電感支路的電流為

核心觀念

本題考查電磁感應與楞次定律：

當一次側直流電壓 $E$ 突然減少但仍為正值時，一次側電流方向不變，但電流大小減少，因此磁通量也正在減少。二次側線圈會產生感應電流，以維持原本的磁通方向，抵抗磁通量的減少。

解題方法

依圖中兩線圈的繞向判斷，當一次側電流減少時，二次側感應電流會經由右側電阻由 $B$ 流向 $A$。

電阻中的電流由高電位流向低電位，因此：

所以：

選擇 (C)。

此處雖然外加電壓 $E$ 仍為正值，但題目問的是「突然減少的瞬間」。判斷感應電流方向的關鍵是 $\dfrac{d\Phi}{dt}<0$，而不是只看 $E$ 的正負。

選項分析

核心觀念

長直平行導線間的單位長度作用力為

其中 $I_1、I_2$ 為兩導線電流，$d$ 為導線間距，$\mu_0$ 為真空磁導率。導線長度及另一條導線的電流不變時，受力大小與「兩電流的乘積」成正比，與「導線間距」成反比。

解題方法

設原受力為

其中一導線電流變為原來的 2 倍，間距也變為原來的 2 倍，則新受力為

核心觀念

本題考查「串聯電容器」的穩態特性：

1. 直流穩態時，電容器視為開路，但仍會儲存電荷。
2. 串聯電容器上的電荷量大小相同，即 $Q_{10}=Q_{30}=Q_{20}=Q$
3. 電容器電壓關係為 $V=\frac{Q}{C}$ 因此串聯電容器的電壓與電容量成反比。

解題方法

三個電容器 $10\,\mu\text{F}$、$30\,\mu\text{F}$、$20\,\mu\text{F}$ 串聯於 $11\text{ V}$ 電源兩端。

串聯等效電容量為

通分得

所以

串聯電路的共同電荷量為

題目所求 $V_a$ 是 $20\,\mu\text{F}$ 電容器兩端的電壓，因此

核心觀念

本題考查 RC 電路的暫態特性：

1. 電容器兩端電壓不能瞬間改變： $v_C(0^+)=v_C(0^-)=20\text{ V}$
2. 開關閉合瞬間，電容器可視為維持原先的電壓。
3. 由歐姆定律計算 $40\ \Omega$ 電阻中的電流： $I=\frac{V}{R}$

解題方法

開關 $S$ 原本開路很久，電路已達穩態。此時直流穩態下電容器相當於開路，因此 $20\ \Omega$ 電阻中沒有電流，電阻無壓降，電容器充電至電源電壓：

$v_C(0^-)=20\text{ V}$

在 $t=0$ 開關閉合的瞬間，由於電容器電壓不能突變：

$v_C(0^+)=20\text{ V}$

閉合後，$40\ \Omega$ 電阻直接接在電容器兩端，因此其兩端電壓在瞬間仍為 $20\text{ V}$。故流過 $40\ \Omega$ 電阻的電流為：

$I_{40\Omega}(0^+)=\frac{20}{40}=0.5\text{ A}$

因此選擇：

(D) $0.5\text{ A}$

選項分析

核心觀念

多層式平行板電容器中，相鄰金屬板分別連接至端點 $a$、$b$，因此每一個相鄰板間的電容都接在 $a$、$b$ 兩端，屬於多個電容並聯。

單一板間電容為

而 $n$ 片金屬板可形成 $n-1$ 個板間電容，故等效電容為

解題方法

六片金屬板時，共有

個相同的板間電容並聯。題目給定六片金屬板的等效電容為 $8.85\text{ pF}$，因此單一板間電容為

增加為八片金屬板後，板間電容數為

所以新的等效電容為

亦可直接利用比例計算：

因此

選項分析

核心觀念

本題考相對導磁係數與磁通量的關係。題目所稱「磁力線」可視為磁通量 $\Phi$；在磁場強度 $H$ 相同時，磁通密度 $B$ 與磁通量會隨材料的導磁係數 $\mu$ 成正比：

其中 $\mu_r$ 為相對導磁係數，空氣的相對導磁係數近似為 $1$。

解題方法

線圈電流與幾何條件不變時，磁場強度 $H$ 不變。鐵磁物質中的磁通量為 $4000$ 線，且 $\mu_r=20$；抽去鐵磁物質、改置於空氣中後，磁通量依導磁係數比例降為原來的 $1/20$：