108 年鐵路特考高員三級電力工程考古題與詳解

Question 1

令一行列式為 $$ \begin{vmatrix} 2+x & 3 & 5\ 2 & 3+x & 5\ 2 & 3 & 5+x \end{vmatrix}=0， $$ 求 $x$ 為何？

Accepted Answer

核心觀念 本題為典型線性代數中「含變數之三階行列式求解」的基礎考題，核心考核以下觀念與性質： 1. 行列式行／列運算性質：將某一行（列）的純量倍加至另一行（列），行列式的值不變。 2. 行列式公因式提出性質：行列式中某一列（行）的所有元素均含有共同因式時，可將該公因式提至行列式外。 3. 三角行列式求值：上三角（或下三角）矩陣的行列式值等於主對角線元素的連乘積。 --- 解題方法 觀察此三階行列式各列（Row）的元素，每一列的數字總和皆相同： $$(2+x) + 3 + 5 = x + 10$$ $$2 + (3+x) + 5 = x + 10$$ $$2 + 3 + (5+x) = x + 10$$ 此特徵適合採用「行相加提出公因式，再透過列運算消去製造零元素」的標準化法，避免盲目展開導致高次方繁複運算。 詳細計算步驟： 步驟一：行運算提公因式 將第 2 行（$C2$）與第 3 行（$C3$）加至第 1 行（$C1$），即執行運算 $C1 + C2 + C3 	o C1$： $$ \begin{vmatrix} 2+x & 3 & 5\ 2 & 3+x & 5\ 2 & 3 & 5+x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x+10 & 3 & 5\ x+10 & 3+x & 5\ x+10 & 3 & 5+x \end{vmatrix} $$ 第 1 行具有公因式 $(x+10)$，將其提出行列式外： $$ = (x+10) \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5\ 1 & 3+x & 5\ 1 & 3 & 5+x \end{vmatrix} $$ 步驟二：列運算化為上三角行列式 以第 1 列（$R1$）為基準，分別減去第 2 列與第 3 列（$R2 - R1 	o R2$，$R3 - R1 	o R3$）：

Question 2

令複變函數 $$ f(z)=\frac{1}{1-3z+2z^2}， $$ 試求： (一) $f(z)$ 的麥克勞林級數（Maclaurin series）展開式。（7 分） (二) 第（一）小題之級數的收斂半徑。（3 分）

Accepted Answer

核心觀念 1. 部分分式展開法（Partial Fraction Decomposition）： 有理函數展開成冪級數時，直接反覆微分求導數極為繁瑣。標準作法是先將分母因式分解，拆解為簡易的一階分式之和。 2. 幾何級數（無窮等比級數）公式： 當複數滿足 $|w| < 1$ 時，有標準展開式： $$\frac{1}{1-w} = \sum{n=0}^{\infty} w^n = 1 + w + w^2 + \cdots$$ 3. 麥克勞林級數（Maclaurin Series）： 即以 $z = 0$ 為展開中心的泰勒級數（Taylor series）。 4. 收斂半徑（Radius of Convergence, $R$）： - 幾何判定法：若複變函數 $f(z)$ 在 $z=0$ 為解析（Analytic），則其麥克勞林級數的收斂半徑 $R$，等於展開中心 $z=0$ 到函數「最近奇異點（Singularity）」的歐幾里得距離。 - 比值審斂法（Ratio Test）：對於級數 $\sum{n=0}^{\infty} an z^n$，其收斂半徑可表示為： $$R = \lim{n 	o \infty} \left| \frac{an}{a{n+1}} ight|$$ --- 解題方法 (一) 求 $f(z)$ 的麥克勞林級數展開式 步驟 1：分母因式分解並化為部分分式 給定函數： $$f(z) = \frac{1}{1 - 3z + 2z^2} = \frac{1}{(1 - z)(1 - 2z)}$$ 設其部分分式為： $$\frac{1}{(1 - z)(1 - 2z)} = \frac{A}{1 - z} + \frac{B}{1 - 2z}$$ 通分比對分子： $$1 = A(1 - 2z) + B(1 - z)$$ - 代入 $z = 1$：$1 = A(1 - 2) \implies A = -1$ - 代入 $z = \frac{1}{2}$：$1 = B\left(1 - \frac{1}{2}ight) \implies B = 2$ 因此，函數可拆解為： $$f(z) = \frac{2}{1 - 2z} - \frac{1}{1 - z}$$ 步驟 2：利用幾何級數展開 在 $z = 0$ 的鄰域內，分別將兩項展開： 1. 第一項：當 $|2z| < 1$（即 $|z| < \frac{1}{2}$）時： $$\frac{2}{1 - 2z} = 2 \sum{n=0}^{\infty} (2z)^n = 2 \sum{n=0}^{\infty} 2^n z^n = \sum{n=0}^{\infty} 2^{n+1} z^n$$ 2. 第二項：當 $|z| < 1$ 時： $$\frac{1}{1 - z} = \su…

Question 3

$$ \frac{d^2y}{dx^2}+e^xy=e^{2x}， $$ 且 $y(0)=1$、$\dfrac{dy(0)}{dx}=2$。以 $$ y=\sum{n=0}^{\infty}Cnx^n $$ 為解，求 $C0、C1、C2、C3$。

Accepted Answer

核心觀念 1. 冪級數解與泰勒展開式係數關係： 在常微分方程中，若微分方程的解以 $x=0$ 處的冪級數表示： $$y(x) = \sum{n=0}^{\infty} Cn x^n = C0 + C1 x + C2 x^2 + C3 x^3 + \cdots$$ 根據泰勒級數（Taylor Series）定義，各階係數與該點的各階導數具有直接對應關係： $$Cn = \frac{y^{(n)}(0)}{n!}$$ 因此： $$C0 = y(0),\quad C1 = y'(0),\quad C2 = \frac{y''(0)}{2!},\quad C3 = \frac{y'''(0)}{3!}$$ 2. 指數函數的麥克勞林級數（Maclaurin Series）： $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots = \sum{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$ $$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \cdots = 1 + 2x + 2x^2 + \cdots$$ --- 解題方法 本題給定初值條件 $y(0)=1$ 與 $y'(0)=2$，並僅要求至 $C3$。以下提供兩種解題路徑，皆可精確求得答案。 方法一：逐次微分法（泰勒展開法，推薦考場首選） 此方法直接利用原方程式與微分求得高階導數在 $x=0$ 的數值，計算最為直接迅速。 1. 求 $C0$ 與 $C1$： 由初值條件直接代入： $$C0 = y(0) = 1$$ $$C1 = y'(0) = 2$$ 2. 求 $C2$： 將原微分方程改寫為： $$y'' = e^{2x} - e^x y$$ 將 $x=0$ 代入上式： $$y''(0) = e^0 - e^0 \cdot y(0) = 1 - 1 \cdot (1) = 0$$ 依係數公式： $$C2 = \frac{y''(0)}{2!} = \frac{0}{2} = 0$$ 3. 求 $C3$： 將原微分方程對 $x$ 微分一次（注意乘積微分法則）： $$y''' = \frac{d}{dx}\left( e^{2x} - e^x y \right) = 2e^{2x} - \left( e^x y + e^x y' \right) = 2e^{2x} - e^x y - e^x y'$$ 將 $x=0$ 代入： $$y'''(0) = 2e^0 - e^0 \cdot y(0) - e^0 \cdot y'(0) = 2(1) - 1(1) - 1(2) = 2 - 1 - 2 = -1$$ 依係數公式：

Question 4

設一隨機變數（random variable）$X$，其期望值（expected value） $$ E[X]=-3， $$ $X$ 的變異數（variance）$\sigmaX^2=2$。設 $Y=2X-3$，求： (一) $Y$ 的期望值（expected value）：$E[Y]$。（5 分） (二) $Y^2$ 的期望值（expected value）：$E[Y^2]$。（5 分） (三) $Y$ 的變異數（variance）：$\sigmaY^2$。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題評量機率與統計中隨機變數的線性變換（Linear Transformation）及其動差（Moments）運算，涉及以下重要公式與定義： 1. 期望值的線性性質（Linearity of Expectation）： 對於任意隨機變數 $X$ 與常數 $a, b$，恆滿足： $$E[aX + b] = aE[X] + b$$ 2. 變異數的定義與運算公式： 隨機變數 $X$ 的變異數定義為偏差平方的期望值，可化簡為二階動差與一階動差平方之差： $$\sigmaX^2 = 	ext{Var}(X) = E\left[(X - E[X])^2ight] = E[X^2] - (E[X])^2$$ 由此可導出二階動差公式： $$E[X^2] = 	ext{Var}(X) + (E[X])^2$$ 3. 線性變換後的變異數性質： 常數加減不影響離散程度，縮放倍數則以平方呈現： $$\sigma{aX+b}^2 = 	ext{Var}(aX + b) = a^2 	ext{Var}(X) = a^2 \sigmaX^2$$ --- 解題方法 已知隨機變數 $X$ 之期望值 $E[X] = -3$、變異數 $\sigmaX^2 = 2$，且 $Y = 2X - 3$。 (一) 求 $Y$ 的期望值 $E[Y]$ 利用期望值的線性性質展開： $$E[Y] = E[2X - 3] = 2E[X] - 3$$ 將 $E[X] = -3$ 代入： $$E[Y] = 2(-3) - 3 = -6 - 3 = -9$$ --- (二) 求 $Y^2$ 的期望值 $E[Y^2]$ 方法：先求 $E[X^2]$，再展開 $Y^2$ 1. 依據變異數與動差之轉換公式，求出 $X$ 的二階動差 $E[X^2]$： $$E[X^2] = \sigmaX^2 + (E[X])^2$$ 代入已知數值： $$E[X^2] = 2 + (-3)^2 = 2 + 9 = 11$$ 2. 將 $Y^2$ 展開並取期望值： $$Y^2 = (2X - 3)^2 = 4X^2 - 12X + 9$$ 根據線性性質取期望值：

Question 5

令 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 為二向量，則下列有關其內積（inner product）與外積（cross product）的敘述何者錯誤？ (A) $\mathbf{u}	imes\mathbf{v}=\mathbf{v}	imes\mathbf{u}$ (B) $\mathbf{u}\bullet\mathbf{v}=\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}$ (C) $\lvert\mathbf{u}	imes\mathbf{v}vert\leq\lvert\mathbf{u}vert\lvert\mathbf{v}vert$ (D) $\lvert\mathbf{u}\bullet\mathbf{v}vert\leq\lvert\mathbf{u}vert\lvert\mathbf{v}vert$

Accepted Answer

核心觀念 內積與外積的基本性質： - 內積具交換律：$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}$。 - 外積具反交換律：$\mathbf{u}	imes\mathbf{v}=-(\mathbf{v}	imes\mathbf{u})$。 - 若 $	heta$ 是 $\mathbf{u}$ 與 $\mathbf{v}$ 的夾角，則 $$|\mathbf{u}	imes\mathbf{v}|=|\mathbf{u}||\mathbf{v}||\sin	heta|,\qquad |\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|=|\mathbf{u}||\mathbf{v}||\cos	heta|.$$ 解題方法 逐項比對敘述與上述性質。外積交換兩向量的順序時會改變方向，因此外積不具交換律；其餘選項則可由內積的交換律及 $|\sin	heta|、|\cos	heta|\leq 1$ 判斷。 選項分析

Answer

答案：A

Question 6

在三度空間中，由 $P1(4,6,5)$、$P2(4,9,5)$ 與 $P3(8,6,7)$ 所形成的三角形面積為何？ (A) $\sqrt{45}$ (B) $\dfrac{\sqrt{45}}{2}$ (C) $45$ (D) $\dfrac{45}{2}$

Accepted Answer

核心觀念 三度空間中，三角形面積等於兩邊向量外積長度的一半。若頂點為 $P1,P2,P3$，則 $$ 	ext{面積}=\frac12\left\|\overrightarrow{P1P2}	imes\overrightarrow{P1P3}ight\|. $$ 外積長度代表以兩向量為鄰邊的平行四邊形面積。 解題方法 以 $P1$ 為共同起點，求出兩邊向量： $$ \overrightarrow{P1P2}=(4-4,\,9-6,\,5-5)=(0,3,0), $$ $$ \overrightarrow{P1P3}=(8-4,\,6-6,\,7-5)=(4,0,2). $$ 計算外積： $$ \overrightarrow{P1P2}	imes\overrightarrow{P1P3} = \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\ 0&3&0\ 4&0&2 \end{vmatrix} =(6,0,-12). $$ 其長度為 $$ \sqrt{6^2+0^2+(-12)^2} =\sqrt{180} =6\sqrt5. $$

Answer

答案：A

Question 7

下列何者是向量 $$ \mathbf{v}= \begin{bmatrix} 1\ 1\ 3 \end{bmatrix} $$ 在 $$ \mathbf{w}1= \begin{bmatrix} 0\ 3\ 1 \end{bmatrix} $$ 及 $$ \mathbf{w}2= \begin{bmatrix} 2\ 0\ 0 \end{bmatrix} $$ 所延伸（span）的空間之投影向量（projection）？ (A) $$ \begin{bmatrix} 1\ \dfrac{9}{5}\ \dfrac{3}{5} \end{bmatrix} $$ (B) $$ \begin{bmatrix} \dfrac{3}{8}\ 1\ \dfrac{2}{\sqrt{8}} \end{bmatrix} $$ (C) $$ \begin{bmatrix} 2\ 3\ 1 \end{bmatrix} $$ (D) $$ \begin{bmatrix} \dfrac{2}{3}\ \dfrac{1}{2}\ \dfrac{3}{\sqrt{10}} \end{bmatrix} $$

Accepted Answer

核心觀念 向量在一個子空間上的正交投影，是該子空間中與原向量距離最近的向量。若子空間由矩陣 $W$ 的列向量張成，投影向量為 $$ \operatorname{proj}{\operatorname{Col}(W)}\mathbf v = W(W^{T}W)^{-1}W^{T}\mathbf v, $$ 前提是 $W$ 的列向量線性獨立。此題的 $\mathbf w1,\mathbf w2$ 並非正交向量，因此不能直接把 $\mathbf v$ 分別投影到兩向量後相加。 解題方法 令投影向量為 $\mathbf p=a\mathbf w1+b\mathbf w2$。正交投影的誤差 $\mathbf r=\mathbf v-\mathbf p$ 必須同時垂直於 $\mathbf w1$ 和 $\mathbf w2$，所以 $$ \begin{bmatrix} \mathbf w1\cdot\mathbf w1 & \mathbf w1\cdot\mathbf w2\ \mathbf w2\cdot\mathbf w1 & \mathbf w2\cdot\mathbf w2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf w1\cdot\mathbf v\ \mathbf w2\cdot\mathbf v \end{bmatrix}. $$ 計算內積： $$ \mathbf w1\cdot\mathbf w1=10,\qquad \mathbf w1\cdot\mathbf w2=0,\qquad \mathbf w2\cdot\mathbf w2=4, $$

Answer

答案：A

Question 8

試決定 $a$ 與 $b$ 之值，使以下系統方程式具有無限多組解（infinite number of solutions）： $$ \begin{cases} x+2y+3z=5\ 2x+y+az=4\ 3x+2y+2z=b \end{cases} $$ (A) $a=-\dfrac{3}{4}$，$b=-7$ (B) $a=\dfrac{3}{4}$，$b=7$ (C) $a=-\dfrac{4}{3}$，$b=-7$ (D) $a=-\dfrac{4}{3}$，$b=7$

Accepted Answer

核心觀念 三元一次方程組有無限多組解，必須同時滿足： $$ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid \mathbf c])<3 $$ 其中 $A$ 是係數矩陣，$[A\mid \mathbf c]$ 是增廣矩陣。也就是係數矩陣必須降秩，且方程組仍須相容。 解題方法 係數矩陣為 $$ A= \begin{bmatrix} 1&2&3\ 2&1&a\ 3&2&2 \end{bmatrix} $$ 要使方程組有無限多組解，先令 $\det(A)=0$： $$ \det(A) =1(2-2a)-2(4-3a)+3(4-3) =4a-3 $$ 因此 $$ 4a-3=0 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{3}{4} $$ 代入第二式，並將第一式乘以 $2$ 後相減： $$ (2x+4y+6z)-(2x+y+	frac{3}{4}z)=10-4 $$ $$ 3y+\frac{21}{4}z=6 \quad\Longrightarrow\quad y+\frac{7}{4}z=2 $$ 再將第一式乘以 $3$，與第三式相減： $$ (3x+6y+9z)-(3x+2y+2z)=15-b $$

Answer

答案：B

Question 9

假設矩陣 $A$ 及 $B$ 為兩個相同階數之方陣，且 $A$ 及 $B$ 兩矩陣皆為非奇異矩陣，下列敘述何者恆真？ (A) $A+B$ 亦為非奇異矩陣 (B) $\lvert AB\rvert=0$ (C) 假設 $AB=A+B$，則 $AB=BA$ (D) $adj(AB)=adj(A)adj(B)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考非奇異矩陣的判定與運算性質。方陣 $M$ 非奇異，等價於 $\det(M)
e 0$；因此非奇異矩陣可逆。矩陣乘法一般不具交換律，但在題目額外給定關係式時，可以利用可逆性推導。 解題方法 逐一檢查選項。對選項 (C)，已知 $A$、$B$ 非奇異，且 $AB=A+B$。由 $A+B=AB$ 得 $$ AB-B=A. $$ 在左側提取公因式： $$ (A-I)B=A. $$ 右乘 $B^{-1}$，可得 $$ A-I=AB^{-1}, \qquad A(I-B^{-1})=I. $$ 因此 $A$ 有右反矩陣 $I-B^{-1}$。對方陣而言，有右反矩陣即為可逆，故 $$ A^{-1}=I-B^{-1}. $$ 同理，由 $AB=A+B$ 改寫為 $$ A(B-I)=B. $$ 左乘 $A^{-1}$，得 $$ B-I=A^{-1}B, \qquad (A^{-1}-I)B=-I. $$ 由此可得 $B^{-1}=I-A^{-1}$。配合 $A^{-1}=I-B^{-1}$，也可直接由 $A^{-1}=I-B^{-1}$ 得 $$ A^{-1}B^{-1}=I-B^{-1}-A^{-1}+I $$ 更簡潔的驗證方式，是將 $A^{-1}=I-B^{-1}$ 代回原式所推出的 $A(B-I)=B$：左乘 $A^{-1}$ 得 $B-I=A^{-1}B$，而 $A^{-1}=I-B^{-1}$，所以 $$ B-I=(I-B^{-1})B=B-I, $$ 進一步由 $A^{-1}=I-B^{-1}$ 可知 $A^{-1}$ 是 $B^{-1}$ 的多項式，故 $A^{-1}B^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。取逆後即得

Answer

答案：C

Question 10

設矩陣 $$ A= \begin{bmatrix} 4&2&2\ 2&4&2\ 2&2&4 \end{bmatrix}， $$ 下列何者不是 $A$ 的特徵向量（eigenvector）？ (A) $$ \begin{bmatrix} 1\ 1\ 1 \end{bmatrix} $$ (B) $$ \begin{bmatrix} -1\ 0\ 1 \end{bmatrix} $$ (C) $$ \begin{bmatrix} -1\ 1\ 0 \end{bmatrix} $$ (D) $$ \begin{bmatrix} -1\ 1\ 1 \end{bmatrix} $$

Accepted Answer

核心觀念

非零向量 $\mathbf v$ 是矩陣 $A$ 的特徵向量，若存在純量 $\lambda$ 使得

A\mathbf v=\lambda\mathbf v。

也就是矩陣乘上該向量後，結果必須與原向量成比例。題目中的向量都非零，因此逐一檢查是否滿足此條件即可。

解題方法

矩陣各列的對角元素為 $4$ 、非對角元素為 $2$ 。計算 $A\mathbf v$ 時，每個分量可寫成

(A\mathbf v)_i=2(v_1+v_2+v_3)+2v_i。

因此，若向量分量總和為 $0$ ，則 $A\mathbf v=2\mathbf v$ ；若向量為 $[1,1,1]^T$ ，則 $A\mathbf v=8\mathbf v$ 。

選項分析

(A)

A\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8\\8\\8\end{bmatrix} = 8\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}。

結果是原向量的 $8$ 倍，故為特徵向量，特徵值為 $8$ 。

(B)

Answer

答案：D

Question 11

請計算 $\cos(2\pi i)$ 之值，其中 $i=\sqrt{-1}$： (A) $1$ (B) $i$ (C) $\cosh(2\pi)$ (D) $\dfrac{1}{2}\left(e^{-2\pi}-e^{2\pi}\right)$

Accepted Answer

核心觀念

本題考複數自變數的三角函數，以及雙曲函數與三角函數的關係。由指數定義可得：

\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

當 $z=ix$ （ $x$ 為實數）時， $iz=-x$ 、 $-iz=x$ ，因此

\cos(ix)=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\cosh x

解題方法

令 $z=2\pi i$ ，也就是 $x=2\pi$ 。代入上述關係：

\cos(2\pi i)=\cosh(2\pi) =\frac{e^{2\pi}+e^{-2\pi}}{2}

故選項 (C) 正確。

選項分析

Answer

答案：C

Question 12

求 $-1+4i$ 的極式（Polar form）？ (A) $-\sqrt{17}e^{i\left(\pi-	an^{-1}(4)ight)}$ (B) $\sqrt{17}e^{i\left(\pi-	an^{-1}(4)ight)}$ (C) $-\sqrt{17}e^{i\left(\pi-	an^{-1}(0.25)ight)}$ (D) $\sqrt{17}e^{i\left(\pi-	an^{-1}(0.25)ight)}$

Accepted Answer

核心觀念 複數 $z=a+bi$ 的極式為 $z=re^{i	heta}$，其中模長 $r=\sqrt{a^2+b^2}$，幅角 $	heta$ 由複數所在象限決定。幅角也可加上任意整數倍的 $2\pi$，而得到同一複數。 解題方法 對 $z=-1+4i$，實部為 $-1$、虛部為 $4$，因此位於第二象限。 模長為 $$ r=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}. $$ 參考角滿足 $$ 	an\alpha=\left|\frac{4}{-1}ight|=4, \qquad \alpha=	an^{-1}(4). $$ 第二象限的幅角為 $$ 	heta=\pi-\alpha=\pi-	an^{-1}(4). $$ 所以極式為 $$ -1+4i=\sqrt{17}\,e^{i\left(\pi-	an^{-1}(4)ight)}. $$

Answer

答案：B

Question 13

根據下圖所示之路徑 $C=C1+C2$，$z=x+yi$，試問線積分 $$ \intC\overline{z}\,dz $$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $1+\dfrac{\pi}{2}i$ (B) $1+\dfrac{\pi}{2}i$ (C) $1+\dfrac{5\pi}{2}i$ (D) $1+\dfrac{5\pi}{2}i$

Accepted Answer

核心觀念 複數線積分須依路徑方向計算。若 $z(t)=x(t)+iy(t)$，則 $$ \overline z\,dz=(x-iy)(dx+i\,dy) =(x\,dx+y\,dy)+i(x\,dy-y\,dx). $$ 本題的 $C1$ 是從 $i$ 到 $-1$ 的線段，$C2$ 是沿單位圓從 $1$ 到 $i$ 的四分之一圓弧；兩段皆依圖示箭頭方向積分。 解題方法 線段 $C1$ 取參數 $$ z(t)=-t+i(1-t),\qquad 0\le t\le1. $$ 此時 $x=-t,\ y=1-t,\ dx=dy=-dt$，因此 $$ \int{C1}\overline z\,dz =\int0^1\left[x\,dx+y\,dy+i(x\,dy-y\,dx)ight] =\int0^1(2t-1+i)\,dt=i. $$ 圓弧 $C2$ 位於單位圓上，令 $z=e^{i	heta}$，依方向從 $1$ 到 $i$，故 $0\le	heta\le\frac{\pi}{2}$。因為 $\overline z=e^{-i	heta}$ 且 $dz=i e^{i	heta}d	heta$，

Answer

答案：B

Question 14

給定一複數函數 $$ f(z)=x^2-y^2+i2\lvert xy\rvert， $$ 其中 $z=x+yi$，則下列何者正確？ (A) $f(z)$ 在 $x0$ 且 $y0$ 的範圍都是可解析（Analytic） (B) $f(z)$ 在 $x<0$ 且 $y<0$ 的範圍都是不可微分 (C) 當 $xy<0$ 時，$f(z)$ 是可解析（Analytic） (D) 當 $xy0$ 時，$f(z)$ 都是可微分且 $f'(z)=2x-i2y$

Accepted Answer

核心觀念 複變函數 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在區域內解析，須在該區域每一點複微分。若 $u,v$ 的一階偏導數連續，且滿足柯西－黎曼方程 $$ ux=vy,\qquad uy=-vx, $$ 則函數在該區域解析。 解題方法 由 $|xy|$ 的正負分段處理： - 當 $xy0$ 時，$|xy|=xy$，所以 $$ u=x^2-y^2,\qquad v=2xy. $$ 此時 $$ ux=2x,\quad uy=-2y,\quad vx=2y,\quad vy=2x. $$ 因此 $ux=vy$、$uy=-vx$，且偏導數連續，故在 $xy0$ 的區域解析。 - 當 $xy<0$ 時，$|xy|=-xy$，所以 $v=-2xy$。此時 $$ vx=-2y,\qquad vy=-2x. $$

Answer

答案：A

Question 15

$z1=4+3i$、$z2=2-5i$、$i=\sqrt{-1}$；則 $$ \overline{z1}\cdot z2 $$ 為何？（其中 $\overline{z}$ 表示 $z$ 的共軛複數） (A) $23+14i$ (B) $23-14i$ (C) $-23+14i$ (D) $-23-14i$

Accepted Answer

核心觀念 複數的共軛複數會將虛部變號：若 $z=a+bi$，則 $\overline{z}=a-bi$。複數相乘時，使用 $i^2=-1$ 展開並合併實部與虛部。 解題方法 題目給定 $z1=4+3i$，先取其共軛複數： $$ \overline{z1}=4-3i $$ 再與 $z2=2-5i$ 相乘： $$ \begin{aligned} \overline{z1}\cdot z2 &=(4-3i)(2-5i)\ &=8-20i-6i+15i^2\ &=8-26i-15\ &=-7-26i \end{aligned} $$ 計算結果為 $-7-26i$，與題目列出的四個選項皆不相符，因此官方答案 A 與題目所給數值不一致。依照複數乘法定義，本題的計算結果是 $-7-26i$。 選項分析

Answer

答案：A

Question 16

求下列微分方程式的特解： $$ xy'+y=\sin(x) $$ 且初始條件 $$ y\left(\frac{\pi}{3}\right)=0。 $$ (A) $xy=\dfrac{1}{2}+\cos(x)$ (B) $xy=\dfrac{1}{2}-\cos(x)$ (C) $xy=2-\cos(x)$ (D) $xy=2+\cos(x)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考一階線性微分方程，也可利用乘積微分公式直接辨認。因為 $$ (xy)'=xy'+y $$ 所以方程左側正好是乘積 $xy$ 的導數。 解題方法 原式為 $$ xy'+y=\sin x $$ 改寫成 $$ (xy)'=\sin x $$ 兩側對 $x$ 積分： $$ xy=-\cos x+C $$ 利用初始條件 $y\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$，代入 $x=\frac{\pi}{3}$： $$ 0=-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+C =-\frac{1}{2}+C $$ 因此 $C=\frac{1}{2}$，特解為 $$ xy=\frac{1}{2}-\cos x $$ 選項分析

Answer

答案：B

Question 17

已知微分方程式 $$ y''+3y'+2y=12x^2 $$ （其中 $y'=\dfrac{dy}{dx}$、$y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}$）的特殊解是 $$ y(x)=ax^2+bx+c， $$ $a$、$b$、$c$ 是常數，則下列敘述何者正確？ (A) $5<a+b+c<10$ (B) $0<a+b+c<5$ (C) $-5<a+b+c<0$ (D) $-10<a+b+c<-5$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查常係數線性微分方程式的特解。已知特解為二次多項式，將其代入原方程式，並比較左右兩側同次方項的係數，即可求出 $a,b,c$。 解題方法 設 $$ y=ax^2+bx+c $$ 則 $$ y'=2ax+b,\qquad y''=2a. $$ 代入微分方程式 $y''+3y'+2y=12x^2$： $$ 2a+3(2ax+b)+2(ax^2+bx+c)=12x^2. $$ 整理同次項： $$ 2ax^2+(6a+2b)x+(2a+3b+2c)=12x^2. $$ 比較 $x^2$、$x$ 與常數項係數，得到 $$ 2a=12,\qquad 6a+2b=0,\qquad 2a+3b+2c=0. $$

Answer

答案：A

Question 18

邊界條件設定為 $$ \phi(x,0)=x^4 $$ 之偏微分方程式 $$ \frac{\partial\phi}{\partial x} +\frac{1}{x}\frac{\partial\phi}{\partial y} -\frac{2y}{x}=0， $$ 其解為： (A) $\phi=y^2+x^4e^{-4y}$ (B) $\phi=y^4+x^2e^{-4y}$ (C) $\phi=y^2+x^2e^{-4x}$ (D) $\phi=y^2+x^4e^{-4x}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考一階偏微分方程的特徵線法。方程式中的 $\phix$、$\phiy$ 是 $\phi$ 對 $x$、$y$ 的偏導數；沿特徵曲線可把偏微分方程化為常微分方程，再利用邊界條件 $\phi(x,0)=x^4$ 決定解。 解題方法 原方程式乘以 $x$： $$ x\phix+\phiy=2y. $$ 特徵方程為 $$ \frac{dx}{ds}=x,\qquad \frac{dy}{ds}=1,\qquad \frac{d\phi}{ds}=2y. $$ 由 $\frac{dx}{dy}=x$ 得 $$ \frac{dx}{x}=dy \quad\Longrightarrow\quad xe^{-y}=C, $$ 所以特徵曲線上的 $xe^{-y}$ 為常數。再由 $\frac{d\phi}{dy}=2y$ 得 $$ \phi=y^2+F(xe^{-y}), $$ 其中 $F$ 為待定函數。代入邊界條件 $y=0$、$\phi(x,0)=x^4$： $$ F(x)=x^4. $$ 因此 $$ \phi(x,y)=y^2+(xe^{-y})^4 =y^2+x^4e^{-4y}. $$ 選項分析

Answer

答案：A

Question 19

求微分方程式 $$ y''-y'+x^2y=0 $$ 的級數解： (A) $$ a0\left(1-\frac{1}{12}x^4+\cdots\right) +a1\left(x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{24}x^4+\cdots\right)， $$ 其中 $a0$、$a1$ 為常數。 (B) $$ a0\left(x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{24}x^4+\cdots\right) +a1\left(x+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{6}x^4+\cdots\right)， $$ 其中 $a0$、$a1$ 為常數。 (C) $$ a0\left(1+\frac{1}{12}x^4+\cdots\right) +a1\left(x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{24}x^4+\cdots\right)， $$ 其中 $a0$、$a1$ 為常數。 (D) $$ a0\left(1-\frac{1}{12}x^4+\cdots\right) +a1\left(x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\cdots\right)， $$ 其中 $a0$、$a1$ 為常數。

Accepted Answer

核心觀念 本題考二階常微分方程在常點 $x=0$ 的冪級數解。令 $$ y=\sum{n=0}^{\infty}anx^n, $$ 則 $$ y'=\sum{n=1}^{\infty}nanx^{n-1},\qquad y''=\sum{n=2}^{\infty}n(n-1)anx^{n-2}. $$ 將各項改寫成同次方 $x^n$ 後，比較係數，即可求出級數係數的遞迴關係。由於方程為二階，$a0$、$a1$ 可自由指定，其餘係數由它們決定。 解題方法 方程為 $$ y''-y'+x^2y=0. $$ 代入冪級數，並把各項整理成 $x^n$ 的冪次： $$ \sum{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a{n+2}x^n -\sum{n=0}^{\infty}(n+1)a{n+1}x^n +\sum{n=2}^{\infty}a{n-2}x^n=0. $$ 對 $n=0,1$，因為最後一個級數尚未出現，分別有 $$ 2a2-a1=0,\qquad 6a3-2a2=0. $$ 因此 $$ a2=\frac{a1}{2},\qquad a3=\frac{a1}{6}. $$ 對 $n\ge 2$，比較 $x^n$ 係數得 $$ (n+2)(n+1)a{n+2}-(n+1)a{n+1}+a{n-2}=0, $$ 也就是 $$ a{n+2}=\frac{(n+1)a{n+1}-a{n-2}}{(n+2)(n+1)}. $$ 依序計算所需係數： $$ a2=\frac{a1}{2},\qquad a3=\frac{a1}{6}, $$ $$ a4=\frac{3a3-a0}{12} =\frac{a1}{24}-\frac{a0}{12}. $$ 所以解的前幾項為

Answer

答案：D

Question 20

定義函數 $f(t)$ 之拉普拉斯轉換（Laplace transform） $$ \mathcal{L}\{f(t)\}=\int0^\infty f(t)e^{-st}\,dt。 $$ 令 $$ \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{6s}{(s^2+5)^2}， $$ 則 $f(t)$ 為何？ (A) $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\cos\sqrt{5}t$ (B) $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\sin\sqrt{5}t$ (C) $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}t\cos\sqrt{5}t$ (D) $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}t\sin\sqrt{5}t$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查反拉普拉斯轉換及下列公式： $$ \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}, \qquad \mathcal{L}\{\sin at\}=\frac{a}{s^2+a^2}. $$ 由此可得： $$ \mathcal{L}\{t\sin at\} =-\frac{d}{ds}\left(\frac{a}{s^2+a^2}\right) =\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}. $$ 解題方法 題目給定 $$ \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{6s}{(s^2+5)^2}. $$ 比較分母可知 $a^2=5$，因此 $a=\sqrt{5}$。套用公式： $$ \mathcal{L}\{t\sin(\sqrt{5}t)\} =\frac{2\sqrt{5}s}{(s^2+5)^2}. $$ 將係數調整為題目所給的 $6s$： $$ \frac{6s}{(s^2+5)^2} =\frac{3}{\sqrt{5}}\, \mathcal{L}\{t\sin(\sqrt{5}t)\} =\mathcal{L}\left\{\frac{3}{\sqrt{5}}t\sin(\sqrt{5}t)\right\}. $$

Answer

答案：D

Question 21

設 $$ f(x)= \begin{cases} 1, & -2<x<2\ 0, & 	ext{其他} \end{cases} $$ 求其傅立葉轉換（Fourier transform）中 $$ \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx $$ 為何？ (A) $$ \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin 2\omega}{\omega} $$ (B) $$ \hat{f}(\omega)=\frac{\sin 2\omega}{\omega} $$ (C) $$ \hat{f}(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin 2\omega}{\omega} $$ (D) $$ \hat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\frac{\sin 2\omega}{\omega} $$

Accepted Answer

核心觀念 本題考傅立葉轉換的定義與對稱區間上的指數積分。題目採用的轉換定義為 $$ \hat f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx. $$ 由於 $f(x)$ 只在 $-2<x<2$ 時等於 $1$，積分只需計算該區間。又因為區間以 $0$ 為中心，積分中的奇函數部分會相消。 解題方法 將函數代入定義： $$ \hat f(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{-2}^{2}e^{-i\omega x}\,dx. $$ 利用 $e^{-i\omega x}=\cos(\omega x)-i\sin(\omega x)$，其中 $\sin(\omega x)$ 是奇函數，在 $[-2,2]$ 上的積分為 $0$，因此 $$ \hat f(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{-2}^{2}\cos(\omega x)\,dx. $$ 當 $\omega
e 0$ 時，

Answer

答案：C

Question 22

令 $Z$ 為一標準常態分布隨機變數（standard normal random variable），其機率密度函數（probability density function）為 $$ f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}， \qquad -\infty<z<\infty。 $$ 試求 $Y=\lvert Z\rvert$ 之機率密度函數： (A) $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}， \qquad 0<y<\infty $$ (B) $$ \sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-y^2/2}， \qquad 0<y<\infty $$ (C) $$ 2ye^{-y^2}， \qquad 0<y<\infty $$ (D) $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-3/2}e^{-1/(2y)}， \qquad 0<y<\infty $$

Accepted Answer

核心觀念 令 $Y=\lvert Zvert$，則 $Y$ 只能取非負值。當 $y0$ 時，$Y=y$ 對應到 $Z=y$ 與 $Z=-y$ 兩個位置，因此絕對值轉換後的密度須將兩側的機率密度相加。 一般而言，若隨機變數轉換 $Y=g(Z)$ 在某個 $y$ 對應多個反函數根 $zi$，則 $$ fY(y)=\sumi fZ(zi)\left|\frac{dzi}{dy}ight|. $$ 解題方法 對 $y0$，方程 $\lvert zvert=y$ 的兩個解為 $z=y$ 和 $z=-y$，且兩支反函數的導數絕對值皆為 $1$。因此 $$ \begin{aligned} fY(y) &=fZ(y)\left|\frac{d y}{dy}ight| +fZ(-y)\left|\frac{d(-y)}{dy}ight|\ &=fZ(y)+fZ(-y). \end{aligned} $$ 標準常態密度關於 $0$ 對稱，所以 $fZ(-y)=fZ(y)$。代入題目給定的密度：

Answer

答案：B

Question 23

給定一個隨機變數 $X$，其累積分布函數（cumulative distribution function）為 $$ F(x)= \begin{cases} 0, & x<0\ \dfrac{2}{7}, & 0\leq x<1\ \dfrac{6}{7}, & 1\leq x<2\ 1, & x\geq 2 \end{cases} $$ 試求機率 $$ P(0<X\leq 2) $$ 為何？ (A) $\dfrac{2}{7}$ (B) $\dfrac{4}{7}$ (C) $\dfrac{5}{7}$ (D) $\dfrac{6}{7}$

Accepted Answer

核心觀念 累積分布函數定義為 $F(x)=P(X\leq x)$。因此，若要計算 $P(a<X\leq b)$，可用 $$ P(a<X\leq b)=F(b)-F(a). $$ 此公式也反映了端點是否包含：$F(a)$ 已包含 $X=a$ 的機率，故相減後會排除該點。 解題方法 由題目給定的分段函數： - $F(0)=\dfrac{2}{7}$，所以 $P(X\leq 0)=\dfrac{2}{7}$。 - $F(2)=1$，所以 $P(X\leq 2)=1$。 因此， $$ P(0<X\leq 2)=F(2)-F(0) =1-\frac{2}{7} =\frac{5}{7}. $$ 也可由分布函數的跳躍量看出：$X=1$ 的機率為 $\dfrac{6}{7}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{4}{7}$，$X=2$ 的機率為 $1-\dfrac{6}{7}=\dfrac{1}{7}$；兩者相加為 $\dfrac{5}{7}$。

Answer

答案：C

Question 24

令 $X1,X2,\ldots,Xn$ 為獨立隨機變數，$a1,a2,\ldots,an$ 為任意實數，下列何者錯誤？ (A) $$ E\left[\sum{i=1}^{n}aiXi\right] =\sum{i=1}^{n}aiE[Xi] $$ (B) $$ \operatorname{Var}\left(\sum{i=1}^{n}aiXi\right) =\sum{i=1}^{n}ai\operatorname{Var}(Xi) $$ (C) $$ \operatorname{Cov}\left(\sum{i=1}^{n}aiXi,\sum{j=1}^{n}ajXj\right) =\sum{i=1}^{n}ai^2\operatorname{Var}(Xi) $$ (D) $$ \sum{i=1}^{n}\sum{j=1}^{n} \operatorname{Cov}(aiXi,ajXj) =\sum{i=1}^{n}ai^2\operatorname{Var}(Xi) $$

Accepted Answer

核心觀念 本題考期望值、變異數與共變異數的線性性質，以及獨立隨機變數之間的共變異數為零。 令 $$ S=\sum{i=1}^{n}aiXi. $$ 期望值具有線性性；變異數則須使用 $$ \operatorname{Var}(S) =\sum{i=1}^{n}ai^2\operatorname{Var}(Xi) +2\sum{1\le i<j\le n}ai aj\operatorname{Cov}(Xi,Xj). $$ 由於 $X1,\ldots,Xn$ 相互獨立，當 $i
e j$ 時，$\operatorname{Cov}(Xi,Xj)=0$，因此 $$ \operatorname{Var}(S)=\sum{i=1}^{n}ai^2\operatorname{Var}(Xi). $$ 解題方法 先辨認各選項使用的是哪一項性質，再特別檢查變異數公式中的係數：常數 $ai$ 乘上隨機變數後，變異數會乘上 $ai^2$，不是 $ai$。這是本題的關鍵。 選項分析 (A) 正確。 期望值具有線性性，不需要隨機變數相互獨立： $$ E\left[\sum{i=1}^{n}aiXiight] =\sum{i=1}^{n}E[aiXi] =\sum{i=1}^{n}aiE[Xi]. $$ (B) 錯誤。 變異數的縮放性質為 $$ \operatorname{Var}(aiXi)=ai^2\operatorname{Var}(Xi). $$ 又因為各 $Xi$ 獨立，其間共變異數為零，所以

Answer

答案：B

108 鐵路特考高員三級 電力工程 工程數學 考古題詳解

第 一 題10 分

核心觀念

解題方法

詳細計算步驟：

第 二 題10 分

核心觀念

解題方法

(一) 求 f(z)f(z)f(z) 的麥克勞林級數展開式

(二) 求收斂半徑

第 三 題15 分

核心觀念

解題方法

方法一：逐次微分法（泰勒展開法，推薦考場首選）

第 四 題15 分

核心觀念

解題方法

(一) 求 YYY 的期望值 E[Y]E[Y]E[Y]

(二) 求 Y2Y^2Y2 的期望值 E[Y2]E[Y^2]E[Y2]

第 1 題2 分

第 2 題2 分

第 3 題2 分

核心觀念

解題方法

第 4 題2 分

核心觀念

解題方法

第 5 題2 分

第 6 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 7 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 8 題2 分

核心觀念

解題方法

第 9 題2 分

核心觀念

解題方法

第 10 題2 分

第 11 題2 分

第 12 題2 分

第 13 題2 分

第 14 題2 分

第 15 題2 分

核心觀念

解題方法

第 16 題2 分

第 17 題2 分

核心觀念

解題方法

第 18 題2 分

核心觀念

解題方法

第 19 題2 分

第 20 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

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第一題10 分

第二題10 分

(一) 求 $f(z)$ 的麥克勞林級數展開式

第三題15 分

第四題15 分

(一) 求 $Y$ 的期望值 $E[Y]$

(二) 求 $Y^2$ 的期望值 $E[Y^2]$