109 鐵路特考高員三級 電力工程 電路學 考古題詳解

109 年・鐵路特考・高員三級・電力工程
試題代碼 電路學

第 一 題20 分

在圖一電路中，有兩個平衡負載連接到 240-kVrms240\text{-kV}_{\mathrm{rms}}、60-Hz60\text{-Hz} 三相電源，試求出這個組合負載之總複數功率（total complex power）SS 與總線電流（total line current）。

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圖一所示負載資料：

  • Balanced Load 1：P1=30 kWP_1=30\ \mathrm{kW}，pf=0.6\mathrm{pf}=0.6
  • Balanced Load 2：Q2=45 kVARQ_2=45\ \mathrm{kVAR}，pf=0.8\mathrm{pf}=0.8
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核心觀念

平衡三相負載的複數功率可相加：

S總=P總+jQ總S_{\text{總}}=P_{\text{總}}+jQ_{\text{總}}

其中 PP 為實功率、QQ 為虛功率；感性負載的 QQ 取正。三相線電流大小則由

∣S總∣=3 VLIL|S_{\text{總}}|=\sqrt{3}\,V_L I_L

求得，VLV_L 為線電壓，ILI_L 為線電流。

解題方法

依一般負載功率因數慣例，將未標示超前或落後的負載 1 視為感性、落後功率因數。負載 1 的視在功率為

∣S1∣=P1pf1=300.6=50 kVA|S_1|=\frac{P_1}{\mathrm{pf}_1} =\frac{30}{0.6}=50\ \mathrm{kVA}

因此其虛功率為

Q1=∣S1∣2−P12=502−302=40 kVARQ_1=\sqrt{|S_1|^2-P_1^2} =\sqrt{50^2-30^2}=40\ \mathrm{kVAR}

故 S1=30+j40 kVAS_1=30+j40\ \mathrm{kVA}。

負載 2 已知 Q2=45 kVARQ_2=45\ \mathrm{kVAR}、pf2=0.8\mathrm{pf}_2=0.8。由 sin⁡ϕ2=1−0.82=0.6\sin\phi_2=\sqrt{1-0.8^2}=0.6，可得

∣S2∣=Q2sin⁡ϕ2=450.6=75 kVA|S_2|=\frac{Q_2}{\sin\phi_2} =\frac{45}{0.6}=75\ \mathrm{kVA} P2=∣S2∣pf2=75(0.8)=60 kWP_2=|S_2|\mathrm{pf}_2=75(0.8)=60\ \mathrm{kW}

故 S2=60+j45 kVAS_2=60+j45\ \mathrm{kVA}。

相加得到總複數功率：

S總=S1+S2=(30+60)+j(40+45)=90+j85 kVAS_{\text{總}}=S_1+S_2 =(30+60)+j(40+45) =\boxed{90+j85\ \mathrm{kVA}}
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第 二 題20 分

在圖二電路中，ZLZ_L 為多少時，可以獲得最大功率轉移，其最大功率為多少？

電路包含一個電流源 5∠90∘ A5\angle90^\circ\ \mathrm{A}，以及由下列阻抗組成的橋式電路：

  • 左上支路：30 Ω30\ \Omega
  • 左下支路：j20 Ωj20\ \Omega
  • 右上支路：−j10 Ω-j10\ \Omega
  • 右下支路：40 Ω40\ \Omega
  • 橋接中間負載：ZLZ_L

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核心觀念

交流電路的最大平均功率轉移條件為負載阻抗等於負載端戴維寧阻抗的共軛：

ZL=Zth∗Z_L=Z_{\mathrm{th}}^*

先求橋接負載端的戴維寧等效電壓 VthV_{\mathrm{th}} 與阻抗 ZthZ_{\mathrm{th}}，再代入最大功率公式：

Pmax⁡=∣Vth∣24RthP_{\max}=\frac{|V_{\mathrm{th}}|^2}{4R_{\mathrm{th}}}

以下相量以有效值表示。

解題方法

一、求開路電壓 VthV_{\mathrm{th}}

先將 ZLZ_L 開路。上、下端之間有兩條串聯支路：

Z1=30+j20,Z2=40−j10Z_1=30+j20,\qquad Z_2=40-j10

電流源兩端電壓為

VTB=5∠90∘ (Z1∥Z2)V_{TB}=5\angle 90^\circ\,(Z_1\parallel Z_2)

其中

Z1∥Z2=(30+j20)(40−j10)(30+j20)+(40−j10)=1400+j50070+j10=20.6+j4.2 ΩZ_1\parallel Z_2 =\frac{(30+j20)(40-j10)}{(30+j20)+(40-j10)} =\frac{1400+j500}{70+j10} =20.6+j4.2\ \Omega

因此

VTB=j5(20.6+j4.2)=−21+j103 VV_{TB}=j5(20.6+j4.2)=-21+j103\ \mathrm V

左側中點電壓以底端為參考，等於左下阻抗上的電壓；右側中點電壓則等於右下阻抗上的電壓：

VL=VTBj2030+j20=VTB10+j613V_L=V_{TB}\frac{j20}{30+j20} =V_{TB}\frac{10+j6}{13} VR=VTB4040−j10=VTB40+j1041V_R=V_{TB}\frac{40}{40-j10} =V_{TB}\frac{40+j10}{41}

取左中點對右中點的開路電壓：

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第 三 題20 分

在圖三的理想運算放大器電路中，試求出輸出電壓 vov_o。

電路條件如下：

  • 輸入電壓為 50 mV50\ \mathrm{mV}。
  • 輸入端右側接地。
  • 上方分壓支路由 10 kΩ10\ \mathrm{k}\Omega 與 20 kΩ20\ \mathrm{k}\Omega 組成，中間節點為 v1v_1。
  • 下方分壓支路由 50 kΩ50\ \mathrm{k}\Omega 與 100 kΩ100\ \mathrm{k}\Omega 組成，中間節點為 v2v_2。
  • v1v_1 經由 20 kΩ20\ \mathrm{k}\Omega 電阻連接至運算放大器反相輸入端。
  • 輸出端 vov_o 經由 80 kΩ80\ \mathrm{k}\Omega 電阻回授至反相輸入端。
  • v2v_2 經由 20 kΩ20\ \mathrm{k}\Omega 電阻連接至運算放大器非反相輸入端。
  • 非反相輸入端經由 80 kΩ80\ \mathrm{k}\Omega 電阻接地。

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核心觀念

本題考理想運算放大器的負回授與節點分析。理想運放在負回授正常工作時，兩輸入端電壓相等，且輸入電流為零：

v−=v+,i−=i+=0v_-=v_+,\qquad i_-=i_+=0

注意 v1v_1、v2v_2 分壓支路分別透過電阻接到運放電路，因此不能直接把它們視為未受負載的分壓器。

解題方法

先由非反相端求出 v+v_+。由 v2v_2 到地的支路是 20 kΩ20\,\mathrm{k}\Omega 與 80 kΩ80\,\mathrm{k}\Omega 串聯，因此：

v+=8020+80v2=0.8v2v_+=\frac{80}{20+80}v_2=0.8v_2

在 v2v_2 節點套用 KCL，電阻值以 kΩ\mathrm{k}\Omega 表示：

v2−5050+v2100+v2−v+20=0\frac{v_2-50}{50}+\frac{v_2}{100}+\frac{v_2-v_+}{20}=0

代入 v+=0.8v2v_+=0.8v_2：

v2−5050+v2100+0.2v220=0\frac{v_2-50}{50}+\frac{v_2}{100}+\frac{0.2v_2}{20}=0

解得：

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第 四 題20 分

在圖四的線性變壓器電路中，試求圖四(b)等效 TT 電路之 (La,Lb,Lc)(L_a,L_b,L_c) 與圖四(c)等效 π\pi 電路之 (LA,LB,LC)(L_A,L_B,L_C)，其中等效 TT 電路之關係為

V=[M]I\mathbf{V}=[M]\mathbf{I}

等效 π\pi 電路之關係為

I=[M]V\mathbf{I}=[M]\mathbf{V}

圖四(a)為具有互感 MM 的兩線圈電路，線圈自感分別為 L1L_1 與 L2L_2，兩線圈之極性標記如原圖所示。

圖四(b)為等效 TT 電路，參數為：

  • 左側串聯元件：LaL_a
  • 右側串聯元件：LbL_b
  • 中間並聯元件：LcL_c

圖四(c)為等效 π\pi 電路，參數為：

  • 左側並聯元件：LAL_A
  • 右側並聯元件：LBL_B
  • 中間串聯元件：LCL_C

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核心觀念

本題考線性變壓器的互感電壓與二埠等效。圖四(a)兩線圈的點標記都在上端，且 I1、I2I_1、I_2 都流入有點端，因此互感項為正：

[V1V2]=s[L1MML2][I1I2]\begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix} =s \begin{bmatrix} L_1&M\\ M&L_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix}

其中 ss 為拉氏變數；在正弦穩態中可令 s=jωs=j\omega。

解題方法

先將圖四(b)的 T 電路寫成二埠阻抗矩陣。左、右串聯支路分別為 La、LbL_a、L_b，中間支路為 LcL_c，所以：

[V1V2]=s[La+LcLcLcLb+Lc][I1I2]\begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix} =s \begin{bmatrix} L_a+L_c&L_c\\ L_c&L_b+L_c \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix}

與原電路的矩陣逐項比較，可得：

Lc=M,La+Lc=L1,Lb+Lc=L2L_c=M,\qquad L_a+L_c=L_1,\qquad L_b+L_c=L_2

因此：

La=L1−M,Lb=L2−M,Lc=ML_a=L_1-M,\qquad L_b=L_2-M,\qquad L_c=M

再求圖四(c)的 π\pi 電路。令

D=L1L2−M2D=L_1L_2-M^2

由原電路的電感矩陣取反矩陣，可得端口導納關係：

[I1I2]=1sD[L2−M−ML1][V1V2]\begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix} =\frac{1}{sD} \begin{bmatrix} L_2&-M\\ -M&L_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix}
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第 五 題20 分

在圖五的電路中，試求出 t>0t>0 時的 i1i_1 與 i2i_2。

電路條件如下：

  • 電壓源為 20u(t) V20u(t)\ \mathrm{V}。
  • 電壓源經由 4 Ω4\ \Omega 電阻連接至節點 v1v_1。
  • 節點 v1v_1 以向下電流 i1i_1 通過一個 2 H2\ \mathrm{H} 電感接地。
  • 節點 v1v_1 經由 6 Ω6\ \Omega 電阻連接至節點 v2v_2。
  • 節點 v2v_2 以向下電流 i2i_2 通過一個 2 H2\ \mathrm{H} 電感接地。

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核心觀念

本題考查串聯電阻與並聯電感支路的暫態分析。假設 t<0t<0 電路未儲能，故兩個電感的初始電流皆為零；在拉氏域中，2 H2\,\mathrm H 電感的阻抗為 2s Ω2s\,\Omega。電感支路電流與節點電壓的關係為 I(s)=V(s)/(2s)I(s)=V(s)/(2s)。

解題方法

電壓源 20u(t) V20u(t)\,\mathrm V 的拉氏轉換為 Vs(s)=20/sV_s(s)=20/s。對節點 v1v_1、v2v_2 寫 KCL：

Vs−V14=V12s+V1−V26\frac{V_s-V_1}{4} = \frac{V_1}{2s}+\frac{V_1-V_2}{6} V1−V26=V22s\frac{V_1-V_2}{6} = \frac{V_2}{2s}

由第二式得：

V1=s+3sV2V_1=\frac{s+3}{s}V_2

將此關係代入第一式，可得：

3sVs=3(s+1)(s+6)sV23sV_s=\frac{3(s+1)(s+6)}{s}V_2

因此：

V2(s)=20s(s+1)(s+6)V_2(s)=\frac{20s}{(s+1)(s+6)} V1(s)=20(s+3)(s+1)(s+6)V_1(s)=\frac{20(s+3)}{(s+1)(s+6)}

兩電感的電流分別為：

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