107 鐵路特考員級 建築工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題屬於平面平行力系的靜力平衡問題，主要評量以下核心觀念與公式：

1. 靜力平衡方程式： 平面平行力系滿足兩組獨立平衡方程式：

• 垂直方向力平衡：$\sum F_y = 0$
• 任意點之力矩平衡：$\sum M = 0$

2. 線性分布載重（梯形載重）之等效合力與作用位置： 長度為 $L$、左端強度為 $w_1$、右端強度為 $w_2$ 之線性分布載重，其合力大小即為梯形面積： $R = \frac{w_1 + w_2}{2} L$ 計算其對端點之力矩時，可將梯形分割為兩個底長為 $L$ 的三角形分布載重，利用三角形形心距鈍角端（高處）$\frac{L}{3}$、距銳角端（零處）$\frac{2L}{3}$ 之幾何特性直接化簡取矩，免除逐次積分之繁複計算。

解題方法

以樑之左端為坐標原點 $O$（$x = 0$），樑長 $L = 12\,\mathrm{m}$：

• 向下集中載重：$P_1 = 3\,\mathrm{kN}$ 位於 $x = 4\,\mathrm{m}$；$P_2 = 6\,\mathrm{kN}$ 位於 $x = 8\,\mathrm{m}$。
• 向上支撐反力：線性分布載重 $w(x)$，左端 $x = 0$ 處強度為 $w_1$，右端 $x = 12\,\mathrm{m}$ 處強度為 $w_2$。

步驟一：外力（向下）合力與對左端力矩

1. 向下總作用力： $\sum P_{\text{下}} = 3 + 6 = 9\,\mathrm{kN}$
2. 向下外力對左端點 $O$ 之順時針力矩： $\sum M_{O,\text{下}} = P_1 \times 4 + P_2 \times 8 = 3 \times 4 + 6 \times 8 = 12 + 48 = 60\,\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$

步驟二：基礎反力（向上）等效分析

將基礎反力梯形拆解為兩個三角形分布載重：

1. 三角形一（左高 $w_1$，右端為 $0$）：

• 等效合力：$R_1 = \frac{1}{2} \times 12 \times w_1 = 6w_1$
• 形心距左端：$\bar{x}_1 = \frac{1}{3} \times 12 = 4\,\mathrm{m}$
• 對左端 $O$ 之逆時針力矩：$M_{O,1} = R_1 \times \bar{x}_1 = (6w_1) \times 4 = 24w_1$

2. 三角形二（左端為 $0$，右高 $w_2$）：

• 等效合力：$R_2 = \frac{1}{2} \times 12 \times w_2 = 6w_2$
• 形心距左端：$\bar{x}_2 = \frac{2}{3} \times 12 = 8\,\mathrm{m}$
• 對左端 $O$ 之逆時針力矩：$M_{O,2} = R_2 \times \bar{x}_2 = (6w_2) \times 8 = 48w_2$

步驟三：列立平衡方程式求解

1. 依垂直力平衡 $\sum F_y = 0$（向上合力等於向下合力）： $R_1 + R_2 = \sum P_{\text{下}}$

核心觀念

本題評量平面靜定桁架（Plane Determinant Truss）之內力分析，主要運用以下觀念與力學平衡方程式：

1. 節點法（Method of Joints）：任一處於平衡狀態之桁架，其內部各節點亦必處於共點力系（Concurrent Force System）之靜力平衡，滿足獨立平衡方程式： $\Sigma F_x = 0, \quad \Sigma F_y = 0$
2. 桿件內力性質判定：以拉力為正（Tension，箭頭背離節點）、壓力為負（Compression，箭頭指向節點）。若推導得負值，即代表該構件承受壓縮力。
3. 幾何幾何斜率與方向餘弦：桁架水平間距 $\Delta x = 2\,\mathrm{m}$，垂直間距 $\Delta y = 1.5\,\mathrm{m}$，斜構件長度為： $L = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = 2.5\,\mathrm{m}$ 構成標準 $3:4:5$ 直角三角形，其水平與垂直分力比值分別為： $\cos\theta = \frac{2}{2.5} = \frac{4}{5} = 0.8, \quad \sin\theta = \frac{1.5}{2.5} = \frac{3}{5} = 0.6$

解題方法

本題為懸臂桁架（Cantilever Truss），自由端位於右側端部。端部幾何配置為：頂部節點 $D$、底部節點 $E$、相鄰內側節點為頂部節點 $G$ 與底部節點 $H$。斜構件 $EG$ 由節點 $E$ 往左上方延伸至節點 $G$。

分析懸臂桁架時，自自由端（右側）向固定端逐步推算，完全無需先行求解左側支承反力，亦不受左側節點 $B$（$50\,\mathrm{kN}$ 向右）、節點 $C$（$20\,\mathrm{kN}$ 向右）水平外力之干擾，步驟最簡且不易出錯。

步驟一：分析節點 $D$（求構件 $ED$ 之力）

節點 $D$ 上僅連接水平上弦桿 $GD$、垂直桿 $ED$，並承受外加垂直向下集中載重 $60\,\mathrm{kN}$。 假設桿件受力皆為張力（背離節點）： 取垂直方向靜力平衡： $\Sigma F_y = 0 \implies -F_{ED} - 60 = 0$ $F_{ED} = -60\,\mathrm{kN}$ 負號代表受壓，故構件 $ED$ 所受之力為 $60\,\mathrm{kN}$ 壓縮力（Compression）。 （註：取水平方向平衡 $\Sigma F_x = 0 \implies -F_{GD} = 0$，即 $GD$ 為零力構件）。

步驟二：分析節點 $E$（求構件 $EG$ 與 $EH$ 之力）

節點 $E$ 連接垂直桿 $ED$、水平下弦桿 $EH$ 與斜向構件 $EG$，並承受垂直向下外力 $30\,\mathrm{kN}$。

• 構件 $ED$ 為壓力 $60\,\mathrm{kN}$，對節點 $E$ 施加向下壓力 $60\,\mathrm{kN}$。
• 構件 $EG$ 往左上方傾斜，水平夾角為 $\theta$（$\sin\theta = 0.6, \cos\theta = 0.8$）。

設 $F_{EG}$ 與 $F_{EH}$ 均為張力，取垂直方向平衡： $\Sigma F_y = 0 \implies F_{EG}\sin\theta + F_{ED} - 30 = 0$ 代入 $F_{ED} = -60\,\mathrm{kN}$ 及 $\sin\theta = 0.6$：

核心觀念

本題考查靜定組合梁（Compound Beam with Internal Hinge）的靜力平衡分析及內力圖繪製，涵蓋以下核心力學觀念與公式：

1. 組合梁之拆解原則（靜定結構判別）：

• 含有內部中間鉸（Internal Hinge，如 $B$ 點）的結構，鉸接處彎矩必為零（$M_B = 0$），但可傳遞剪力（垂直力）與軸力。
• 解題順序為「先附屬梁、後主梁」：先分析自身可獨立維持靜力平衡的附屬梁段（$BCD$ 段，外伸梁），求出鉸接處傳遞力；再反向代入無法獨立平衡之主梁段（$AB$ 段，懸臂梁），進而解出固定端反力。

2. 靜力平衡方程式： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M_o = 0$
3. 載重、剪力與彎矩之微分關係及符號慣例：

• 符號慣例：剪力 $V$ 以微元「左上右下」為正；彎矩 $M$ 以使梁「下側受拉、上側受壓（微笑彎矩 Sagging）」為正。
• 微分與積分關係： $\frac{dV(x)}{dx} = -w(x) \implies V(x) = V(x_0) - \int_{x_0}^x w(x)\,dx$ $\frac{dM(x)}{dx} = V(x) \implies M(x) = M(x_0) + \int_{x_0}^x V(x)\,dx$
• 集中載重處剪力產生突變（$\Delta V = P$）；集中力矩處彎矩產生突變（順時針力矩使彎矩圖產生突變值）。

解題方法

題目文字未標記 $16\,\mathrm{kN\cdot m}$ 集中力矩之確切作用位置與轉向，依原卷圖示慣例，該集中力矩作用於滾承支撐 $C$ 點且為順時針方向。以下依「先附屬梁 $BCD$、後主梁 $AB$」之步驟進行分析：

步驟一：分析附屬梁 $BCD$ 段並求解滾承支撐反力 $R_C$

將梁於 $B$ 點鉸接處切開，取 $BCD$ 段為隔離體：

• $B$ 點為鉸接，設內部垂直作用力為 $B_y$（假設方向向上）。
• $C$ 點為滾承支撐，設支撐垂直反力為 $R_C$（假設方向向上）。
• $C$ 點作用順時針集中力矩 $M_C = 16\,\mathrm{kN\cdot m}$。
• $D$ 點承受向下集中載重 $P = 6\,\mathrm{kN}$。
• 長度：$L_{BC} = 2\,\mathrm{m}$，$L_{CD} = 2\,\mathrm{m}$。

對 $C$ 點取力矩平衡（取逆時針為正）： $\sum M_C = 0 \implies -B_y \times 2 - 16 - 6 \times 2 = 0$ $-2B_y - 28 = 0 \implies B_y = -14\,\mathrm{kN}$ 負號表示 $B_y$ 實際方向為向下（即 $BCD$ 段在 $B$ 點受力向下 $14\,\mathrm{kN}$）。

由 $y$ 方向力平衡求 $R_C$： $\sum F_y = 0 \implies B_y + R_C - 6 = 0 \implies -14 + R_C - 6 = 0 \implies R_C = 20\,\mathrm{kN} \ (\uparrow)$

步驟二：分析主梁 $AB$ 段並求解固定端 $A$ 點反力

取 $AB$ 段為隔離體：

• 依牛頓第三運動定律（作用力與反作用力），$B$ 點受來自 $BCD$ 段傳來之力，方向與 $B_y$ 相反，為向上 $14\,\mathrm{kN}$。
• $AB$ 段承受三角形分布載重，載重強度函數以 $A$ 點為原點（$x=0$ 至 $x=4\,\mathrm{m}$）： $w(x) = \frac{8}{4}x = 2x\,\mathrm{kN/m}$ 三角形載重合力 $W = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16\,\mathrm{kN}$（$\downarrow$），作用於形心處，距 $A$ 點距離為 $\frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}\,\mathrm{m}$。
• 設固定端 $A$ 點之反力為向上垂直反力 $V_A$ 及固定端反力矩 $M_A$（設逆時針為正）。

由 $y$ 方向力平衡求 $V_A$： $\sum F_y = 0 \implies V_A - W + 14 = 0 \implies V_A - 16 + 14 = 0 \implies V_A = 2\,\mathrm{kN} \ (\uparrow)$

對 $A$ 點取力矩平衡求 $M_A$（取逆時針為正）： $\sum M_A = 0 \implies M_A - W \times \frac{8}{3} + 14 \times 4 = 0$ $M_A - 16 \times \frac{8}{3} + 56 = 0 \implies M_A - \frac{128}{3} + \frac{168}{3} = 0$ $M_A + \frac{40}{3} = 0 \implies M_A = -\frac{40}{3}\,\mathrm{kN\cdot m} \approx -13.33\,\mathrm{kN\cdot m}$ 負號表示 $A$ 端固定端反力矩為順時針方向，大小為 $\frac{40}{3}\,\mathrm{kN\cdot m}$（$\curvearrowright$）。此順時針端力矩作用於梁之左端面，使梁下側受拉，對梁斷面而言為正彎矩 $M(0) = +\frac{40}{3}\,\mathrm{kN\cdot m}$。

步驟三：推導內力函數並繪製剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD）

以 $A$ 點為原點（$x=0$），向右為正（$x$ 軸）：

1. $AB$ 段（$0 \le x \le 4\,\mathrm{m}$）：

• 剪力函數： $V(x) = V_A - \int_0^x 2\xi\,d\xi = 2 - x^2\,\mathrm{kN}$
• $x = 0\,\mathrm{m}$（$A$ 點）：$V = +2\,\mathrm{kN}$
• 剪力為零之斷面：$2 - x^2 = 0 \implies x = \sqrt{2} \approx 1.414\,\mathrm{m}$
• $x = 4^-\,\mathrm{m}$（$B$ 點左側）：$V = 2 - 4^2 = -14\,\mathrm{kN}$
• 曲線形狀：開口向下之二次拋物線。
• 彎矩函數： $M(x) = M(0) + \int_0^x (2 - \xi^2)\,d\xi = \frac{40}{3} + 2x - \frac{x^3}{3}\,\mathrm{kN\cdot m}$
• $x = 0\,\mathrm{m}$（$A$ 點）：$M = +\frac{40}{3}\,\mathrm{kN\cdot m} \approx +13.33\,\mathrm{kN\cdot m}$
• 最大彎矩發生在 $V=0$ 處（$x = \sqrt{2}\,\mathrm{m}$）： $M_{\max} = \frac{40}{3} + 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{40 + 4\sqrt{2}}{3} \approx +15.22\,\mathrm{kN\cdot m}$
• $x = 4\,\mathrm{m}$（$B$ 點鉸接處）：

核心觀念

本題屬於平面截面幾何性質之典型題型，主要測驗以下兩大核心觀念：

1. 組合截面之形心位置（Centroid）： 依據面積一次矩（First Moment of Area）原理，形心高度 $\bar{y}$ 之計算公式為： $\bar{y} = \frac{Q_x}{A} = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$ 其中 $A_i$ 為各分割矩形之截面積，$y_i$ 為各分塊形心至基準參考軸 $x$ 之垂直距離，$A = \sum A_i$ 為截面總面積。
2. 平行軸定理與形心慣性矩（Parallel-Axis Theorem & Moment of Inertia）： 矩形對自身形心軸之慣性矩為 $\bar{I} = \frac{1}{12} b h^3$（$b$ 為平行於轉動軸之寬度，$h$ 為垂直於轉動軸之厚度或高度）。由平行軸定理，各塊面積對截面形心軸 $x'$ 之慣性矩為： $I_{x'} = \sum \left( \bar{I}_{xi} + A_i d_i^2 \right)$ 其中 $d_i = |y_i - \bar{y}|$ 為各分塊形心至整體截面形心軸 $x'$ 之垂直距離。

解題方法

將此對稱組合截面拆解為四個互不重疊的矩形板件：

• 板件 1（水平板）： 總寬度 $b_1 = 5 + 2.5 + 7.5 + 7.5 + 2.5 + 5 = 30\,\mathrm{cm}$，厚度 $h_1 = 2.5\,\mathrm{cm}$。 面積 $A_1 = 30 \times 2.5 = 75\,\mathrm{cm}^2$。
• 板件 2、板件 3（左右兩個向上垂直板）： 各板寬度 $b_2 = b_3 = 2.5\,\mathrm{cm}$，高度 $h_2 = h_3 = 10\,\mathrm{cm}$。 面積 $A_2 = A_3 = 2.5 \times 10 = 25\,\mathrm{cm}^2$（兩者合計 $A_{23} = 50\,\mathrm{cm}^2$）。
• 板件 4（中央向下垂直板）： 板寬度 $b_4 = 2.5\,\mathrm{cm}$，長度（高度）$h_4 = 10\,\mathrm{cm}$。 面積 $A_4 = 2.5 \times 10 = 25\,\mathrm{cm}^2$。

截面總面積： $A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 75 + 25 + 25 + 25 = 150\,\mathrm{cm}^2$

步驟一：求形心位置 $\bar{y}$

以截面最底端（即中央向下垂直板底邊，設為參考軸 $x$ 所在水平線）建立坐標系，令 $y = 0$ 位於最底端：

1. 板件 4 形心高度：$y_4 = \frac{10}{2} = 5\,\mathrm{cm}$
2. 板件 1 形心高度：$y_1 = 10 + \frac{2.5}{2} = 11.25\,\mathrm{cm}$
3. 板件 2 與 3 形心高度：$y_2 = y_3 = 10 + 2.5 + \frac{10}{2} = 17.5\,\mathrm{cm}$

計算各板件對底端 $x$ 軸之面積一次矩： $\sum A_i y_i = A_4 y_4 + A_1 y_1 + (A_2 + A_3) y_2$ $\sum A_i y_i = (25 \times 5) + (75 \times 11.25) + (50 \times 17.5) = 125 + 843.75 + 875 = 1843.75\,\mathrm{cm}^3$

整體截面形心 $\bar{y}$： $\bar{y} = \frac{1843.75}{150} = \frac{295}{24}\,\mathrm{cm} \approx 12.29\,\mathrm{cm}$ 註：若題目原圖中之參考軸 $x$ 係標設於「水平板之底面」，則形心距離該軸為： $\bar{y} = 12.2917 - 10 = 2.2917\,\mathrm{cm} = \frac{55}{24}\,\mathrm{cm} \approx 2.29\,\mathrm{cm}$ 形心 $C$ 位於水平板內部，距水平板底面向上 $2.29\,\mathrm{cm}$（或距截面最底端向上 $12.29\,\mathrm{cm}$）。

步驟二：求截面面對形心軸 $x'$ 之慣性矩 $I_{x'}$

形心軸 $x'$ 通過整體形心 $C$（$\bar{y} = \frac{295}{24}\,\mathrm{cm}$）。應用平行軸定理分別計算各板件對 $x'$ 軸之慣性矩：

1. 板件 1（水平板）：

• 自身形心慣性矩： $\bar{I}_{x1} = \frac{1}{12} b_1 h_1^3 = \frac{1}{12} \times 30 \times (2.5)^3 = 39.0625\,\mathrm{cm}^4 = \frac{625}{16}\,\mathrm{cm}^4$
• 形心距離：$d_1 = |11.25 - 12.2917| = \frac{25}{24}\,\mathrm{cm}$
• 平行軸項： $A_1 d_1^2 = 75 \times \left(\frac{25}{24}\right)^2 = \frac{15625}{192}\,\mathrm{cm}^4 \approx 81.38\,\mathrm{cm}^4$
• 板件 1 貢獻值： $I_{x'1} = \frac{625}{16} + \frac{15625}{192} = \frac{23125}{192}\,\mathrm{cm}^4 \approx 120.44\,\mathrm{cm}^4$

2. 板件 2 與 3（左右向上垂直板，共兩塊）：

• 自身形心慣性矩（單塊）： $\bar{I}_{x2} = \frac{1}{12} b_2 h_2^3 = \frac{1}{12} \times 2.5 \times 10^3 = \frac{625}{3}\,\mathrm{cm}^4 \approx 208.33\,\mathrm{cm}^4$