107 鐵路特考員級 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

1. 平面平行力系之靜力平衡：剛體處於靜力平衡時，必須滿足垂直方向力平衡與任一點之力矩平衡： $\sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$
2. 分布載重之等效力與形心位置：

• 線性分布載重（梯形載重）之合力大小等於該載重圖形之面積。
• 梯形載重可拆解為兩個以全樑長為底、高分別為 $w_1$ 與 $w_2$ 的三角形載重，其等效集中力作用線分別通過各自三角形之形心（距頂點 $\frac{2}{3}$ 底長、距底邊垂直邊 $\frac{1}{3}$ 底長處）。

解題方法

設樑左端為 $A$ 點（座標 $x = 0$），右端為 $B$ 點（座標 $x = 12\,\mathrm{m}$）。 樑上作用之外力為兩集中載重：

• $P_1 = 3\,\mathrm{kN}$，作用於 $x = 4\,\mathrm{m}$
• $P_2 = 6\,\mathrm{kN}$，作用於 $x = 8\,\mathrm{m}$

基礎所提供之向上支撐反力為線性分布載重，左端強度為 $w_1$，右端強度為 $w_2$。

步驟一：建立垂直力平衡方程式（$\sum F_y = 0$）

向上之總支撐反力等於梯形分布面積： $R_{\text{total}} = \frac{w_1 + w_2}{2} \times 12 = 6(w_1 + w_2)$ 向下之外力總和為： $\sum P = 3 + 6 = 9\,\mathrm{kN}$ 由垂直平衡條件 $\sum F_y = 0$（取向上為正）： $6(w_1 + w_2) - 9 = 0 \implies w_1 + w_2 = 1.5\,\mathrm{kN/m} \quad \cdots\cdots\text{ (第 1 式)}$

步驟二：建立力矩平衡方程式（$\sum M_A = 0$）

將梯形分布載重拆解為兩個底長均為 $12\,\mathrm{m}$ 的三角形分布載重：

1. 左側三角形載重（左端高 $w_1$，右端高 $0$）：

• 等效集中力：$R_1 = \frac{1}{2} \times w_1 \times 12 = 6w_1$（方向向上）
• 形心距 $A$ 點之距離：$x_1 = \frac{1}{3} \times 12 = 4\,\mathrm{m}$

2. 右側三角形載重（左端高 $0$，右端高 $w_2$）：

• 等效集中力：$R_2 = \frac{1}{2} \times w_2 \times 12 = 6w_2$（方向向上）
• 形心距 $A$ 點之距離：$x_2 = \frac{2}{3} \times 12 = 8\,\mathrm{m}$

核心觀念

本題屬於平面靜定桁架（Plane Statically Determinate Truss）的內力分析，評量重點包含以下三大核心概念：

1. 零桿判別準則（Zero-Force Member Rule）： 若一節點僅由三根構件交會，其中兩根共線，且該節點無外力作用，則不共線的第三根構件必為零桿（軸力為零）。
2. 整體剛體靜力平衡（Static Equilibrium of Rigid Bodies）： 利用平面力系的三個獨立平衡方程式： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$ 求取支承反力。選取合適之矩心可直接消去未知反力，快速求得單一反力。
3. 截面法（Method of Sections）： 假想以截面將桁架切為兩部分，取其中一側為自由體（Free Body Diagram, FBD），利用三個靜力平衡方程式直接求解被切斷的三根構件內力。規定受拉（Tension）為正、受壓（Compression）為負。

解題方法

一、幾何尺寸與受力分析

由圖形配置：

• 水平跨度：各間距為 $2\,\mathrm{m}$；垂直間距：各間距為 $1.5\,\mathrm{m}$。
• 節點坐標（以支承節點 A 為原點 $(4, 0)$，左側支承 F 位於 $(0, 3.0)$）：
• 節點 A：鉸支承（Pin Support），提供水平反力 $A_x$ 與垂直反力 $A_y$。
• 節點 F：滾承支承（Roller Support），提供垂直反力 $Y_F$。
• 節點 B：位於 $(4, 1.5\,\mathrm{m})$，受向右水平力 $50\,\mathrm{kN}$。
• 節點 C：位於 $(4, 3.0\,\mathrm{m})$，受向右水平力 $20\,\mathrm{kN}$。
• 節點 D：位於 $(4, 4.5\,\mathrm{m})$，受向下垂直力 $60\,\mathrm{kN}$。
• 節點 G：位於 $(2, 3.0\,\mathrm{m})$，無外力。
• 節點 E：位於 $(2, 4.5\,\mathrm{m})$，受向下垂直力 $30\,\mathrm{kN}$。
• 節點 H：位於 $(4, 3.0\,\mathrm{m})$（與 C 同節點或該處水平桿之端點）。
• 斜構件 $EH$ 之幾何特徵：
• 水平投影長度 $\Delta x = 2\,\mathrm{m}$，垂直投影長度 $\Delta y = 1.5\,\mathrm{m}$。
• 構件長度 $L_{EH} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = 2.5\,\mathrm{m}$。
• 與水平線夾角 $\theta$ 之三角函數比值： $\cos\theta = \frac{2}{2.5} = \frac{4}{5} = 0.8, \quad \sin\theta = \frac{1.5}{2.5} = \frac{3}{5} = 0.6$

二、判定構件 $EG$ 之受力

檢視節點 G：

• 節點 G 僅連接三根構件：水平構件 $FG$、$GH$ 與垂直構件 $EG$。
• 構件 $FG$ 與 $GH$ 共線，且節點 G 上並無施加任何外力或支承反力。
• 由節點 G 的垂直力平衡： $\sum F_y = 0 \implies S_{EG} = 0\,\mathrm{kN}$ 因此，構件 $EG$ 為零桿。

三、求支承 F 之垂直反力 $Y_F$

取整體結構為自由體，對鉸支承節點 A 取力矩平衡（令逆時針力矩為正）：

• 節點 D 的 $60\,\mathrm{kN}$ 向下力作用線通過節點 A，力臂為 $0$。
• 支承 F 之垂直反力 $Y_F$ 力臂為 $4\,\mathrm{m}$（逆時針）。
• 節點 E 之 $30\,\mathrm{kN}$ 向下外力距 A 點水平距離為 $2\,\mathrm{m}$（順時針）。
• 節點 C 之 $20\,\mathrm{kN}$ 向右外力距 A 點垂直距離為 $3\,\mathrm{m}$（順時針）。
• 節點 B 之 $50\,\mathrm{kN}$ 向右外力距 A 點垂直距離為 $1.5\,\mathrm{m}$（順時針）。

$\sum M_A = 0 \implies Y_F \times 4 - 30 \times 2 - 20 \times 3 - 50 \times 1.5 = 0$ $4Y_F - 60 - 60 - 75 = 0$ $4Y_F = 195 \implies Y_F = 48.75\,\mathrm{kN} \ (\uparrow)$

核心觀念

本題為靜態結構力學中典型之靜定組合梁（Compound Beam）​分析，主要考核以下核心觀念與力學定義：

1. 內部鉸接點（Internal Hinge）性質：內部鉸無法傳遞彎矩，故於鉸接點 $B$ 處提供一個額外的靜力平衡條件，即彎矩為零（$M_B = 0$）。
2. 靜定結構拆解分析法：由鉸接點將組合梁拆解為「附屬梁（穩定靜定段 $BCD$）」與「主梁（懸臂段 $AB$）」，遵循「先解附屬梁、再解主梁」之順序，求得各支承反力。
3. 分布載重等效集中力與形心：三角形分布載重之合力大小為分布面積（$W = \frac{1}{2} w L$），其等效合力作用線位於距離尖端（零載重處）$\frac{2}{3}L$、距離底邊（載重最大處）$\frac{1}{3}L$ 處。
4. 載重、剪力與彎矩之微分關係：

• 剪力與載重關係：$\frac{dV}{dx} = -w(x)$
• 彎矩與剪力關係：$\frac{dM}{dx} = V(x)$
• 當剪力 $V(x) = 0$ 時，對應彎矩曲線之極值點（極大或極小值）。
• 集中力造成剪力圖之數值垂直跳升（突變）；集中力矩造成彎矩圖之數值垂直跳升（突變）。

解題方法

題目文字說明梁上另有 $16\,\mathrm{kN\cdot m}$ 集中力矩，依國家考試原卷圖示，該力矩係作用於 $C$ 點滾承支撐處，轉向為順時針方向（$\circlearrowright$）。以整支梁左端固定端 $A$ 為坐標原點（$x=0$），向右為正 $x$ 軸。

步驟一：拆解梁段並求解支承反力

1. 取梁段 $BCD$ 為自由體（附屬梁）： 梁段 $BCD$ 長度為 $4\,\mathrm{m}$（$B$ 至 $C$ 為 $2\,\mathrm{m}$，$C$ 至 $D$ 為 $2\,\mathrm{m}$），受力包含：

• $B$ 點處來自 $AB$ 段之鉸接剪力作用 $B_y$（假設方向向下 $\downarrow$）。
• $C$ 點滾承支撐反力 $C_y$（方向向上 $\uparrow$）與順時針集中力矩 $M_C = 16\,\mathrm{kN\cdot m}$（$\circlearrowright$）。
• $D$ 點集中外力 $P = 6\,\mathrm{kN}$（方向向下 $\downarrow$）。

取 $B$ 點為參考點列力矩平衡方程式（以逆時針 $\circlearrowleft$ 為正）： $\sum M_B = 0 \implies C_y \times 2 - 16 - 6 \times (2 + 2) = 0$ $2 C_y - 16 - 24 = 0 \implies 2 C_y = 40 \implies C_y = 20\,\mathrm{kN}\ (\uparrow)$

對梁段 $BCD$ 取垂直合力平衡（以向上 $\uparrow$ 為正）： $\sum F_y = 0 \implies -B_y + C_y - 6 = 0$ $-B_y + 20 - 6 = 0 \implies B_y = 14\,\mathrm{kN}$ 即鉸接 $B$ 點施加於梁段 $BCD$ 之內剪力為 $14\,\mathrm{kN}\ (\downarrow)$。

2. 取梁段 $AB$ 為自由體（主梁）： 由作用力與反作用力定律，$BCD$ 段施加於 $AB$ 段 $B$ 點的反作用力大小相等、方向相反： $V_B = 14\,\mathrm{kN}\ (\uparrow)$

$AB$ 段承受自 $A$ 點（$0$）至 $B$ 點（$8\,\mathrm{kN/m}$）之三角形向下分布載重：

• 分布載重強度：$w(x) = \frac{8}{4}x = 2x\,\mathrm{kN/m}$
• 合力大小：$W = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16\,\mathrm{kN}\ (\downarrow)$
• 合力作用點距 $A$ 點之距離：$\bar{x} = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}\,\mathrm{m}$

設固定端 $A$ 之反力為水平反力 $R_{Ax}$、垂直反力 $R_{Ay}$（$\uparrow$）及固定端力矩 $M_A$（設為順時針 $\circlearrowright$）：

• 水平平衡： $\sum F_x = 0 \implies R_{Ax} = 0$
• 垂直平衡： $\sum F_y = 0 \implies R_{Ay} - W + V_B = 0 \implies R_{Ay} - 16 + 14 = 0 \implies R_{Ay} = 2\,\mathrm{kN}\ (\uparrow)$
• 對 $A$ 點取力矩平衡（以順時針 $\circlearrowright$ 為正）： $\sum M_A = 0 \implies M_A + W \times \bar{x} - V_B \times 4 = 0$ $M_A + 16 \times \frac{8}{3} - 14 \times 4 = 0$ $M_A + \frac{128}{3} - 56 = 0 \implies M_A = 56 - \frac{128}{3} = \frac{40}{3}\,\mathrm{kN\cdot m} \approx 13.33\,\mathrm{kN\cdot m}\ (\text{順時針 } \circlearrowright)$

步驟二：剪力圖（SFD）函數推導與作圖

梁內力正負號慣例：剪力使梁段順時針旋轉為正；彎矩使梁底受拉（下凹呈微笑狀）為正。

1. $AB$ 段（$0 \le x \le 4\,\mathrm{m}$）： $\frac{dV}{dx} = -w(x) = -2x \implies V(x) = V(0) - \int_0^x 2\xi\,d\xi = 2 - x^2$

• $x = 0$（$A$ 點）：$V(0) = 2\,\mathrm{kN}$
• 剪力為零處（$V=0$）：$2 - x^2 = 0 \implies x_0 = \sqrt{2} \approx 1.414\,\mathrm{m}$
• $x = 4\,\mathrm{m}$（$B$ 點）：$V(4) = 2 - 4^2 = -14\,\mathrm{kN}$ 剪力曲線為開口向下的二次拋物線。

2. $BC$ 段（$4\,\mathrm{m} < x < 6\,\mathrm{m}$）： 無外部分布載重，$V(x)$ 為水平常數線： $V(x) = -14\,\mathrm{kN}$

3. $C$ 點（$x = 6\,\mathrm{m}$）： 承受支撐反力 $C_y = 20\,\mathrm{kN}\ (\uparrow)$，產生向上突變：

核心觀念

本題屬於工程力學（材料力學／靜力學）中「組合截面之幾何特性」的經典計算題，主要評量兩大核心觀念：

1. 組合截面形心（Centroid）之計算： 依據一次面積矩（靜矩）原理，整體截面形心座標 $\bar y$ 為各分割單元面積與其個別形心座標乘積之和，除以總截面積： $\bar y = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$
2. 平行軸定理（Parallel-Axis Theorem）求面積慣性矩（Moment of Inertia）： 各單元截面對自身形心軸的慣性矩為 $\bar I_{xi} = \frac{1}{12} b_i h_i^3$。對整體形心軸 $x'$ 之慣性矩則利用平行軸定理疊加： $I_{x'} = \sum \left( \bar I_{xi} + A_i d_i^2 \right)$ 其中 $d_i = |y_i - \bar y|$ 為各分塊形心至整體形心軸 $x'$ 之垂直距離。

解題方法

將此對稱截面分割為四個標準矩形塊：

• 塊 ①（水平板）：厚度 $2.5\,\mathrm{cm}$。依圖示左右對稱尺寸，兩向上板淨距為 $7.5\,\mathrm{cm} + 7.5\,\mathrm{cm}$，中央向下板寬 $2.5\,\mathrm{cm}$ 位於中央，水平板總長度為 $L = 5 + 2.5 + 7.5 + 2.5 + 7.5 + 2.5 + 5 = 32.5\,\mathrm{cm}$。
• 塊 ②、③（左右向上垂直板）：寬 $b = 2.5\,\mathrm{cm}$，高 $h = 10\,\mathrm{cm}$。
• 塊 ④（中央向下垂直板）：寬 $b = 2.5\,\mathrm{cm}$，長度 $h = 10\,\mathrm{cm}$。

以最底端（中央向下垂直板之底端）為基準參考軸（即圖中 $x$ 軸，$y = 0$）​建立坐標系（向上為正）：

步驟一：計算截面積與形心位置 $\bar y$

各單元之尺寸、面積 $A_i$ 及形心高度 $y_i$ 如下：

1. 塊 ④（中央向下垂直板）：

• 範圍：$y = 0 \sim 10\,\mathrm{cm}$
• 面積：$A_4 = 2.5 \times 10 = 25\,\mathrm{cm}^2$
• 形心：$y_4 = \frac{10}{2} = 5\,\mathrm{cm}$
• 一次矩：$A_4 y_4 = 25 \times 5 = 125\,\mathrm{cm}^3$

2. 塊 ①（水平板）：

• 範圍：$y = 10 \sim 12.5\,\mathrm{cm}$
• 面積：$A_1 = 32.5 \times 2.5 = 81.25\,\mathrm{cm}^2$
• 形心：$y_1 = 10 + \frac{2.5}{2} = 11.25\,\mathrm{cm}$
• 一次矩：$A_1 y_1 = 81.25 \times 11.25 = 914.0625\,\mathrm{cm}^3$

3. 塊 ②、③（左右向上垂直板，共兩塊）：

• 範圍：$y = 12.5 \sim 22.5\,\mathrm{cm}$
• 面積：$A_2 = A_3 = 2.5 \times 10 = 25\,\mathrm{cm}^2$
• 形心：$y_2 = y_3 = 12.5 + \frac{10}{2} = 17.5\,\mathrm{cm}$
• 一次矩：$A_2 y_2 = A_3 y_3 = 25 \times 17.5 = 437.5\,\mathrm{cm}^3$

整體總面積： $A = \sum A_i = 81.25 + 25 + 25 + 25 = 156.25\,\mathrm{cm}^2$

面積一次矩總和： $\sum A_i y_i = 914.0625 + 437.5 + 437.5 + 125 = 1914.0625\,\mathrm{cm}^3$

形心位置 $\bar y$（由 $x$ 軸起算）： $\bar y = \frac{\sum A_i y_i}{A} = \frac{1914.0625}{156.25} = 12.25\,\mathrm{cm}$ （註：即形心 $C$ 位於水平板內，距水平板底面向上 $2.25\,\mathrm{cm}$，距水平板頂面向下 $0.25\,\mathrm{cm}$。）

步驟二：求截面對於形心 $x'$ 軸的慣性矩 $I_{x'}$