107 鐵路特考員級 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

1. 定向節點（Guided Roller / Internal Guide）之力學特性：

• 定向節點（又稱剪力鉸或平行導引鉸）容許兩側構件產生相對側向（垂直）位移，但約束相對轉角與軸向位移。
• 其斷面內力特徵為：無法傳遞剪力（即釋放剪力，$V = 0$），但可完全傳遞彎矩（$M \neq 0$）與軸力（$N \neq 0$）。

2. 靜定梁之靜力平衡條件：

• 平面力系之整體平衡方程式：$\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$、$\sum M = 0$。
• 配合內部釋放條件（定向節點處剪力為零之條件方程式），將結構拆解為自由體圖（Free Body Diagram, FBD）即可求得所有支承反力。

3. 剪力與彎矩之微分關係及正負號慣例：

• 梁剪力 $V$ 與載重 $q$ 之關係：$\dfrac{dV}{dx} = -q$。無分布載重時，$V$ 為常數（水平線）。
• 梁彎矩 $M$ 與剪力 $V$ 之關係：$\dfrac{dM}{dx} = V$。剪力為常數時，彎矩為一次線性函數（斜直線）。
• 符號慣例：剪力以順時針為正；彎矩以「下拉上壓（微笑彎矩）」為正。

解題方法

本題依國考結構力學慣例與靜定結構要求，梁於 $a$ 點為鉸支承、$c$ 點與 $d$ 點為滾支承；$b$ 點之定向節點左側承受向下 $1\text{ kN}$、右側承受向上 $1\text{ kN}$ 之成對剪力載重。梁全長為 $12\text{ m}$，以 $a$ 點為坐標原點（$x = 0$）。

步驟一：自由體拆解與支承反力計算

將梁於 $b$ 點（定向節點）切開，分為左段梁 $ab$ 與右段梁 $bcd$：

1. 左段梁 $ab$（$0 \le x \le 3\text{ m}$）：

• $a$ 點為鉸支承，設垂直反力為 $R_a$（向上）。
• $b$ 點左端面受向下集中載重 $1\text{ kN}$。
• 定向節點處不傳遞剪力，故 $b$ 點斷面無內部剪力傳遞。
• 定向節點可傳遞彎矩，設 $b$ 點斷面彎矩為 $M_b$（對 $ab$ 段取逆時針為正，即使下側受拉）。
• 由垂直力平衡： $\sum F_y = 0 \implies R_a - 1\text{ kN} = 0 \implies R_a = 1\text{ kN} \quad (\uparrow)$
• 由對 $a$ 點之彎矩平衡： $\sum M_a = 0 \implies M_b - (1\text{ kN}) \times 3\text{ m} = 0 \implies M_b = 3\text{ kN}\cdot\text{m}$

2. 右段梁 $bcd$（$3\text{ m} \le x \le 12\text{ m}$）：

• $b$ 點右端面受向上集中載重 $1\text{ kN}$。
• 依作用力與反作用力定律，左段傳至右段之彎矩為 $M_b = 3\text{ kN}\cdot\text{m}$（順時針方向）。
• $c$ 點（$x = 6\text{ m}$）垂直反力設為 $R_c$（向上），$d$ 點（$x = 12\text{ m}$）垂直反力設為 $R_d$（向上）。
• 對 $c$ 點取力矩平衡： $\sum M_c = 0 \implies -M_b - (1\text{ kN}) \times (6\text{ m} - 3\text{ m}) + R_d \times (12\text{ m} - 6\text{ m}) = 0$ $-3\text{ kN}\cdot\text{m} - 3\text{ kN}\cdot\text{m} + R_d \times 6\text{ m} = 0 \implies 6 R_d = 6 \implies R_d = 1\text{ kN} \quad (\uparrow)$
• 對全段取垂直力平衡： $\sum F_y = 0 \implies 1\text{ kN} + R_c + R_d = 0$ $1\text{ kN} + R_c + 1\text{ kN} = 0 \implies R_c = -2\text{ kN} = 2\text{ kN} \quad (\downarrow)$

3. 全梁整體靜力平衡驗算：

• 垂直合力：$\sum F_y = R_a + R_c + R_d + (-1) + (+1) = 1 - 2 + 1 - 1 + 1 = 0$（符合）。
• 對 $a$ 點力矩：$\sum M_a = -(1)(3) + (1)(3) - R_c (6) + R_d (12) = 0 - (-2)(6) + (1)(12) = 12 - 12 = 0$（符合）。

步驟二：各區段內力函數方程式推導

1. $ab$ 段（$0 < x < 3\text{ m}$）：

• 剪力： $V(x) = R_a = +1\text{ kN}$
• 彎矩： $M(x) = R_a \cdot x = x\text{ kN}\cdot\text{m}$
• 邊界值：$M(0) = 0$，$M(3^-) = 3\text{ kN}\cdot\text{m}$。

2. $b$ 點斷面（$x = 3\text{ m}$）：

• 左側受向下 $1\text{ kN}$，剪力自 $+1\text{ kN}$ 驟降至 $0\text{ kN}$（符合定向節點剪力為零特性）。
• 右側受向上 $1\text{ kN}$，剪力自 $0\text{ kN}$ 驟增至 $+1\text{ kN}$。
• 彎矩連續：$M(3) = 3\text{ kN}\cdot\text{m}$。

核心觀念

本題旨在考驗考生對靜定結構「定性分析」（Qualitative Analysis）與「幾何圖解靜力平衡」（Graphical Statics）之掌握能力，完全不需進行數值繁複代數運算，其依據的核心學理包含：

1. 二力體（Two-Force Body）平衡定理： 一構件或子系統若僅在兩點承受外力（鉸接點或支承），且構件本身並無任何外載重作用，則該構件處於平衡狀態時，兩端之合力必須大小相等、方向相反，且作用線必定重合於兩受力點的幾何連線上。
2. 三力平衡（Three-Force Equilibrium）共點定理： 一平面剛體（或子系統）若在三個不互相平行的共平面外力作用下維持靜力平衡，則此三力之作用線必交於同一點（三力共點，Concurrent forces）。
3. 閉合力多邊形（Force Polygon）： 受三力平衡之系統，其力向量和必為零（$\sum \vec{F} = \vec{0}$），三力向量必能構成首尾相連的封閉三角形，用以確定各未知反力之箭頭指向。

解題方法

題目圖示為一三鉸構架（Three-Hinged Frame），由左半部子系統（含鉸支承 $a$ 與構件 $ab$、$bc$）、中間內部鉸節點 $c$、及右半部子系統（含構件 $cd$、承受水平向左外力 $P$ 之斜桿 $de$、與鉸支承 $e$）所組成。

步驟一：分析左半部子結構（$a-b-c$）——確立支承反力 $R_a$ 的作用線

1. 將內部鉸節點 $c$ 拆開，取鉸 $c$ 左側之子結構 $a-b-c$ 為自由體（Free-Body Diagram, FBD）。
2. 檢視子結構 $a-b-c$ 上的受力情形：僅在底端支承 $a$ 受有支承反力 $R_a$，以及在頂端內部鉸 $c$ 受有由右半部傳遞之鉸內力 $R_c$。該子結構在 $a$、$c$ 之間無任何外力作用。
3. 依「二力體平衡條件」，子結構 $a-b-c$ 為一廣義二力體，反力 $R_a$ 與鉸力 $R_c$ 必須大小相等、方向相反且共線。
4. 結論：支承 $a$ 之反力 $R_a$ 其作用線必定沿著支承點 $a$ 與內部鉸 $c$ 之幾何連線（直線 $ac$）。

步驟二：分析右半部子結構（$c-d-e$）——確立支承反力 $R_e$ 的作用線

1. 取鉸節點 $c$ 右側之子結構 $c-d-e$ 為自由體。
2. 該子結構承受三力作用：

• 內部鉸 $c$ 處之作用力 $F_c$（由作用力與反作用力定律，其作用線同為直線 $ac$）。
• 作用於斜桿 $de$ 上之外力 $P$（作用線為水平向左之直線）。
• 支承 $e$ 處之支承反力 $R_e$。

3. 依「三力共點平衡定理」，此三力不互相平行，其作用線必定相交於同一點。
4. 令鉸內力 $F_c$ 的作用線（直線 $ac$）與外力 $P$ 的水平作用線相交於點 $O$。
5. 結論：為滿足三力共點平衡，支承 $e$ 之反力 $R_e$ 其作用線必定同時通過支承點 $e$ 與交點 $O$（即直線 $eO$）。

步驟三：判斷支承反力的箭頭指向（方向判別）

1. 交點 $O$ 的相對位置：

• 支承 $a$ 位於左下方，內部鉸 $c$ 位於頂端水平梁上，直線 $ac$ 呈「向右上」傾斜。
• 外力 $P$ 為水平向左，作用於斜桿 $de$ 上（高度介於頂端水平梁與底部支承之間）。
• 直線 $ac$ 與外力 $P$ 水平作用線之交點 $O$，其水平座標落在支承 $e$ 之左側（$x_O < x_e$），垂直座標高於支承 $e$（$y_O > y_e$）。因此連線 $eO$ 呈現「左高右低」的傾斜狀態。

2. 水平力平衡（$\sum F_x = 0$）：

• 外力 $P$ 方向水平向左（$\leftarrow$）。
• 結構之水平抗力必須向右（$\rightarrow$）。由於反力 $R_a$ 沿直線 $ac$（斜率為正），其水平分力向右時，垂直分力必然向上；即 $R_a$ 方向為向右上（由 $a$ 指向 $c$）。

核心觀念

本題依命題當年（民國 107 年）適用之《混凝土結構設計規範》（土木 401-100）規定作答。（現行規範雖已於民國 112 年修正發布，但載重係數與強度折減架構相同，解題仍以命題當年為準。）

本題為單筋矩形梁之抗彎斷面設計與配筋，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 載重組合與設計彎矩 $M_u$：

• 靜載重與活載重組合：$U = 1.2 D + 1.6 L$
• 簡支梁跨中最大彎矩：$M_u = \dfrac{w_u L^2}{8} + \dfrac{P_u L}{4}$

2. 應變狀態與強度折減係數 $\phi$：

• 鋼筋降伏應變：$\varepsilon_y = \dfrac{f_y}{E_s}$
• 最外受拉鋼筋淨拉應變 $\varepsilon_t$ 落在過渡區間（$\varepsilon_y < \varepsilon_t < 0.005$），橫箍筋構件之強度折減係數採線性內插： $\phi = 0.65 + (\varepsilon_t - \varepsilon_y) \frac{0.90 - 0.65}{0.005 - \varepsilon_y}$
• 規範規定受彎構件最外受拉鋼筋淨拉應變不得小於 $0.004$（即 $\varepsilon_t \ge 0.004$）。

3. 等價矩形應力塊與內力平衡：

• 極限壓應變 $\varepsilon_{cu} = 0.003$，中性軸深度比 $\dfrac{c}{d_t} = \dfrac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_t}$
• 應力塊深度 $a = \beta_1 c$，當 $f'_c \le 280\text{ kgf/cm}^2$ 時，$\beta_1 = 0.85$
• 標稱彎矩強度 $M_n = C_c \left(d - \dfrac{a}{2}\right) = T \left(d - \dfrac{a}{2}\right)$，其中 $C_c = 0.85 f'_c b a$、$T = A_s f_y$

4. 斷面尺寸與鋼筋量檢核：

• 設計需求：$\phi M_n \ge M_u$
• 最小受拉鋼筋比：$\rho_{\min} = \max\left(\dfrac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y}, \dfrac{14}{f_y}\right)$

解題方法

步驟一：計算跨中最大設計彎矩 $M_u$

題目載明靜載重 $w_D = 3\text{ tf/m}$ 已包含自重，中央集中活載重 $P_L = 14\text{ tf}$，跨長 $L = 6\text{ m}$。

1. 設計載重： $w_u = 1.2 w_D = 1.2 \times 3 = 3.6\text{ tf/m}$ $P_u = 1.6 P_L = 1.6 \times 14 = 22.4\text{ tf}$
2. 簡支梁跨中斷面所承受之最大設計彎矩： $M_u = \frac{w_u L^2}{8} + \frac{P_u L}{4} = \frac{3.6 \times 6^2}{8} + \frac{22.4 \times 6}{4} = 16.2 + 33.6 = 49.8\text{ tf}\cdot\text{m} = 49.8 \times 10^5\text{ kgf}\cdot\text{cm}$

步驟二：確定強度折減係數 $\phi$

1. 鋼筋降伏應變： $\varepsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{2800}{2040000} \approx 0.001373$
2. 檢核應變狀態： 題目指定極限破壞時 $\varepsilon_t = 0.0045$。 因 $\varepsilon_y = 0.001373 < \varepsilon_t = 0.0045 < 0.005$，此斷面屬於「過渡斷面」，且 $\varepsilon_t \ge 0.004$，合乎規範受彎構件延時性之限制。
3. 橫箍筋構件之強度折減係數 $\phi$： $\phi = 0.65 + (0.0045 - 0.001373) \times \frac{0.25}{0.005 - 0.001373} = 0.65 + 0.25 \times \frac{0.003127}{0.003627} \approx 0.866$ 斷面所需之標稱彎矩強度： $M_n = \frac{M_u}{\phi} = \frac{49.8 \times 10^5}{0.866} \approx 5,750,577\text{ kgf}\cdot\text{cm}$

步驟三：應變幾何關係與等價應力塊推導

題目附圖將受拉鋼筋合力集中標示於有效深度 $d$ 處，故取最外受拉鋼筋深度 $d_t = d$，則：

1. 中性軸深度 $c$： $\frac{c}{d} = \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_t} = \frac{0.003}{0.003 + 0.0045} = \frac{0.003}{0.0075} = 0.40 \implies c = 0.40 d$
2. 應力塊深度 $a$（$f'_c = 210\text{ kgf/cm}^2 \le 280\text{ kgf/cm}^2$，取 $\beta_1 = 0.85$）： $a = \beta_1 c = 0.85 \times 0.40 d = 0.34 d$
3. 內力臂 $jd$： $jd = d - \frac{a}{2} = d - \frac{0.34 d}{2} = 0.83 d$

步驟四：求解斷面尺寸（有效深度 $d$ 與梁全深 $h$）

1. 由混凝土受壓合力推導彎矩承載力： $C_c = 0.85 f'_c b a = 0.85 \times 210 \times 35 \times (0.34 d) = 2124.15 d\text{ (kgf)}$

核心觀念

本題旨在考驗考生對鋼筋混凝土（RC）「雙筋梁（Doubly Reinforced Beam）」力學行為與設計實務之全面理解。

配置壓力鋼筋（$A_s'$）不僅改變斷面的應力平衡條件，亦對構件的長期使用性、安全性及施工性產生顯著影響。以命題當年（民國 107 年）適用之內政部《混凝土工程設計規範與解說》（土木 401-100）為準（現行規範亦維持相同力學觀念），核心公式與力學依據如下：

1. 中性軸深度與應力平衡： $T = C_c + C_s \implies A_s f_y = 0.85 f'_c \beta_1 c b + A_s' f_s'$ $c = \frac{A_s f_y - A_s' f_s'}{0.85 f'_c \beta_1 b}$
2. 極限拉力鋼筋應變（韌性指標）： $\epsilon_t = \frac{d_t - c}{c} \epsilon_u = \frac{d_t - c}{c} (0.003)$
3. 長期撓度放大係數（潛變與乾縮效應）： $\lambda_{\Delta} = \frac{\xi}{1 + 50\rho'}$ 其中 $\rho' = \frac{A_s'}{bd}$ 為壓力鋼筋比，$\xi$ 為持續載重之時間相依係數（5 年以上取 2.0）。

解題方法

解析本題應由「長期使用性（服務性）」、「極限力學與破壞型態（安全性）」、「耐震與施工實務」三大面向系統化切入，條理分明地說明各項優點及學理推導：

1. 大幅減少長期撓度（抑制潛變與乾縮變形）

• 學理依據：混凝土在長期持續載重下會產生潛變（Creep）與乾燥收縮（Shrinkage）。
• 作用機制：
• 抑制潛變：受壓區配置壓力鋼筋後，由於鋼筋不會產生潛變，隨著時間推移，受壓區混凝土因潛變而將應力逐漸轉移給壓力鋼筋承受，使混凝土壓應變增量受到約束。
• 抑制乾縮反翹：單筋梁的乾縮受到底部拉力筋約束，會造成梁向下彎曲的反向乾縮翹曲；配置對稱或頂部壓力筋可平衡斷面上下之乾縮約束，減小乾縮撓度。
• 規範驗證：由長期撓度加乘係數 $\lambda_{\Delta} = \frac{\xi}{1 + 50\rho'}$ 可知，壓力鋼筋比 $\rho'$ 愈大，長期撓度增加值愈小。配置 $A_s'$ 是工程上控制梁長期過大撓度最有效的方法。

2. 顯著提高梁斷面的韌性（延展性）

• 學理依據： 由內力平衡 $c = \frac{A_s f_y - A_s' f_s'}{0.85 f'_c \beta_1 b}$ 可知，當拉力鋼筋量 $A_s$ 固定時，配置壓力鋼筋 $A_s'$ 會直接分擔受壓合力，使混凝土所需的受壓區高度 $c$ 顯著降低（中性軸往受壓緣上移）。
• 韌性改善： 中性軸深度 $c$ 減小，將帶動最外層拉力鋼筋之拉應變 $\epsilon_t = \frac{d_t - c}{c}(0.003)$ 大幅增加。拉應變 $\epsilon_t$ 愈大，斷面的曲率延展比（Curvature Ductility）愈高，能避免混凝土過早壓碎，確保構件具備高度的塑性轉動能力。

3. 確保為拉力控制斷面，提高折減係數 $\phi$

• 依規範規定，梁之極限設計要求為拉力控制斷面（$\epsilon_t \ge 0.005$），此時強度折減係數可取最大值 $\phi = 0.90$。